2025年山东省临沂市罗庄区中考一模数学试题

九年级数学试题第 1 页，共 6 页 2025 年初中学业水平考试适应性训练 数学 （时间：120 分钟 总分：120 分） 注意事项：1.答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2.答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题只有一个选项符合要求） 1.下列各数： 4 ， 2.8 ，0， 4 ，其中比3大的数是（ ） A． 4 B．-4 C．0 D． -2.8 2．剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．截至 2025 年 3 月 31 下午 15 时 00 分，中国电影《哪吒 2》在全球票房成绩斐然，已 斩获 154.68 亿的票房佳绩，成功跻身全球电影票房榜第五名.数据 154.68 亿元用科学记数 法表示为（ ） A． 110.15468 10 元 B． 91.5468 10 元 C． 8154.68 10 元 D． 101.5468 10 元 4．不等式组 3 1 4 1 2 x x x         的解集是（ ） A． 1x  B． 1x C． 1 1x   D．无解 5．榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇； 凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在▱ABCD 中，CE 平分∠BCD，交 AB 于点 E，EA＝2，EB＝3，ED＝ 5 ．则 CE 的长是（ ） A．5 2 B． 30 C．4 5 D．5 5 九年级数学试题第 2 页，共 6 页 7．为了让人工智能更好地理解情感，工程师设计了一套包含愤怒、高兴、悲伤、平静 4 种情绪的语音数据集.训练阶段，人工智能随机播放一条语音，播放出表达高兴或悲伤情 绪语音的概率为（ ） A． 1 4 B． 1 2 C． 3 4 D．1 8.如图，AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB，连接 CD，交 OB 于点 E， ∠BOC=44，则∠OED 的度数是（ ） A．61 B．63 C．66 D．67 9．如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90，AC= 2 3 ，BC=3．点 P 为△ABC 内一点，且满足 PA 2 +PC 2 =AC 2．则 BP 的长度最小值为（ ） A．3 B． 3 C． 3 3 4 D． 3 3 2 10．在平面直角坐标系中，对于点 P（x，y），若 x，y 均为整数，则称点 P 为“整点”．特 别地，当 y x （其中 0xy  ）的值为整数时，称“整点”P 为“超整点”，已知点 P（2a-4， a+3）在第二象限，下列说法正确的是（ ） A． 3a  B．若点 P 为“整点”，则点 P 的个数为 3 个 C．若点 P 为“超整点”，则点 P 的个数为 2 个 D．若点 P 为“超整点”，则点 P 到两坐标轴的距离之和小于 10 二、填空题（本题共 1 大题，5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11（1）因式分解：3x 2 -3= （2）菱形 ABCD 中，对角线 AC=6，BD=8，则菱形的高为_________ （3）若关于 x 的一元二次方程（a+2）x 2 +x+a 2 -4=0 的一个根是 0x  ，则 a 的值 （4）直线 l1：y=x-1 与 x 轴交于点 A，将直线 l1 绕点 A 顺时针旋转15，得到直线 l2，则 直线 l2对应的函数表达式是 第 9 题图 第 5 题图 第 8 题图 第 6 题图 E A DC B 九年级数学试题第 3 页，共 6 页 （5）如图 1，△ABC 是等边三角形，点 D 在边 AB 上，BD=2，动点 P 以每秒 1 个单位长 度的速度从点 B 出发，沿折线 BC-CA 匀速运动，到达点 A 后停止，连接 DP．设点 P 的 运动时间为 t（s），DP 2 为 y．当动点 P 沿 BC 匀速运动到点 C 时，y 与 t 的函数图象如 图 2．有以下四个结论：①AB=3；②当 t=5 时，y=1；③当4 6t  时，1 3y  ；其中 正确结论的序号是 三、解答题（本题共 8 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 12.（本题每小题 4 分，共 8 分） （1）计算： 1 01( ) sin 60 3 2 ( 3) 2       ； （2）当 x=2 时，求代数式 2 2 2 1 2 1 1 x x x x x x           的值． 13.（本小题满分 8 分） 如图 1，AC=2AB，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB，AC 于点 M，N.分别 以点 M，N 为圆心，以大于 1 2 MN 的长为半径画弧，两弧在∠BAC 内交于点 E.作射线 AE， 过点 C 作 CD∥AB，交 AE 于点 D. （1）求证：△ACD 是等腰三角形； （2）如图 2，若∠BAC=60，连接 BD，分别以点 A，C 为圆心，以大于 1 2 AC 的长为半 径画弧，两弧交于点 P，Q.作直线 PQ，交 AB 的延长线于点 F.连接 CF，交 BD 于点 G. 求 FG CG 的值. 第 11（5）题图 第 13 题图 1 第 13 题图 2 九年级数学试题第 4 页，共 6 页 14.（本小题满分 8 分） 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活 动 过 程 模型 抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形 ABCD，其示 意图如下： 测绘 过程 与数 据信 息 ①在水池外取一点 E，使得点 C，B，E 在同一条直线上； ②过点 E 作 GH⊥CE，并沿 EH 方向前进到点 F，用皮尺测得 EF 的长为 8 米； ③在点 F 处用测角仪测得∠CFG=60.3，∠BFG=45，∠AFG=21.8； ④用计算器计算得：sin60.3 0.87  ，cos60.3 0.50  ， tan60.3 1.75  ． sin21.8 0.37  ，cos21.8 0.93  ， tan21.8 0.40  ． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段 CE 和 BC 的长度：（2）求底座的底面 ABCD 的面积． 15.（本小题满分 8 分） 某中学九年级共有 600 名学生，从中随机抽取了 20 名学生进行信息技术操作测试， 测试成绩（单位：分）如下： 81 90 82 89 99 95 91 83 92 93 87 92 94 88 92 87 100 86 85 96 （1）请按组距为 5 将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图； 频数分布表: 成绩分组 划记 频数 （2）①这组数据的中位数是 ； ②分析数据分布的情况（写出一条即可） ； （3）若 85 分以上（不含 85 分）成绩为优秀等次，请预估该校九年级学生在同等难度的 信息技术操作考试中达到优秀等次的人数． 九年级数学试题第 5 页，共 6 页 16.（本小题满分 9 分） 如图，直线 y1＝ax+b 与双曲线 y2＝ k x （k≠0）分别相交于第二、四象限内 A（m，4），B （6，n）两点，与 x 轴相交于 C 点．已知 OC＝3，tan∠ACO＝ 2 3 ． （1）求 y1，y2 对应的函数表达式； （2）求△AOB 的面积； （3）直接写出当 x＜0 时，不等式 ax+b＞ k x 的解集． 17.（本小题满分 10 分） 如图，在⊙O 中，AB 是直径，AE 是弦，点 F 是弧 AE 上一点，弧 AF=弧 BE， AE，BF 交于点 C，点 D 为 BF 延长线上一点，且∠CAD=∠CDA. （1）求证：AD 是⊙O 的切线． （2）若 BE=2， AD= 7 ，求⊙O 的半径长． 第 16 题图 第 17 题图 九年级数学试题第 6 页，共 6 页 18.（本小题满分 12 分） 综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在□ABCD 中，BE⊥AD，垂 足为 E，F 为 CD 的中点，连接 EF，BF，试猜想 EF 与 BF 的数量关系，并加以证明； 独立思考：（1）请解答老师提出的问题； 实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将□ABCD 沿着 BF（F 为 CD 的中点）所在 直线折叠，如图②，点 C 的对应点为 C′，连接 DC′并延长交 AB 于点 G，请判断 AG 与 BG 的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将□ABCD 沿过点 B 的直线折叠，如图③，点 A 的 对应点为 A′，使 A′B⊥CD 于点 H ，折痕交 AD 于点 M，连接 A ′ M，交 CD 于点 N．该小 组提出一个问题：若此□ABCD 的面积为 20，边长 AB=5，BC=2 5 ，求 M 到 BH 的距 离．请你思考此问题，直接写出结果． 19.（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系中，直线 l：y1=kx+b 经过抛物线 y2=x 2 +4mx+m 2 -m（m≠0）的顶点．如 图，当抛物线经过原点时，其顶点记为 P． （1）求抛物线的解析式并直接写出点 P 的坐标； （2） 1t x t   时，y2 的最小值为 3 ，求 t 的值； （3）当 k=2 时.动点 E 在直线 l 下方的抛物线上，过点 E 作 EF∥x 轴交直线 l 于点 F，令 S=EF，求 S 的最大值． 第 18 题图 第 19题图 2025年初中学业水平考试适应性训练 数学参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C A B B C B D 二、填空题（本题共1大题，5小题，每小题3分，共15分） 11（1） 3（x+1）（x-1） （2） （3） 2 （4） （5）①② 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 12.（本题每小题4分，共8分） （1）原式==…4分 （2） 原式； ∴当时，原式．…………8分 13.（本小题满分8分） （1）证明：由题意知AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD,∵CD∥AB, ∴∠ADC=∠BAD, ∴∠ADC=∠CAD．∴CA=CD, ∴△ACD是等腰三角形………3分 （2）由题意知PQ垂直平分AC，∴FA=FC, ∵∠BAC=60, ∴△ACF是等边三角形，∴FA=AC =FC=CD, ∵AC=2AB∴AB=BF, ………6分∵CD∥AB, ∴∠BFG=∠DCG, ∠FBG=∠CDG，∴△BFG∽△DCG∴=………8分 14.（本小题满分8分） 解∶（1）∵，的长为8米，，∴， ∴米；∵，∴米，∴米；………4分 （2）过点A作于点M，：∵， ∴，∵米，∴米， ∴米，∴底座的底面的面积为：平方米．……8分 15.（本小题满分8分） 解：（1） 成绩分组 划记 正 一 频数 4 6 7 3 画出频数分布直方图如图：…………3分 （2）①90.5；②从频数分布直方图可知：成绩在的人数最多；…………5分 （3）600×＝480（人）， 答：该校九年级600名学生中，测试成绩达到优秀等次的人数大约为480人．……8分 16.（本小题满分9分） 解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝． ∴OD＝2，即点D（0，2），把点D（0，2），C（3，0）代入直线y1＝ax+b得， b＝2，3a+b＝0，解得，a＝-，∴直线的关系式为y1＝-x+2； 把A（m，4），B（6，n）代入y1＝-x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2， ∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），∴k＝﹣3×4＝﹣12， ∴反比例函数的关系式为y2＝﹣ ，因此y1＝-x+2，y2＝﹣；………4分 （2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+×3×2＝9．…………6分 由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3．…9分 17.（本小题满分10分） （1）证明：弧AF=弧BE，, ∴∠ABF=∠EAB ∵∠CAD=∠CDA,   ∠ABF+∠EAB +∠CAD+∠CDA=180  ， ∴∠EAB +∠CAD =90． 即∠BAD =90∴AD⊥AB．又∵OA为半径，    ∴AD是⊙O的切线．…………5分∠FBG=∠CDG （2）解：连接AF．∵BE=2，∴AF=BE=2．∵ AB是直径，∴∠AFB=90,   ∴∠AFD=90,在Rt△ADF中，, ． 又是直径∴⊙O的半径长为．   ………10分 18.（本小题满分12分） 解：（1）．…………1分 如图，分别延长，相交于点P，∵四边形是平行四边形， ∴，∴，,∵为的中点，∴， 在△PDF和△BCF中，，∴△PDF≌△BCF，∴， 即为的中点，∴，∵，∴，∴，∴．…………4分 （2）．…………5分 ∵将□ABCD沿着所在直线折叠，点的对应点为，∴∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，，∵为的中点，∴，∴，∴∠FDC′=∠FC′D，∵=∠FDC′+∠FC′D，∴，∴∠FC′D=∠C′FB，∴，∵四边形为平行四边形，∴，DC=AB，∴四边形为平行四边形， ∴，∴，∴．…………9分 （3）…………12分 19.（本小题满分12分） 解：（1）∵抛物线经过原点，∴ ，解得：或，∵，∴，①抛物线的解析式为，∵， ∴顶点的坐标为；…………4分 ②当，即时，随增大而减小，由题意得：， 解得：，（舍去）， 当时，则若时，的最小值为，不符合题意， 当时，随增大而增大，由题意得：，解得：（舍去），， 综上所述，的值为或；…………8分 ③由题意得：当时，则，∵经过点， ∴，可得，∴，由，可得，， 设点，且，∵轴，∴， 可得：，则，∴， ∵，，∴当时，取得最大值；………12分 九年级数学参考答案第3页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$