专题02 平面向量范围与最值问题（4大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题02 平面向量范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：定义法 题型二：坐标法 题型三：基底法 题型四：几何意义法 【知识点梳理】 平面向量范围与最值问题常用方法： 1、定义法 第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步:得出结论 2、坐标法 第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步: 将平面向量的运算坐标化 第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 3、基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3、几何意义法 第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步: 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 【典型例题】 题型一：定义法 【例1】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A     B．    C．     D． 【答案】A 【解析】由得， 即，即对任意的恒成立， 所以，解得， 又因为，所以， 故选：A. 【变式1-1】（多选题）（24-25高一下·福建·期中）如图，在边长为1的等边三角形中，为中心，过点的直线交边于点，交边于点.，则（    ） A． B． C．若为内部一点（包括边界），则最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【解析】延长交于，因为为等边三角形的中心，所以为的中点， 则有，由，得， 又，所以， 因为，，三点共线，所以，所以，A正确，B错误. ， 因为为内部一点（包括边界）， 所以，即最大值为，C正确. .又， 因为，所以， 当或即或时，，所以，D正确. 故选：ACD 【变式1-2】（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】根据题意，， 所以 又， 所以 因为三点共线， 所以，即，由图可知，， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为1. 故选：B. 【变式1-3】（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是单位平面向量，若对任意的，都有，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】依题意，设单位向量的夹角为， 因为， 所以则，所以， 根据题意，正整数的最大值为， 故选：C. 题型二：坐标法 【例2】（24-25高一下·贵州黔南·期中）在中，，为所在平面上一动点，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】为所在平面上一动点，且， 所以在以为圆心，1为半径的圆上， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 故，设，， 则 ，其中， 故当时，取得最小值，最小值为-12， 当时，取得最大值，最大值为14， 故的取值范围为. 故选：B 【变式2-1】（24-25高一下·重庆万州·期中）已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为向量，的夹角是锐角，所以 解得且，所以的取值范围是. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一下·上海·期中）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则以下命题正确的个数是（   ） ①与能构成一组基底；②； ③在向量上的投影向量为 ④若P在线段BC（包括端点）上，且，则取值范围 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】连接，因为，所以，因为， 所以， 所以， 以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 所以， ， 所以，所以， 即与共线，故①错误； 因为， 所以，故②正确， 因为， 在向量上的投影向量为，故③正确； 若点在线段上，设, 所以，由于， 由得， 所以，故④正确. 故选：C. 【变式2-3】（多选题）（24-25高一下·黑龙江大庆·阶段练习）已知矩形中，、交于点，，，点是矩形所在平面内的一点，且满足，．则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值是为 C．的最小值为 D．的最大值为40 【答案】ACD 【解析】因为四边形是矩形，是的交点，所以是的中点． 根据向量加法的平行四边形法则可得：，． 则． 已知，即，所以，故选项A正确． 以为坐标原点，分别以所在直线为，轴建立平面直角坐标系． 则，，，． 设，则，，． 因为，所以，即，． 设，则，. （其中）. 所以的最大值为，故选项B错误． 对于C，，，则． 由可得． 所以． 因为，所以．     当时，取得最小值为，故选项C正确． 对于D，．因为，所以． 当时，取得最大值为，故选项D正确． 故选：ACD． 题型三：基底法 【例3】（多选题）（24-25高一下·河南·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】对于A，由正八边形的结构特征可知：， 则，所以， 所以，故A正确； 对于B，由正八边形的结构特征可知， 当点在边上时（不包含两点）， 的夹角为锐角，此时， 当点在上时，设，则 则， 当时，取得最小值， 综上所述，的最小值为，故B正确； 对于C，由题意可知，当点在边上时， 在方向上的投影最大， 最大值为， 根据数量积的几何意义可得的最大值为，故C错误； 对于D，设， 则 ， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【变式3-1】（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）中，是的中点，在线段上，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】由是的中点得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当时，的最大值为1. 故选：C 【变式3-2】（24-25高一下·河南南阳·期中）如图，在梯形中，，，是边所在直线上的动点，若该梯形的面积为，则的最小值为 ． 【答案】16 【解析】取的中点，作，垂足为， 则， 因为该梯形的面积为，且，， 则，即， 可得， 所以的最小值为16. 故答案为：16. 【变式3-3】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知向量，满足，，则的最大值为 ，最小值为 【答案】 / / 【解析】易知， 所以有. 所以，， 当且仅当同向时，等号成立， 此时取最大值3，取最大值为； 所以，， 当且仅当反向时，等号成立， 此时取最小值1，取最小值为. 故答案为：；. 题型四：几何意义法 【例4】（24-25高一下·江西南昌·期中）如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要求x＋y的范围，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下： (1)若P在A点，因为，所以； (2)若P在B点，因为，所以； (3)若P在C点，因为，所以； (4)若P在D点，因为，所以； (5)若P在E点，因为，所以； (6)若P在F点，因为，所以. 所以的最大值为， 根据对称性，可知的最小值为， 故的取值范围是. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为、、为非零向量，所以、、分别是与、、同向的单位向量，即. 当、、这三个单位向量方向相同时，取得最大值.此时. 当三个单位向量两两夹角为时，根据平行四边形法则知道，所以的最小值为. 的最大值为，最小值为，它们的差为. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一下·浙江·期中）已知，且与夹角为，动点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为（   ） A．-8 B．-4 C．-2 D．2 【答案】B 【解析】由平面向量的平行四边形法则可得， 所以， 所以， 所以， 所以，当过时，可取得最小值， 又，又， 可得，取等号，此时， 此时与共线反向，此时最小，最小值为. 故选：B. 【变式4-3】（24-25高一下·河南南阳·期中）已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【解析】因为，即为的中点，又，所以为的中点， 又正三角形的边长为，所以， 依题意，， 所以， 所以当时取得最小值， 如图，此时点在的位置，连接，则， 又，，所以， 所以， 所以. 故选：D 【强化训练】 1．（24-25高一下·河南·期中）如图，在平行四边形中，，若分别是边所在直线上的点，且满足，其中. (1)当时，求向量和的夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 【解析】（1）当时，可得，同理可得， 因为，所以， 则， 而， 所以， 即向量和的夹角的余弦值为. （2）由， 可得 ， 因为，可，即， 所以的取值范围为. 2．（24-25高一下·福建福州·期中）“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，，，，点在线段与线段上运动． (1)若，求的值； (2)求的取值范围． 【解析】（1）如图，以为原点建立平面直角坐标系， 则， 则， 因，则， 故，得，则. （2）①当在线段上运动，设，其中， 因，所以， 则， 因为，所以， ②当在线段上运动，设， 因，则， 又，则，故， 则，则， 因为，所以， 综上，的取值范围为. 3．（24-25高一下·海南海口·阶段练习）如图，设的内角所对的边分别为，为的中点，已知，且，的面积为，为锐角． (1)求的长； (2)求的值； (3)设点分别为边上的动点（含端点），线段交于点，若与的面积之比为，求的取值范围． 【解析】（1）因为，由正弦定理可得，， 由余弦定理可得，， 所以，得，即. （2）由题意，，所以， 因为为锐角，所以. 根据余弦定理，，所以， 在中，，则有，所以. 则在中，因为为的中点，所以，则, 所以. （3）由题意，设. 则， ，. 为的中点，，即， 所以， 又三点共线，即. 所以 ， ，， ， 又由，可得， 所以， ，. 故的取值范围是. 4．（24-25高一下·浙江丽水·期中）如图，在梯形中，，，，E是边上一点（含端点），与交于点F，设，.    (1)若E与点C重合，求x，y的值； (2)若，求的值； (3)若存在点E，使得，求的取值范围. 【解析】（1）由，根据平面向量基本定理，可知，. （2）由， 三点共线，，解得， 所以 设 三点共线，，解得， 即的值为. （3）记，设， 则， 由，因为，所以， 即， 则， 所以，构造，求导得：， 所以在上单调递增，即 ，. 5．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点.    (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围. 【解析】（1）由题意，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 所以， 由，可得，所以， 所以. （2） ， 当时，点的轨迹表示以为圆心，为半径的圆， 所以， ， 所以的取值范围为：. 6．（24-25高一下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点. (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 【解析】（1）由分别为的中点，则，， 由图可得，则， 所以. （2）由（1）可知，， 由，则， ， 可得，解得. 设，. 由图可得， ， ， 由，则. 7．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，中，，，点在线段上，为等边三角形.    (1)若，，求线段的长度; (2)若，求线段的最大值; (3)若平分，求与内切圆半径之比的取值范围. 【解析】（1）因为,, 所以, 即, 所以, 所以. （2）由（1）可知， 所以, 设,且为等边三角形， 所以， 即， 故， 且， 所以当时，， 所以. （3）因为平分, 所以由角平分线定理得,即, 故, 设，，的内切圆半径分别为, 在中,则，解得， 因为, 所以, 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 即，解得. 又因为, , 所以， 令，则， 因为，所以， 则，故，， 即，故, 所以与的内切圆半径之比的范围为. 8．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，，，，点E，F分别是边AD，DC上的动点，且，BE与AC交于G 点.    (1)若，试用向量，表示向量； (2)求的取值范围. 【解析】（1）当时，， ∴，，∴点E，F分别是边AD，DC上的中点. 易证，故，∴点G是BE上靠近点E的三等分点. . （2），∴，()， ∴，. 由可得， ， . ，，， ，，， . 令，， 则， ，，， ，∴函数在上单调递增， ∴当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值. ∴的取值范围为. 9．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）如图在直角梯形中，，，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若向量，求实数x，y的值； (3)求的取值范围. 【解析】（1）易得，且为正三角形，所以， 以点为原点，、分别为、轴正方向建立平面直角坐标系， 所以 所以， 所以， （2）， 又因为三点共线，所以，解得. 因为， 所以，所以， （3）设，且如（1）所建平面直角坐标系，则， 所以， 所以， 又因为，所以，所以， 所以， 所以的取值范围为. 10．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知平面向量，其中是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【解析】（1）由已知，是夹角为的单位向量， 所以， 又，则， 所以， 又， 所以． （2）若与的夹角为钝角，则且不共线， 所以，且， 所以，且， 所以且． 11．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）已知平面向量，，，． (1)若，求x的值； (2)若，求的值． (3)若与的夹角是锐角，求x的取值范围． 【解析】（1）若，则， 整理得，解得或． 所以的值为或3． （2）若，则有，即，解得或， 当时，，，则，得； 当时，，，则，得． 所以，的值为或5． （3）因与的夹角是锐角，则，即，得， 又当与共线时，有，得，不合题意，则 综上，的取值范围为． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：定义法 题型二：坐标法 题型三：基底法 题型四：几何意义法 【知识点梳理】 平面向量范围与最值问题常用方法： 1、定义法 第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步:得出结论 2、坐标法 第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步: 将平面向量的运算坐标化 第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 3、基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3、几何意义法 第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步: 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 【典型例题】 题型一：定义法 【例1】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A     B．    C．     D． 【变式1-1】（多选题）（24-25高一下·福建·期中）如图，在边长为1的等边三角形中，为中心，过点的直线交边于点，交边于点.，则（    ） A． B． C．若为内部一点（包括边界），则最大值为 D．的最大值为 【变式1-2】（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（    ）    A． B．1 C． D．2 【变式1-3】（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是单位平面向量，若对任意的，都有，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型二：坐标法 【例2】（24-25高一下·贵州黔南·期中）在中，，为所在平面上一动点，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·重庆万州·期中）已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·上海·期中）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则以下命题正确的个数是（   ） ①与能构成一组基底；②； ③在向量上的投影向量为 ④若P在线段BC（包括端点）上，且，则取值范围 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】（多选题）（24-25高一下·黑龙江大庆·阶段练习）已知矩形中，、交于点，，，点是矩形所在平面内的一点，且满足，．则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值是为 C．的最小值为 D．的最大值为40 题型三：基底法 【例3】（多选题）（24-25高一下·河南·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为 【变式3-1】（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）中，是的中点，在线段上，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3-2】（24-25高一下·河南南阳·期中）如图，在梯形中，，，是边所在直线上的动点，若该梯形的面积为，则的最小值为 ． 【变式3-3】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知向量，满足，，则的最大值为 ，最小值为 题型四：几何意义法 【例4】（24-25高一下·江西南昌·期中）如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·浙江·期中）已知，且与夹角为，动点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为（   ） A．-8 B．-4 C．-2 D．2 【变式4-3】（24-25高一下·河南南阳·期中）已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 【强化训练】 1．（24-25高一下·河南·期中）如图，在平行四边形中，，若分别是边所在直线上的点，且满足，其中. (1)当时，求向量和的夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 2．（24-25高一下·福建福州·期中）“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，，，，点在线段与线段上运动． (1)若，求的值； (2)求的取值范围． 3．（24-25高一下·海南海口·阶段练习）如图，设的内角所对的边分别为，为的中点，已知，且，的面积为，为锐角． (1)求的长； (2)求的值； (3)设点分别为边上的动点（含端点），线段交于点，若与的面积之比为，求的取值范围． 4．（24-25高一下·浙江丽水·期中）如图，在梯形中，，，，E是边上一点（含端点），与交于点F，设，.    (1)若E与点C重合，求x，y的值； (2)若，求的值； (3)若存在点E，使得，求的取值范围. 5．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点.    (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围. 6．（24-25高一下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点. (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 7．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，中，，，点在线段上，为等边三角形.    (1)若，，求线段的长度; (2)若，求线段的最大值; (3)若平分，求与内切圆半径之比的取值范围. 8．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，，，，点E，F分别是边AD，DC上的动点，且，BE与AC交于G 点.    (1)若，试用向量，表示向量； (2)求的取值范围. 9．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）如图在直角梯形中，，，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若向量，求实数x，y的值； (3)求的取值范围. 10．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知平面向量，其中是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 11．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）已知平面向量，，，． (1)若，求x的值； (2)若，求的值． (3)若与的夹角是锐角，求x的取值范围． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$