专题01 平面向量的基本运算与线性表示（8大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题01 平面向量的基本运算与线性表示 【题型归纳目录】 题型一：平面向量的概念 题型二：线性运算 题型三：三点共线 题型四：平面向量共线定理及推论 题型五：平面向量的运算 题型六：平面向量的坐标表示 题型七：四心问题 题型八：新定义问题 【知识点梳理】 知识点一、向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模） 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量的单位向量为 平行向量 方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量） 与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 知识点二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 （1）交换律： （2）结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同；②当时．的方向与的方向相反；③当时，． 结合律：； 分配律： ， 知识点三、平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． 知识点四、平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 知识点五、平面向量共线 （1）线性表示 向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得 （2）坐标表示 设，其中，则 知识点六、两个向量的夹角 1、定义 已知两个非零向量和，作，则叫做向量与的夹角． 2、范围 向量夹角的范围是，与同向时，夹角；与反向时，夹角． 3、向量垂直 如果向量与的夹角是，则与垂直，记作． 知识点七、平面向量的数量积 1、已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，即，其中是与的夹角． 规定． 当时，，这时 2、的几何意义： 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 知识点八、数量积的运算律 （1）交换律：． （2）分配律：． （3）对． 知识点九、向量数量积的性质 1、如果是单位向量，则． 2、． 3、， 4、．（为与的夹角） 5、． 知识点十、数量积的坐标运算 设，则： 1、． 2、． 3、． 4、（为与的夹角） 【典型例题】 题型一：平面向量的概念 【例1】（24-25高一上·辽宁大连·期末）①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【变式1-2】（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ） A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； B．若，则与的长度相等且方向相同或相反； C．若，且与的方向相同，则 D．若，则与方向相同或相反 【变式1-3】（23-24高一下·广东惠州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若为实数，则向量与方向相同 D．单位向量的模都相等 题型二：线性运算 【例2】（23-24高一下·河北张家口·期末）如图，在中，D是线段BC上的一点，且满足：，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·山东聊城·期末）设，，任意一点P关于点A的对称点为M，关于点B的对称点为N，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·湖北武汉·期末）平行四边形ABCD中，点M是线段BC的中点，N是线段CD的中点，则向量为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·陕西西安·期末）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 题型三：三点共线 【例3】（23-24高一下·广东深圳·期末）已知 中， ，若 ，且 三点共线， 则 （      ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·山东滨州·期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则x的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】（23-24高一下·四川乐山·期末）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【变式3-3】（23-24高一下·云南丽江·期中）已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（    ） A． B． C． D． 题型四：平面向量共线定理及推论 【例4】（23-24高一下·山西·期中）在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若，，则 ． 【变式4-1】（20-21高一下·浙江·期末）在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为 ． 【变式4-2】（24-25高一下·河南信阳·阶段练习）如图，在中，是线段上的一点，若，则实数 ． 【变式4-3】（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，是边长为2的等边三角形，O是边AC上一点，延长DO至点B，若，且（为常数），则的长度是 . 题型五：平面向量的运算 【例5】（24-25高一下·北京顺义·期中）已知向量 和 ，则 ，， 求： (1) 的值； (2) 的值； (3)求向量 在 方向上的投影向量； 【变式5-1】（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知向量，满足，，. (1)求向量与的夹角； (2)求证：； (3)求. 【变式5-2】（24-25高一下·重庆荣昌·期中）已知平面向量，，，，且与的夹角为． (1)求的值； (2)若与（）垂直，求的值． 【变式5-3】（24-25高一下·湖北黄冈·期中）已知向量，满足. (1)求与的夹角； (2)若，求实数的值； (3)求与夹角的余弦值. 题型六：平面向量的坐标表示 【例6】（23-24高一下·天津西青·期末）已知向量满足 (1)若，求向量的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 【变式6-1】（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，． (1)求； (2)设，的夹角为，求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 【变式6-2】（24-25高一下·河南·期中）已知向量，． (1)求； (2)若向量，且，求m的值； (3)求与垂直的单位向量的坐标． 【变式6-3】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知平行四边形的三个顶点分别为，，. (1)求顶点的坐标； (2)求平行四边形的面积. 题型七：四心问题 【例7】（多选题）（23-24高一下·湖南长沙·期末）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点为的外心（外接圆圆心） B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，，分别表示，的面积，则 D．若，则点是的内心 【变式7-1】（多选题）（23-24高一下·福建龙岩·期末）莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在1765年首次提出定理：的外心O，重心G，垂心H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（多选题）（23-24高一下·吉林·期末）欧拉线定理指出三角形的外心､垂心､重心都在同一条直线士，且重心与外心之间的距离是重心与垂心之间的距离的一半.设分别是的外心､垂心和重心，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（多选题）（23-24高一下·四川成都·期末）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（    ） A．的内切圆半径为 B． C． D． 题型八：新定义问题 【例8】（多选题）（23-24高一下·湖北武汉·期中）假设，且．当时，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，若，则记为，那么下列说法中正确的是（    ） A．设，则 B．设，若//，则 C．设，若，则 D．设，若与的夹角为，则 【变式8-1】（多选题）（24-25高二上·浙江杭州·期中）定义两个向量之间的一种新运算：，其中是向量的夹角，则对于非零向量，则下列结论一定成立的是（   ） A．若，则 B． C． D．若，则 【变式8-2】（多选题）（24-25高一下·云南昭通·期中）定义平面内两个非零向量的一种运算：，则以下说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【变式8-3】（多选题）（23-24高一下·重庆·期末）对非零向量，，定义运算“”：，其中为与的夹角，则（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若中，，，，则 D．若中，，则是等腰三角形或有内角为135°的三角形 【强化训练】 1．（24-25高一下·四川·期中）若为单位向量，，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25高一下·四川·期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O，若，则的值是（ ） A． B．2 C． D． 3．（24-25高一下·河北沧州·期中）已知点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）已知扇形OAB的圆心角是，半径是1，C是弧AB上不与A，B重合的一点，设，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 5．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）下列结论正确的个数是（    ） ①； ②若，则A，B，C，D四点构成平行四边形 ③若平面向量与平面向量相等，则向量与是始点与终点都相同的向量 ④向量与可以作为平面内所有向量的一组基底 ⑤若两非零向量，满足，则与的夹角是 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）已知平间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）设，为非零向量，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高一下·北京·期中）如图，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（24-25高一下·江苏连云港·期中）下列说法中正确的是（   ） A．若，则，且方向相同 B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C．对任意向量，，，都有 D．是的所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 10．（多选题）（24-25高一下·四川·期中）下列说法错误的是（ ） A． B．若向量与共线，则存在唯一的实数使 C．若非零向量，满足，则与的夹角为60 D．若非零向量，满足，则 11．（多选题）（24-25高一下·重庆万州·期中）奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则.设是内一点，的三个内角分别为，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）已知向量，，且，则 ． 13．（24-25高一下·广东茂名·期中）扇形的半径为1，，点在弧上运动，，则的最大值是 . 14．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知向量，，若存在、，使得，则实数的取值集合为 . 15．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，已知，，，，，CM与BN相交于点P． (1)求CM的长度； (2)若，求的值； (3)求的最小值，并求此时的余弦值． 16．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知向量满足． (1)若，求向量与的夹角； (2)若．求的值． 17．（24-25高一下·山西阳泉·期中）已知向量． (1)求向量与的夹角的大小； (2)若向量，求实数的值； 18．（24-25高一下·广东清远·期中）在中，角，，所对的边分别为，，.为边上的中线，点，分别为边，上的动点，交于点.已知，且. (1)求； (2)若，求； (3)在（2）的条件下，若，求的取值范围. 19．（24-25高一下·广东江门·期中）1637年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量的基本运算与线性表示 【题型归纳目录】 题型一：平面向量的概念 题型二：线性运算 题型三：三点共线 题型四：平面向量共线定理及推论 题型五：平面向量的运算 题型六：平面向量的坐标表示 题型七：四心问题 题型八：新定义问题 【知识点梳理】 知识点一、向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模） 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量的单位向量为 平行向量 方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量） 与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 知识点二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 （1）交换律： （2）结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同；②当时．的方向与的方向相反；③当时，． 结合律：； 分配律： ， 知识点三、平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． 知识点四、平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 知识点五、平面向量共线 （1）线性表示 向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得 （2）坐标表示 设，其中，则 知识点六、两个向量的夹角 1、定义 已知两个非零向量和，作，则叫做向量与的夹角． 2、范围 向量夹角的范围是，与同向时，夹角；与反向时，夹角． 3、向量垂直 如果向量与的夹角是，则与垂直，记作． 知识点七、平面向量的数量积 1、已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，即，其中是与的夹角． 规定． 当时，，这时 2、的几何意义： 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 知识点八、数量积的运算律 （1）交换律：． （2）分配律：． （3）对． 知识点九、向量数量积的性质 1、如果是单位向量，则． 2、． 3、， 4、．（为与的夹角） 5、． 知识点十、数量积的坐标运算 设，则： 1、． 2、． 3、． 4、（为与的夹角） 【典型例题】 题型一：平面向量的概念 【例1】（24-25高一上·辽宁大连·期末）①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】对于①：平行向量就是共线向量，故①正确； 对于②：若向量与是共线向量，则直线直线或、、、四点共线，故②错误； 对于③：若非零向量与满足，即，所以、互为相反向量，故③正确. 故选：C 【变式1-1】（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【解析】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 【变式1-2】（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ） A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； B．若，则与的长度相等且方向相同或相反； C．若，且与的方向相同，则 D．若，则与方向相同或相反 【答案】C 【解析】对于A，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故A错误： 对于B，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故B错误； 对于C，因为，且与同向，由两向量相等的条件，可得，故C正确； 对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误. 故选：C． 【变式1-3】（23-24高一下·广东惠州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若为实数，则向量与方向相同 D．单位向量的模都相等 【答案】D 【解析】对于选项A：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A错误； 对于选项B：例如，是非零向量，可知是共线向量但不是相等向量，故B错误； 对于选项C：例如是非零向量，且，可知向量与方向相反，故C错误； 对于选项D：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D正确； 故选：D. 题型二：线性运算 【例2】（23-24高一下·河北张家口·期末）如图，在中，D是线段BC上的一点，且满足：，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，则， 所以. 故选：B. 【变式2-1】（23-24高一下·山东聊城·期末）设，，任意一点P关于点A的对称点为M，关于点B的对称点为N，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：分别为的中点，则∥，且， 所以. 故选：D. 【变式2-2】（23-24高一下·湖北武汉·期末）平行四边形ABCD中，点M是线段BC的中点，N是线段CD的中点，则向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据三角形中位线知：. 故选：C. 【变式2-3】（23-24高一下·陕西西安·期末）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】正方形ABCD中，M是BC的中点，则，则， 于是，而， 所以. 故选：C 题型三：三点共线 【例3】（23-24高一下·广东深圳·期末）已知 中， ，若 ，且 三点共线， 则 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因为所以， , 因为三点共线，所以, , 所以 . 故选：C. 【变式3-1】（23-24高一下·山东滨州·期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则x的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】若A，B，C三点共线，则共线. 即，则. 故选：C. 【变式3-2】（23-24高一下·四川乐山·期末）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【解析】因为向量是不共线的向量，且， 对于A中，设，即， 可得，此时方程组无解，所以三点不共线，所以A不正确； 对于B中，设，且，可得， 可得，解得 ，所以三点共线，所以B正确； 对于C中，设，且，可得， 可得，此时方程组无解 ，所以三点不共线，所以C不正确； 对于D中，设，可得， 可得，此时方程组无解 ，所以三点不共线，所以D不正确. 故选：B. 【变式3-3】（23-24高一下·云南丽江·期中）已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，且B，C，D三点共线，即, 又，所以，解得. 故选：C. 题型四：平面向量共线定理及推论 【例4】（23-24高一下·山西·期中）在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若，，则 ． 【答案】2 【解析】如图所示延长AD，BE交于点P， ∵，，E为CD中点， ， 又P，B，F三点共线，则，∴． 故答案为：2 【变式4-1】（20-21高一下·浙江·期末）在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 又三点共线，所以， 所以，当且仅当，妈时等号成立．所以的最小值为． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25高一下·河南信阳·阶段练习）如图，在中，是线段上的一点，若，则实数 ． 【答案】/0.4 【解析】在中，由及，得， 由三点共线，得，所以. 故答案为： 【变式4-3】（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，是边长为2的等边三角形，O是边AC上一点，延长DO至点B，若，且（为常数），则的长度是 . 【答案】1 【解析】因为，故， 设，则，故共线， 且也共线，故即为，故， 故，故，而等边中边上的高为， 故，故， 故答案为：1. 题型五：平面向量的运算 【例5】（24-25高一下·北京顺义·期中）已知向量 和 ，则 ，， 求： (1) 的值； (2) 的值； (3)求向量 在 方向上的投影向量； 【解析】（1）∵ ，， . ∴ ； （2）∵， ∴ ； （3）∵， ∴ ∴向量 在 方向上的投影向量是. 【变式5-1】（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知向量，满足，，. (1)求向量与的夹角； (2)求证：； (3)求. 【解析】（1）由于. 且，所以. （2）∵， ∴. （3） . 【变式5-2】（24-25高一下·重庆荣昌·期中）已知平面向量，，，，且与的夹角为． (1)求的值； (2)若与（）垂直，求的值． 【解析】（1）∵，，且与的夹角为， ∴， 故； （2）∵与（）垂直， ∴， 即，解得：． 【变式5-3】（24-25高一下·湖北黄冈·期中）已知向量，满足. (1)求与的夹角； (2)若，求实数的值； (3)求与夹角的余弦值. 【解析】（1）记，所成角为， 有，则，即， 又.所以， 又，因为，所以. 因为，所以. （2）因为，所以， 展开得，又由，，得 （3）因为，∴ 因为，所以 可得. 所以与的夹角的余弦值为. 题型六：平面向量的坐标表示 【例6】（23-24高一下·天津西青·期末）已知向量满足 (1)若，求向量的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 【解析】（1），， ； （2）由，知与夹角的余弦值为； （3）， 由与垂直， 则， 解得. 【变式6-1】（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，． (1)求； (2)设，的夹角为，求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 【解析】（1）因为，，所以； （2）； （3）因为，，所以，， 由向量与互相垂直得，， 所以，化简得，解得. 【变式6-2】（24-25高一下·河南·期中）已知向量，． (1)求； (2)若向量，且，求m的值； (3)求与垂直的单位向量的坐标． 【解析】（1）由向量，，得， 所以. （2）向量，则， 由，得，解得， 所以m的值为. （3），设与垂直的向量， 则，取，得，则， 与向量共线的单位向量为， 所以与垂直的单位向量的坐标或. 【变式6-3】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知平行四边形的三个顶点分别为，，. (1)求顶点的坐标； (2)求平行四边形的面积. 【解析】（1）根据平行四边形性质，， 设，即， 解得，故 （2），则， 又，则， 于是到的距离为， 又， 则平行四边形的面积为： 题型七：四心问题 【例7】（多选题）（23-24高一下·湖南长沙·期末）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点为的外心（外接圆圆心） B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，，分别表示，的面积，则 D．若，则点是的内心 【答案】BCD 【解析】A选项，，即，故⊥， 同理可得⊥，⊥，则点为的垂心，A错误； B选项，过点作⊥于点，取的中点，连接， 则，， 则， 故点在中线上，故向量一定经过的重心，B正确； C选项，如图，分别为的中点， ， 则，故， 所以， 故，C正确； D选项，分别表示方向上的单位向量， 故， ，故⊥， 由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上， 则点是的内心，D正确. 故选：BCD 【变式7-1】（多选题）（23-24高一下·福建龙岩·期末）莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在1765年首次提出定理：的外心O，重心G，垂心H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】如图，根据欧拉线定理，外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半， 根据重心的性质可知： ，D错误； ，C正确； 为的重心，，，A正确， 由于,所以,故B错误， 故选：AC． 【变式7-2】（多选题）（23-24高一下·吉林·期末）欧拉线定理指出三角形的外心､垂心､重心都在同一条直线士，且重心与外心之间的距离是重心与垂心之间的距离的一半.设分别是的外心､垂心和重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，连接并延长，交于点，则是的中点，， 于是，当时，不共线，即， A错误； 对于B，由欧拉线定理得，有，则，B正确； 对于C，是的垂心，即，则， 于是，即，C正确； 对于D，由欧拉线定理知，则，即，D正确. 故选：BCD 【变式7-3】（多选题）（23-24高一下·四川成都·期末）的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（    ） A．的内切圆半径为 B． C． D． 【答案】ABD 【解析】取边的中点，连接， 因为，所以内心P、外心O、重心G都在中线上， 且，，内切圆半径， 对于A，由得 ，解得，故A正确； 对于B，因为，所以， ，故B正确； 对于C，由余弦定理得， ，所以， 所以的外接圆半径， ，所以， 所以， ，故C错误； 对于D，的外接圆半径， ，所以，故D正确. 故选：ABD. 题型八：新定义问题 【例8】（多选题）（23-24高一下·湖北武汉·期中）假设，且．当时，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，若，则记为，那么下列说法中正确的是（    ） A．设，则 B．设，若//，则 C．设，若，则 D．设，若与的夹角为，则 【答案】ABD 【解析】由题意可得：， 对于A：若，则， 可得， 所以，故A正确； 对于B：∵，则， 若//，则有： 当或时，则或，可得成立； 当且时，则存在唯一实数，使得， 则，可得，整理得； 综上所述：若//，则，故B正确； 对于C：∵，则， 可得， 若，则，故C错误； 对于D：∵， 由选项A可得：， 由选项C可得：， 若与的夹角为，则， 即，解得， ∵，则，故D正确； 故选：ABD. 【变式8-1】（多选题）（24-25高二上·浙江杭州·期中）定义两个向量之间的一种新运算：，其中是向量的夹角，则对于非零向量，则下列结论一定成立的是（   ） A．若，则 B． C． D．若，则 【答案】AB 【解析】A选项，，则，即或，所以，故A正确； B选项，，故B正确； C选项，，故C错； D选项， 当时，，故D错. 故选：AB. 【变式8-2】（多选题）（24-25高一下·云南昭通·期中）定义平面内两个非零向量的一种运算：，则以下说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，B选项，两个非零向量， 所以，即， 所以得到同向或反向，故A正确，B错误； 对于C，由定义知，，故C正确； 对于D，由定义知，又， 故，当且仅当时，等号成立，故D正确， 故选：ACD． 【变式8-3】（多选题）（23-24高一下·重庆·期末）对非零向量，，定义运算“”：，其中为与的夹角，则（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若中，，，，则 D．若中，，则是等腰三角形或有内角为135°的三角形 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，所以或， 当时，，，所以 ； 当时，，，所以 ， 所以A正确. 对于B，，， 所以，所以，所以B正确. 对于C，因为中，，，， 所以， 所以C错误. 对于D，因为，所以, 所以，所以或， 当时，是等腰三角形； 当时，； 所以是等腰三角形或有内角为135°的三角形， 所以D正确. 故选：ABD. 【强化训练】 1．（24-25高一下·四川·期中）若为单位向量，，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为，为单位向，所以， 即，所以， 所以. 故选：D 2．（24-25高一下·四川·期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O，若，则的值是（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】因为在上，所以与共线， 设，因为，所以， 又D是BC的中点，所以，所以， ， ， 所以， 所以，即，所以，故 所以， 故选：C 3．（24-25高一下·河北沧州·期中）已知点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】为，所以， 则． 故选：A 4．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）已知扇形OAB的圆心角是，半径是1，C是弧AB上不与A，B重合的一点，设，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为C是弧AB上不与A，B重合的一点，且， 由向量的性质可知，， 由可得， 化简可得， 即，即， 解得，且，， 则，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 5．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）下列结论正确的个数是（    ） ①； ②若，则A，B，C，D四点构成平行四边形 ③若平面向量与平面向量相等，则向量与是始点与终点都相同的向量 ④向量与可以作为平面内所有向量的一组基底 ⑤若两非零向量，满足，则与的夹角是 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】由已知得：，①对； 若，则A，B，C，D四点可以构成平行四边形或者A，B，C，D四点共线，故②错误， 若平面向量与平面向量相等，则始点相同时，终点必须相同，始点不同时终点也不相同，故③错误， 因为，故与不共线，可作为基底，故④正确， 设， 则， 所以，设与的夹角为， 则，即，⑤正确. 故选：B 6．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）已知平间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】向量在向量上的投影向量为． 故选：C． 7．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）设，为非零向量，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】表示方向上的单位向量. 若，则与同向，所以，即； 若，当与同向时，；当与反向时，， 即. 故选：A. 8．（24-25高一下·北京·期中）如图，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为线段的中点，则 ， 因为点是线段上靠近的三等分点，则， 因此，. 故选：A. 9．（多选题）（24-25高一下·江苏连云港·期中）下列说法中正确的是（   ） A．若，则，且方向相同 B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C．对任意向量，，，都有 D．是的所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 【答案】ABD 【解析】对于A，由可知，大小相等，方向相同，故A正确； 对于B，依题意，， 则向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，对任意向量，，，与结果均为实数， 设为，，则，， 而与关系不明确，故得不到，即C错误； 对于D，如图，分别取，则，即得，故， 因，则， 故，即的面积是的面积的2倍，故D正确. 故选：ABD. 10．（多选题）（24-25高一下·四川·期中）下列说法错误的是（ ） A． B．若向量与共线，则存在唯一的实数使 C．若非零向量，满足，则与的夹角为60 D．若非零向量，满足，则 【答案】ABC 【解析】对于：当时，与共线， 时，与共线， 而与不一定共线，所以不一定成立，故错误； 对于：若，时，向量与共线，但不存在实数使； 当时，向量与共线，但实数不唯一，任意实数都能使成立.故错误； 对于：，则以为三边的三角形为等边三角形， 则与的夹角为，所以与的夹角为，故错误； 对于：，则， 则， ，即，故正确. 故选：. 11．（多选题）（24-25高一下·重庆万州·期中）奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则.设是内一点，的三个内角分别为，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为为的垂心，所以，A正确，B错误. 由上知， 同理，. 因为，所以， 所以，同理，， 所以. 因为，所以. 设， 因为，所以， 所以，解得，所以，C正确，D错误. 故选：AC 12．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）已知向量，，且，则 ． 【答案】/ 【解析】因为向量，，且，则， 所以，． 因此， . 故答案为：. 13．（24-25高一下·广东茂名·期中）扇形的半径为1，，点在弧上运动，，则的最大值是 . 【答案】2 【解析】解法1：以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系， 设，则，其中． 因为，所以，即， 所以． 所以当时，取得最大值2，此时点为的中点 解法2：因为，且， 所以， 又，所以， 当时，，整理得， 当且仅当时等号成立. 当或时，. 综上，的最大值为2. 故答案为：2 14．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知向量，，若存在、，使得，则实数的取值集合为 . 【答案】 【解析】因为，，， 所以， 整理得， 因为，所以， 所以，所以， 所以或 当时，可得，所以， 当时，可得，所以， 综上所述：实数的取值集合为. 故答案为：. 15．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，已知，，，，，CM与BN相交于点P． (1)求CM的长度； (2)若，求的值； (3)求的最小值，并求此时的余弦值． 【解析】（1）因为，则， 则， 则，即CM的长度为. （2）当时，， 由于三点共线，则存在实数， 使得， 由于三点共线，则存在实数， 使得， 所以，解得， 则， 则 . （3）由，，， 则，， 所以 ， 则时，取得最小值. 此时，， 则，， 所以 ， ， 由（1）知，， 所以. 16．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知向量满足． (1)若，求向量与的夹角； (2)若．求的值． 【解析】（1）由，得，， 因此，而，则， 所以向量与的夹角为. （2）由，得，则，解得， 所以. 17．（24-25高一下·山西阳泉·期中）已知向量． (1)求向量与的夹角的大小； (2)若向量，求实数的值； 【解析】（1）由向量，得， 于是，而， 所以. （2）由向量，得，， 由，得，解得， 所以实数的值是. 18．（24-25高一下·广东清远·期中）在中，角，，所对的边分别为，，.为边上的中线，点，分别为边，上的动点，交于点.已知，且. (1)求； (2)若，求； (3)在（2）的条件下，若，求的取值范围. 【解析】（1）因为，由正弦定理可得，， 由余弦定理可得，， 所以，得，即. （2）在中，由余弦定理可得， 在中,, , 化简可得，因此 因此, 解得（负值舍去），进而，, 故中， （3）由题意，设. 则， ，. 为的中点，，即， 所以， 又三点共线，即. 所以 ， ，， ， 又由，可得， 所以， ，. 故的取值范围是. 19．（24-25高一下·广东江门·期中）1637年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 【解析】（1）由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则， 所以. （2）由，，得，， 且， 所以，，， 则，， 因为与的夹角为，则，解得. 又，，所以； （3）依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则， 因为为中点，同理可得， 所以， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理， 设，则，且， 所以，， ，为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$