精品解析：湖南省汨罗市第二中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

2025年4月高二数学期中考试试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2 2. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列中，为其前项的和，若，，则（ ） A. 50 B. 100 C. 400 D. 500 4. 甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 12种 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量服从正态分布，且，则； B. 若事件相互独立，，则； C. 对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是； D. 若决定系数越大，则模型的拟合效果越好. 6. 在平面直角坐标系中，为曲线上位于第一象限内的一点，为在轴上的射影，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知随机变量服从二项分布，，下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 的最大值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 精确到0.01的近似值为0.85 D. 除以15的余数为3 11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 关于直线对称 B. 的弦长最大值大于 C. 直线被截得弦长的最大值为 D. 的面积小于 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 命题.写出该命题的否定______． 13. 已知，则______. 14. 已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为___________. 四、解答题（共80分） 15. 已知等差数列满足：，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若等差数列的公差不为零，且数列满足：，记数列的前n项和为，求证：； 16. 如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，. （1）求证平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表： 甲 乙 丙 第一轮回答正确的概率 第二轮回答正确的概率 若三人各自比赛时互不影响． （1）求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率； （2）在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率． 18. 在平面直角坐标系中，，，若点P是平面上一动点，且的周长为，设动点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）若直线与曲线C交于A，B两点，且，，求k的值. 19. 已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． （1）求椭圆方程； （2）设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标； （3）点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程． 20. 近年来，宠物逐渐成为人们的精神寄托，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为． （1）把频率作为概率，从中国家庭中随机取4户，求这4户中至少有3户养宠物的概率； （2）随机抽取200名成年人，得到如下列联表： 成年男性 成年女性 合计 养宠物 38 60 98 不养宠物 62 40 102 合计 100 100 200 是否有的把握认为是否养宠物与性别有关？ （3）记2018-2023年的年份代码依次为1，2，3，4，5，6，中国宠物经济产业年规模为（单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得关于的回归方程为，且．求相关系数，并判断该回归方程是否有价值． 参考公式：，其中，时有99%的把握认为变量有关联． 回归方程，其中，，相关系数，若，则认为与有较强的相关性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年4月高二数学期中考试试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的概念和运算求解出结果. 【详解】由，，得． 故选：A． 2. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案． 【详解】对于A，，是反比例函数，是奇函数又在区间上单调递减，不符合题意； 对于B，，是幂函数，既是奇函数又在区间上单调递增，符合题意； 对于C，，是偶函数，不是奇函数，不符合题意； 对于D，，其定义域为，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意． 故选：B． 3. 等差数列中，为其前项的和，若，，则（ ） A. 50 B. 100 C. 400 D. 500 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差求和公式即可代入求解. 【详解】， 故选：D 4. 甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】甲有种选法，乙可以选一门或者选两门，有种选法，根据分步乘法计数原理计算即可． 【详解】由题意得，甲只选一门，有种选法，乙可以选一门或者选两门，有种选法， 故不同的报名学习方式有种， 故选：C． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量服从正态分布，且，则； B. 若事件相互独立，，则； C. 对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是； D. 若决定系数越大，则模型的拟合效果越好. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态曲线可判断A选项；利用并事件的公式计算判断B选项；利用经验回归方程过样本中心点计算C选项；根据决定系数的意义判断D选项. 【详解】对于A选项，随机变量服从正态分布，均值， 正态曲线的对称轴为， ，， 由对称性知，，，故A正确； 对于B选项，若事件相互独立， 则，故B错误； 对于C选项，经验回归方程过样本中心点，将代入中得， ，解得，故C正确； 对于D选项，决定系数越大，回归模型的拟合效果越好，故D正确. 故选：B. 6. 在平面直角坐标系中，为曲线上位于第一象限内的一点，为在轴上的射影，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，构造函数，利用导数求出函数取得最大值时，点的坐标，进而可得出答案. 【详解】设， 则， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，所以此时最大， 此时， 所以的最大值为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法： （1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值； （2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值； （3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到. 7. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，利用赋值法可得出，即可得解. 【详解】令， 则， 故选：D. 8. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数分析函数单调性，再判断函数的对称性，可得原不等式转化为，利用单调性解不等式即可. 【详解】的定义域为， ，所以， 所以的图象关于对称， 由，所以， 即， 由于，所以在上单调递增， 所以，解得， 故选：A 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知随机变量服从二项分布，，下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项分布的期望方差公式判断A、C，根据二项分布的概率公式判断B，由，令，利用导数求出函数的最大值，即可判断D. 【详解】因为， 由，解得，所以，故A正确． ，故B正确． 由，解得或，所以或，故C错误． ， 设函数， 则． 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以的最大值为，故D正确． 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 精确到0.01的近似值为0.85 D. 除以15的余数为3 【答案】AC 【解析】 【分析】赋值法可判断A；由求出，由二项式系数和可判断B；，由二项式定理展开，取展开式前3项可判断C；，由二项式定理展开可判断D. 【详解】在中， 令，则，故A正确； 因为，所以， 所以，故B错误； ， 取展开式前3项，则精确到0.01的近似值为．故C正确； ，其中， 所以能被15整除， 所以除以15的余数为1，故D错误． 故选：AC． 11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 关于直线对称 B. 的弦长最大值大于 C. 直线被截得弦长的最大值为 D. 的面积小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求函数的反函数，结合反函数性质判断A，对于B，联立证明直线与曲线有两个交点，设右侧的交点为，左侧的交点为，求交点的距离，判断B，设为曲线的切线，结合导数的几何意义求，结合对称性判断C，证明左侧交点的横坐标大于，过点做的切线，再做该切线关于对称的直线，过，做切线的垂线，与两切线分别交于，求矩形的面积，判断D. 【详解】对于A：由， 所以函数的反函数为， 所以关于直线对称，故A正确； 对于B：有. 设，则， 由. 由， 所以在上单调递减，在上单调递增. 且， 所以存在，使得，另. 所以曲线与直线有两个交点，设右侧的交点为，左侧的交点为， 则，所以， 结合图象可得，的弦长最大值小于，故B错误； 对于C：因为直线与直线垂直， 设为曲线的切线，由， 所以切点为，所以切线方程为. 直线与的距离为. 所以直线被截得弦长的最大值为，即.故C正确； 对于D：由，所以B中. 过点做的切线，再做该切线关于对称的直线， 过，做切线的垂线，与两切线分别交于， 如图所示，构成矩形， 该矩形将图形包含在内，所以的面积小于矩形的面积. 又， 所以矩形的面积为.所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 命题.写出该命题的否定______． 【答案】，使得 【解析】 【分析】利用命题的否定，写出结果即可. 【详解】命题，则该命题的否定是：，使得， 故答案为：，使得 13. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】变形后用余弦二倍角公式进行求解. 【详解】. 故答案为： 14. 已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由题设可得的单调性，从而得到 ，利用同构可得，参变分离后可求参数的取值范围. 【详解】因为，所以 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即.令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，， 且由题干可知，，即， 若，则恒成立， 当时，恒成立等价于当时，， 故时，恒成立，故. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（共80分） 15. 已知等差数列满足：，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若等差数列的公差不为零，且数列满足：，记数列的前n项和为，求证：； 【答案】（1）或 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等比数列结合等差数列的通项公式计算求解即可； （2）应用裂项相消法求和得出，再结合单调性证明即可. 【小问1详解】 设数列的公差为d，依题意：成等比数列， 所以，解得：或 当时，，当时， 所以数列的通项公式为或 【小问2详解】 因为等差数列的公差不为零，由（1）知 则 所以，故 而随n的增大而增大，则，故成立 16. 如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，. （1）求证平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，先证四边形为平行四边形，然后由线线平行可得线面平行； （2）取的中点，连接，根据已知可得平面，过点作直线的垂线交于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接，则且， 又且，所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为四边形为等腰梯形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 过点作直线的垂线交于点， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为为直径，所以， 所以，，， 在等腰梯形中，，， 所以， 所以， 所以，， ，， 设平面的法向量为，则， 所以， 令，则，，所以， 设平面的法向量为，则， 所以， 令，则，，所以， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表： 甲 乙 丙 第一轮回答正确的概率 第二轮回答正确的概率 若三人各自比赛时互不影响． （1）求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率； （2）在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用来表示甲、乙、丙三人的“通关”事件并求对应的概率，然后利用对立事件的性质和独立事件的乘法公式即可求解. （2）利用独立事件的乘法公式分别计算三人小组获得“团体奖”的概率和甲乙丙同时通关的概率，进而利用条件概率的计算公式即可求解. 【小问1详解】 记事件“甲通关”、 “乙通关”、 “丙通关”， 则，. 甲、乙两人至少有1人“通关”的对立事件为甲、乙两人都不“通关”， 所以,甲、乙两人至少有1人“通关”的概率等于. 故甲、乙两人至少有1人“通关”的概率为. 【小问2详解】 由题意得. 事件“三人小组获得团体奖”， 则 . 甲乙丙同时通关的概率. 所以. 故该三人小组获得“团体奖”的条件下，甲乙丙同时通关的概率为. 18. 在平面直角坐标系中，，，若点P是平面上一动点，且的周长为，设动点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）若直线与曲线C交于A，B两点，且，，求k的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将三角形周长的条件转化为动点P到，的距离和为定值，利用椭圆的定义即可求解； （2）联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理以及中点坐标公式和垂直平分线的性质即可求解. 【小问1详解】 由题意可知：， . 由椭圆的定义知，动点P的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆. 可设方程为， 则，，解得，则， 故曲线的方程为. 【小问2详解】 联立方程组，消去，整理可得. 则. 设，，的中点为， 则由韦达定理可知：，. ，. ∵，，则，如图所示. 又， 则，即，解得. 19. 已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． （1）求椭圆方程； （2）设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标； （3）点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组求出得解； （2）根据三角形面积公式及面积比，利用相似转化为关于点的坐标的方程，求解即可； （3）利用直线斜率之积为常数，转化为斜率之间的关系，再由两角差的正切公式及基本不等式求解即可． 【小问1详解】 由题意，，则， 椭圆方程为： 【小问2详解】 如图， 设，则， 对，令， 所以由相似三角形可得：， 所以， 又因为，所以，， 解得或，所以对应的分别为或， 所以或． 【小问3详解】 设， 则， 则． 又因为， 所以，则， 设，直线倾斜角为，直线倾斜角为， 所以， 则， 因为，所以，此时， 所以直线方程为． 【点睛】关键点点睛：第二问关键将三角形面积比，利用相似转化为关于点的坐标的方程，求解即可；第三问关键是将最大问题转化为正切值的最值，结合基本不等式计算.综合性较强，属于中难题. 20. 近年来，宠物逐渐成为人们的精神寄托，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为． （1）把频率作为概率，从中国家庭中随机取4户，求这4户中至少有3户养宠物的概率； （2）随机抽取200名成年人，得到如下列联表： 成年男性 成年女性 合计 养宠物 38 60 98 不养宠物 62 40 102 合计 100 100 200 是否有的把握认为是否养宠物与性别有关？ （3）记2018-2023年的年份代码依次为1，2，3，4，5，6，中国宠物经济产业年规模为（单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得关于的回归方程为，且．求相关系数，并判断该回归方程是否有价值． 参考公式：，其中，时有99%的把握认为变量有关联． 回归方程，其中，，相关系数，若，则认为与有较强的相关性． 【答案】（1） （2）有关联 （3），有价值 【解析】 【分析】（1）根据独立重复概率公式，即可求解； （2）根据列联表求，再与临界值比较大小，即可判断结果； （3）根据样本点中心与回归方程的关系，以及相关系数公式，即可求解，再与比较大小，即可判断结果. 【小问1详解】 由题意得4户中至少有3户养宠物的概率为． 【小问2详解】 因为， 所以有的把握认为是否养宠物与性别有关联． 【小问3详解】 由的取值依次为，得， 因为回归方程为， 所以， 所以， 所以． 因为，所以与有较强的相关性，该回归方程有价值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $