2025年九年级数学中考三轮冲刺训练圆中相似三角形综合训练

2025年九年级数学中考三轮冲刺训练圆中相似三角形综合训练 1．已知AD为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为M，分别过A，D两点作BC的垂线，垂足分别为B，C，AD的延长线与BC相交于点E． （1）求证：△ABM∽△MCD； （2）若AD=8，AB=5，求ME的长． 2．如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD=60°． （1）求∠ABD的度数； （2）若AB=6，求PD的长度． 3．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，点P在BC延长线上，且满足∠PAC=∠B． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）弦CE⊥AD交AB于点F，若AF•AB=12，求AC的长． 4．如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是的中点． （1）求证：直线l是⊙O的切线； （2）若PA=6，求PB的长． 5．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD． （1）求证：AD=AE； （2）若AB=6，AC=4，求AE的长． 6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F． （1）求证：EF=BF； （2）若DC=4，DE=2，求直径AB的长． 7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长． 8．如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E． （1）求证：△ABE∽△BCD； （2）若MB=BE=1，求CD的长度． 9．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC． （1）求证：AC∥PO； （2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求的值． 10．如图，AB是⊙O的直径，=，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若OB=2，求BD的长． 11．已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC=CP． （1）求∠P的度数； （2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE•DC=20，求⊙O的面积．（π取3.14） 12．如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B． （1）求证：直线BC是⊙O的切线； （2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度． 13．如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上． （1）求证：∠CAD=∠BDC； （2）若BD=AD，AC=3，求CD的长． 24．如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）． （1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值； （2）求证：△PAN∽△PMB． 15．如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB． （1）求证：AC平分∠FAB； （2）求证：BC2=CE•CP； （3）当AB=4且=时，求劣弧的长度． 16．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且=． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若AD=12，AM=MC，求的值． 参考答案 1.【解答】（1）证明：∵AD为圆O的切线， ∴∠AMD=90°， ∵∠BMC=180°， ∴∠2+∠3=90°， ∵∠ABM=∠MCD=90°， ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3， 则△ABM∽△MCD； （2）解：连接OM， ∵BC为圆O的切线， ∴OM⊥BC， ∵AB⊥BC， ∴sin∠E==，即=， ∵AD=8，AB=5， ∴=，即OE=16， 根据勾股定理得：ME===4． 2．【解答】解：（1）方法一：如图1，连接AD． ∵BA是⊙O直径， ∴∠BDA=90°． ∵=， ∴∠BAD=∠C=60°． ∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣60°=30°． 方法二：如图2，连接DA、OD，则∠BOD=2∠C=2×60°=120°． ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB=（180°﹣120°）=30°． 即∠ABD=30°． （2）如图1，∵AP是⊙O的切线， ∴∠BAP=90°． 在Rt△BAD中，∵∠ABD=30°， ∴DA=BA=×6=3． ∴BD=DA=3． 在Rt△BAP中，∵cos∠ABD=， ∴cos30°==． ∴BP=4． ∴PD=BP﹣BD=4﹣3=． 3．【解答】（1）∵AD是⊙O的直径 ∴∠ACD=90°； ∴∠CAD+∠D=90° ∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA， ∴∠CAD+∠PAC=90°， ∴∠PAD=90°， ∴PA⊥AD， ∵点A在⊙O上， ∴PA是⊙O的切线 （2）∵CF⊥AD， ∴∠ACF+∠CAD=90°， ∵∠CAD+∠D=90°， ∴∠D=∠ACF， ∴∠B=∠ACF， ∵∠BAC=∠CAF， ∴△ABC∽△ACF， ∴， ∴AC2=AF•AB ∵AF•AB=12， ∴AC2=12， ∴AC=2． 4．【解答】（1）证明：连接DE，OA． ∵PD是直径， ∴∠DEP=90°， ∵PB⊥FB， ∴∠DEP=∠FBP， ∴DE∥BF， ∵=， ∴OA⊥DE， ∴OA⊥BF， ∴直线l是⊙O的切线． （2）解：作OH⊥PA于H． ∵OA=OP，OH⊥PA， ∴AH=PH=3， ∵OA∥PB， ∴∠OAH=∠APB， ∵∠AHO=∠ABP=90°， ∴△AOH∽△PAB， ∴=， ∴=， ∴PB=． 5．【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径， ∴∠BAE=90°，∠ADB=90°， ∵CE∥AB， ∴∠E=90°， ∴∠E=∠ADB， ∵在△ABC中，AB=BC， ∴∠BAC=∠BCA， ∵∠BAC+∠EAC=90°，∠ACE+∠EAC=90°， ∴∠BAC=∠ACE， ∴∠BCA=∠ACE， 又∵AC=AC， ∴△ADC≌△AEC（AAS）， ∴AD=AE； （2）解：设AE=AD=x，CE=CD=y， 则BD=（6﹣y）， ∵△AEC和△ADB为直角三角形， ∴AE2+CE2=AC2，AD2+BD2=AB2， AB=6，AC=4，AE=AD=x，CE=CD=y，BD=（6﹣y）代入， 解得：x=，y=， 即AE的长为． 6．【解答】（1）证明：∵OC⊥CD，AD⊥CD， ∴OC∥AD，∠OCD=90°， ∴∠OFE=∠OCD=90°， ∵OB=OE， ∴EF=BF； （2）∵∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵∠OCD=∠CFE=90°， ∴四边形EFCD是矩形， ∴EF=CD，DE=CF， ∵DC=4，DE=2， ∴EF=4，CF=2， 设⊙O的为r， ∵∠OFB=90°， ∴OB2=OF2+BF2， 即r2=（r﹣2）2+42， 解得，r=5， ∴AB=2r=10， 即直径AB的长是10． 7．【解答】解：（1）如图， 连接BD，∵∠BAD=90°， ∴点O必在BD上，即：BD是直径， ∴∠BCD=90°， ∴∠DEC+∠CDE=90°， ∵∠DEC=∠BAC， ∴∠BAC+∠CDE=90°， ∵∠BAC=∠BDC， ∴∠BDC+∠CDE=90°， ∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE， ∵点D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切线； （2）∵DE∥AC， ∵∠BDE=90°， ∴∠BFC=90°， ∴CB=AB=8，AF=CF=AC， ∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°， ∴∠CDE=∠CBD， ∵∠DCE=∠BCD=90°， ∴△BCD∽△DCE， ∴， ∴， ∴CD=4， 在Rt△BCD中，BD==4 同理：△CFD∽△BCD， ∴， ∴， ∴CF=， ∴AC=2AF=． 8．【解答】（1）证明：∵BC为⊙M切线 ∴∠ABC=90° ∵DC⊥BC ∴∠BCD=90° ∴∠ABC=∠BCD ∵AB是⊙M的直径 ∴∠AGB=90° 即：BG⊥AE ∴∠CBD=∠A ∴△ABE∽△BCD （2）解：过点G作GH⊥BC于H ∵MB=BE=1 ∴AB=2 ∴AE= 由（1）根据面积法 AB•BE=BG•AE ∴BG= 由勾股定理： AG=，GE= ∵GH∥AB ∴ ∴ ∴GH= 又∵GH∥AB ① 同理：② ①+②，得 ∴ ∴CD= 9．【解答】（1）证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点， ∴PA=PB，且PO平分∠BPA， ∴PO⊥AB． ∵BC是直径， ∴∠CAB=90°， ∴AC⊥AB， ∴AC∥PO； （2）解：连结OA、DF，如图， ∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点， ∴∠OAQ=∠PBQ=90°． 在Rt△OAQ中，OA=OC=3，∴OQ=5． 由QA2+OA2=OQ2，得QA=4． 在Rt△PBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8， 由QB2+PB2=PQ2，得82+PB2=（PB+4）2， 解得PB=6， ∴PA=PB=6， ∵OP⊥AB， ∴BF=AF=AB． 又∵D为PB的中点， ∴DF∥AP，DF=PA=3， ∴△DFE∽△QEA， ∴==， 设AE=4t，FE=3t，则AF=AE+FE=7t， ∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t， ∴==． 10．【解答】（1）证明：连接OC， ∵AB是⊙O的直径，=， ∴∠BOC=90°， ∵E是OB的中点， ∴OE=BE， 在△OCE和△BFE中， ∵， ∴△OCE≌△BFE（SAS）， ∴∠OBF=∠COE=90°， ∴直线BF是⊙O的切线； （2）解：∵OB=OC=2， 由（1）得：△OCE≌△BFE， ∴BF=OC=2， ∴AF===2， ∴S△ABF=， 4×2=2•BD， ∴BD=． 11．【解答】解：（1）连接OC， ∵PC为⊙O的切线， ∴∠OCP=90°，即∠2+∠P=90°， ∵OA=OC， ∴∠CAO=∠1， ∵AC=CP， ∴∠P=∠CAO， 又∵∠2是△AOC的一个外角， ∴∠2=2∠CAO=2∠P， ∴2∠P+∠P=90°， ∴∠P=30°； （2）连接AD， ∵D为的中点， ∴∠ACD=∠DAE， ∴△ACD∽△EAD， ∴=，即AD2=DC•DE， ∵DC•DE=20， ∴AD=2， ∵=， ∴AD=BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴Rt△ADB为等腰直角三角形， ∴AB=2， ∴OA=AB=， ∴S⊙O=π•OA2=10π=31.4． 12．【解答】（1）证明：连接OD， ∵AG是∠HAF的平分线， ∴∠CAD=∠BAD， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠CAD=∠ODA， ∴OD∥AC， ∵∠ACD=90°， ∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB， ∵D在⊙O上， ∴直线BC是⊙O的切线； （2）解：在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a， 连接DE， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ADE=90°， 由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°， ∴△ACD∽△ADE， ∴， 即， ∴a=， 由（1）知：OD∥AC， ∴=，即， ∵a=，解得BD=r． 13.【解答】（1）证明：连接OD，如图所示． ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB． ∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径， ∴∠ODB+∠BDC=90°． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠OBD+∠CAD=90°， ∴∠CAD=∠BDC． （2）解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB， ∴△CDB∽△CAD， ∴=． ∵BD=AD， ∴=， ∴=， 又∵AC=3， ∴CD=2． 14.【解答】解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB， ∵OM=AB=×4=2， ∴S△ABM=AB•OM=×4×2=4； （2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P， ∴△PAN∽△PMB． 15．【解答】（1）证明：∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°， ∵∠BCP=∠BCE， ∴∠ACF=∠ACE，即AC平分∠FAB． （2）证明：∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB， ∴∠OCP=∠CEB=90°， ∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°， ∴∠BCE=∠BCP， ∵CD是直径， ∴∠CBD=∠CBP=90°， ∴△CBE∽△CPB， ∴=， ∴BC2=CE•CP； （3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a， ∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°， ∴∠MCB=∠PBM， ∵CD是直径，BM⊥PC， ∴∠CMB=∠BMP=90°， ∴△BMC∽△PMB， ∴=， ∴BM2=CM•PM=3a2， ∴BM=a， ∴tan∠BCM==， ∴∠BCM=30°， ∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120° ∴的长==π． 16．【解答】（1）证明：连接OD、OP、CD． ∵=，∠A=∠A， ∴△ADM∽△APO， ∴∠ADM=∠APO， ∴MD∥PO， ∴∠1=∠4，∠2=∠3， ∵OD=OM， ∴∠3=∠4， ∴∠1=∠2， ∵OP=OP，OD=OC， ∴△ODP≌△OCP， ∴∠ODP=∠OCP， ∵BC⊥AC， ∴∠OCP=90°， ∴OD⊥AP， ∴PD是⊙O的切线． （2）连接CD．由（1）可知：PC=PD， ∵AM=MC， ∴AM=2MO=2R， 在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2， ∴R2+122=9R2， ∴R=3， ∴OD=3，MC=6， ∵==， ∴DP=6， ∵O是MC的中点， ∴==， ∴点P是BC的中点， ∴BP=CP=DP=6， ∵MC是⊙O的直径， ∴∠BDC=∠CDM=90°， 在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6， ∴BM=6， ∵△BCM∽△CDM， ∴=，即=， ∴MD=2， ∴==． 学科网（北京）股份有限公司 $$