第二章 §2.8　对数函数（新高考通用）-2026年高考数学一轮备考·学霸专练

第二章函数 §2.8　对数函数 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 对数函数及其应用 2024·全国甲卷 2024·天津 2024·新课标Ⅱ卷 2024·北京卷 2024·全国新Ⅰ卷 2023·北京 2022·天津 2022·浙江 2022·全国乙卷 2022·全国甲卷 2022·新高考全国Ⅰ卷 掌握对数幂函数的图象与性质，会指数对数的相关运算，会指对幂函数值的大小比较，都是高考命题的方向。 【知识梳理】 1.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 2.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换. 【名师点拨】 1.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，. 2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b. 即在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.(　　) (2)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(　　) (3)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(　　) (4)函数y＝log2x与y＝log的图象重合.(　　) 2.函数f(x)＝的定义域为(　　) A.(－∞,4) B.(3,4) C.(－∞,3)∪(3,4) D.(－∞,3)∪(3,＋∞) 3.函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为(　　) 4.若对数函数f(x)经过点(2,1),则它的反函数g(x)的解析式为　　　　　　.  【名师点拨】 1.掌握三个对数函数图象的特点 (1)不论a>1还是0<a<1,对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)的图象都无限靠近y轴,但不会与y轴相交. (2)不论a>1还是0<a<1,对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)的图象都经过点(1,0),(a,1),且图象都在y轴右侧,据此可以快速画出对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)的大致图象. (3)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示,其中图象(C1,C2,C3,C4对应的底数依次为a,b,c,d)的相对位置与底数大小有关.图中0<c<d<1<a<b. 2.谨防两个失误点 (1)凡涉及对数型函数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略. (2)在解决对数型复合函数时,当底数a的范围没有明确时,必须分0<a<1和a>1两种情况讨论. 【必练核心题型】 题型一　对数函数的概念与图象 例1.(多选)下列选项正确的是(　　) A.若函数f(x)＝loga－1x＋a2－5a＋6是对数函数,则a＝3或a＝2 B.函数f(x)＝＋ln(3＋x)的定义域为(－3,0)∪(0,＋∞) C.函数f(x)＝loga(4x－3)(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0) D.f(x)＝log2(x2－2x)的单调递增区间是(1,＋∞) 例2.(多选)已知函数f(x)＝ln x,g(x)＝lg x,若f(m)＝g(n),则下列结论可能成立的为(　　) A.m＝n B.n<m<1 C.m<1<n D.1<m<n 【变式训练】 变式1.(多选)函数f(x)＝logax(a>0且a≠1),下列说法正确的是(　　) A.当0<a<1时,函数在其定义域上是减函数 B.f(x)的反函数为g(x)＝ax C.当0<a<1且x>1时,f(x)>0 D.若点(2,1)在f(x)的图象上,则f＝－2 变式2.若函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象过点则函数y＝loga|x|的大致图象是(　　) 题型二　对数函数的性质及应用 命题点1　比较对数式的大小 例1.(2024·延庆模拟)设a＝log32,b＝log96,c＝则(　　) A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c 例2.(多选)(2025·黑龙江龙东联盟联考)已知2a＝3b＝6,则a,b满足(　　) A.a＝log26 B.a<b C.<1 D.a＋b>4 命题点2　解简单的对数方程或不等式 例1.已知函数f(x)＝log2x－x＋1,则不等式f(x)<0的解集是(　　) A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(0,1)∪(2,＋∞) 例2.(2025·中山模拟)设实数a>0,则“2a>2”是“loga>0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 命题点3　对数函数性质的综合应用 例1.(多选)(2024·烟台模拟)已知函数f(x)＝lg(x2＋ax－a),下列说法中正确的是(　　) A.若f(x)的定义域为R,则a的取值范围是(－4,0) B.若f(x)的值域为R,则a的取值范围是(－∞,－4]∪[0,＋∞) C.若a＝2,则f(x)的单调递减区间为(－∞,－1) D.若f(x)在(－2,－1)上单调递减,则a的取值范围是 例2.(多选)(2025·岳阳模拟)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x),下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最大值为1 B.f(x)在区间(0,2)上单调递增 C.f(x)的图象关于直线x＝2对称 D.f(x)的图象关于点(2,0)对称 【变式训练】 变式1.已知a＝0.50.9,b＝ln 3,c＝log3则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b (2)(多选)(2025·辽宁教研联盟模拟)关于函数f(x)＝lg下列说法正确的有(　　) A.f(x)的定义域为(－1,1) B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于原点对称 D.f(x)在(0,1)上单调递增 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章函数 §2.8　对数函数 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 对数函数及其应用 2024·全国甲卷 2024·天津 2024·新课标Ⅱ卷 2024·北京卷 2024·全国新Ⅰ卷 2023·北京 2022·天津 2022·浙江 2022·全国乙卷 2022·全国甲卷 2022·新高考全国Ⅰ卷 掌握对数幂函数的图象与性质，会指数对数的相关运算，会指对幂函数值的大小比较，都是高考命题的方向。 【知识梳理】 1.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 2.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换. 【名师点拨】 1.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，. 2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b. 即在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.(　　) (2)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(　　) (3)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.(　　) (4)函数y＝log2x与y＝log的图象重合.(　　) 【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 【解析】(1)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(1)错误. (3)若0<b<1<a，则当x＞1时，logax＞logbx，故(3)错误. 2.函数f(x)＝的定义域为(　　) A.(－∞,4) B.(3,4) C.(－∞,3)∪(3,4) D.(－∞,3)∪(3,＋∞) 【答案】C 【解析】因为f(x)＝ 所以要使函数有意义, 则解得x<4且x≠3, 所以f(x)的定义域为(－∞,3)∪(3,4). 3.函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为(　　) 【答案】A 【解析】f(x)＝loga|x|＋1的定义域为{x|x≠0}, 因为f(－x)＝loga|－x|＋1＝loga|x|＋1＝f(x), 所以f(x)是偶函数, 当x∈(0,＋∞)时,f(x)＝logax＋1(a>1)单调递增. 结合选项可知选A. 4.若对数函数f(x)经过点(2,1),则它的反函数g(x)的解析式为　　　　　　.  【答案】g(x)＝2x 【解析】设f(x)＝logax(a>0且a≠1),函数过点(2,1),即f(2)＝loga2＝1,即a＝2,f(x)＝log2x,它的反函数g(x)的解析式为g(x)＝2x. 【名师点拨】 1.掌握三个对数函数图象的特点 (1)不论a>1还是0<a<1,对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)的图象都无限靠近y轴,但不会与y轴相交. (2)不论a>1还是0<a<1,对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)的图象都经过点(1,0),(a,1),且图象都在y轴右侧,据此可以快速画出对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)的大致图象. (3)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示,其中图象(C1,C2,C3,C4对应的底数依次为a,b,c,d)的相对位置与底数大小有关.图中0<c<d<1<a<b. 2.谨防两个失误点 (1)凡涉及对数型函数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略. (2)在解决对数型复合函数时,当底数a的范围没有明确时,必须分0<a<1和a>1两种情况讨论. 【必练核心题型】 题型一　对数函数的概念与图象 例1.(多选)下列选项正确的是(　　) A.若函数f(x)＝loga－1x＋a2－5a＋6是对数函数,则a＝3或a＝2 B.函数f(x)＝＋ln(3＋x)的定义域为(－3,0)∪(0,＋∞) C.函数f(x)＝loga(4x－3)(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0) D.f(x)＝log2(x2－2x)的单调递增区间是(1,＋∞) 【答案】BC 【解析】对于A 解得a＝3,A错误； 对于B解得x>－3且x≠0,B正确； 对于C,令4x－3＝1,解得x＝1,则f(1)＝loga1＝0,C正确； 对于D,x2－2x>0⇒x∈(－∞,0)∪(2,＋∞),可知当x>2时,y＝x2－2x单调递增,结合复合函数的单调性可知f(x)的单调递增区间为(2,＋∞),D错误. 例2.(多选)已知函数f(x)＝ln x,g(x)＝lg x,若f(m)＝g(n),则下列结论可能成立的为(　　) A.m＝n B.n<m<1 C.m<1<n D.1<m<n 【答案】ABD 【解析】根据题意,在同一直角坐标系中画出f(x)＝ln x与g(x)＝lg x的图象,如图所示, 当x＝1时,此时f(x)＝g(x),即f(m)＝g(n),故m＝n＝1,故A正确； 当0<x<1时,若f(m)＝g(n),则n<m<1,故B正确； 当x>1时,若f(m)＝g(n),则1<m<n,故D正确. 【解题技巧】对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 【变式训练】 变式1.(多选)函数f(x)＝logax(a>0且a≠1),下列说法正确的是(　　) A.当0<a<1时,函数在其定义域上是减函数 B.f(x)的反函数为g(x)＝ax C.当0<a<1且x>1时,f(x)>0 D.若点(2,1)在f(x)的图象上,则f＝－2 【答案】ABD 【解析】对于A,当0<a<1时,f(x)＝logax在其定义域上是减函数,故A正确；易知B正确； 对于C,当0<a<1时,f(x)＝logax在其定义域上是减函数,所以当x>1时,f(x)＝logax<loga1＝0,故C错误； 对于D,因为点(2,1)在f(x)的图象上,所以loga2＝1,则a＝2,所以f(x)＝log2x,则f＝log2＝log22－2＝－2,故D正确. 变式2.若函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象过点则函数y＝loga|x|的大致图象是(　　) 【答案】B 【解析】由于函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象过点 故∴a＝ 则y＝loga|x|＝lo|x|＝ 该函数为偶函数,图象关于y轴对称,且在(0,＋∞)上单调递减,在(－∞,0)上单调递增, 只有B中图象符合该函数图象特点. 题型二　对数函数的性质及应用 命题点1　比较对数式的大小 例1.(2024·延庆模拟)设a＝log32,b＝log96,c＝则(　　) A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c 【答案】D 【解析】因为b＝log96＝lo＝log3且c＝＝log3 又<2<函数y＝log3x在(0,＋∞)上单调递增, 则log3<log32<log3所以c<a<b. 例2.(多选)(2025·黑龙江龙东联盟联考)已知2a＝3b＝6,则a,b满足(　　) A.a＝log26 B.a<b C.<1 D.a＋b>4 【答案】AD 【解析】A选项,由2a＝6,得a＝log26,故A正确； B选项,由3b＝6,得b＝log36,∵a＝log26>2,b＝log36<2,∴a>b,故B错误； C选项,∵＝log62＋log63＝1,故C错误； D选项,∵a≠b且a>0,b>0,∴由基本不等式得a＋b＝(a＋b)＝2＋>4,故D正确. 命题点2　解简单的对数方程或不等式 例1.已知函数f(x)＝log2x－x＋1,则不等式f(x)<0的解集是(　　) A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(0,1)∪(2,＋∞) 【答案】D 【解析】f(x)＝log2x－x＋1的定义域为(0,＋∞), f(1)＝log21－1＋1＝0,f(2)＝log22－2＋1＝0, 由f(x)<0可得log2x<x－1,即y＝x－1的图象在y＝log2x图象的上方, 画出y＝log2x,y＝x－1的图象,如图, 由图可知,不等式f(x)<0的解集是(0,1)∪(2,＋∞). 例2.(2025·中山模拟)设实数a>0,则“2a>2”是“loga>0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由2a>2,可得a>1. 由loga>0, 可得loga>loga1, ∴或 解得a>1或0<a<. 因此“2a>2”是“loga>0”的充分不必要条件. 命题点3　对数函数性质的综合应用 例1.(多选)(2024·烟台模拟)已知函数f(x)＝lg(x2＋ax－a),下列说法中正确的是(　　) A.若f(x)的定义域为R,则a的取值范围是(－4,0) B.若f(x)的值域为R,则a的取值范围是(－∞,－4]∪[0,＋∞) C.若a＝2,则f(x)的单调递减区间为(－∞,－1) D.若f(x)在(－2,－1)上单调递减,则a的取值范围是 【答案】ABD 【解析】选项A,x2＋ax－a>0对任意x∈R恒成立,即Δ＝a2＋4a<0,解得－4<a<0,A正确； 选项B,x2＋ax－a≤0有解,因此Δ＝a2＋4a≥0,解得a≤－4或a≥0,B正确； 选项C,当a＝2时,f(x)＝lg(x2＋2x－2),由x2＋2x－2＝(x＋1)2－3>0得x<－1－或x>－1＋根据复合函数的单调性得其单调递减区间是(－∞,－1－),C错误； 选项D,f(x)在(－2,－1)上单调递减,则解得a≤D正确. 例2.(多选)(2025·岳阳模拟)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x),下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最大值为1 B.f(x)在区间(0,2)上单调递增 C.f(x)的图象关于直线x＝2对称 D.f(x)的图象关于点(2,0)对称 【答案】BC 【解析】函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0<x<4), 当x＝2时,4x－x2取到最大值4, 故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2,A错误； f(x)＝log2(4x－x2)(0<x<4)可以看作是由函数y＝log2u,u＝－x2＋4x(0<x<4)复合而成,而y＝log2u是定义域上的增函数,u＝－x2＋4x(0<x<4)在(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,故f(x)在区间(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,B正确； 因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x),故f(x)的图象关于直线x＝2对称,C正确； 因为f(4－x)＋f(x)＝2f(x)＝0不恒成立,故f(x)的图象不关于点(2,0)对称,D错误. 【解题技巧】求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成. 【变式训练】 变式1.已知a＝0.50.9,b＝ln 3,c＝log3则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b 【答案】B 【解析】因为a＝0.50.9∈(0,1),b＝ln 3>ln e＝1,c＝log3<log31＝0,所以b>a>c. (2)(多选)(2025·辽宁教研联盟模拟)关于函数f(x)＝lg下列说法正确的有(　　) A.f(x)的定义域为(－1,1) B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于原点对称 D.f(x)在(0,1)上单调递增 【答案】ACD 【解析】因为f(x)＝lg＝lg则>0,解得－1<x<1, 所以f(x)的定义域为(－1,1),故A正确； 因为f(－x)＝lg＝－f(x),所以f(x)为奇函数, 所以f(x)的图象关于原点对称,故B错误,C正确； 因为y＝－1在(0,1)上单调递增,y＝lg x在(0,＋∞)上单调递增, 所以f(x)＝lg在(0,1)上单调递增,故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $$