抛物线与x轴的交点问题综合题典型题型提升训练2025年中考数学二轮复习备考

抛物线与x轴的交点问题综合题典型题型提升训练 2025年中考数学二轮复习备考 1．已知二次函数的图象为． (1)用表示图象的顶点坐标； (2)证明：当时，图象与轴有两个交点； (3)记一次函数（是常数，，）的图象为线段，若图象与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围． 2．已知二次函数 (1)当时 ①求二次函数与坐标轴的交点坐标． ②若点是二次函数图象上的点，且，求的最小值． (2)若点和在二次函数图象上，且点在对称轴的左侧，求证：． 3．已知抛物线与轴交于点． (1)求证：抛物线与轴有两个交点． (2)设抛物线与轴交于点，，且点在点的左侧，点的坐标为． ①若，求的取值范围． ②抛物线与关于点中心对称，与轴的另一个交点为点，问是否存在，使为直角三角形？若存在，请求出所有可能的的值；若不存在，请说明理由． 4．如图，某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式（b，c为常数），通过输入不同的b、c的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线．若所得抛物线恰好经过和两点，解决下列问题． (1)求抛物线表达式； (2)若把抛物线相对应的b、c的值交换后，再次输入得到新的抛物线，求抛物线与x轴交点的坐标，并说明抛物线是否经过的顶点； (3)另有直线与抛物线交于点P，Q，与抛物线交于点M，N，若的值是整数，请直接写出n的最大值． 5．在直角坐标系中，设函数，，其中． (1)若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值． (2)若，判断函数与轴的交点个数，说明理由． (3)若函数和函数与轴的交点均相同，求，的值． 6．已知二次函数与x轴交于，． (1)若，求该二次函数的对称轴； (2)若点在该抛物线上，且，当时，求m的范围； (3)若，求的值． 7．阅读以下材料，并解决相应问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“友好对称二次函数”．例如：的“友好对称二次函数”为． (1)的“友好对称二次函数”为________，的“友好对称二次函数”为________； (2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身； ③的“友好对称二次函数”为； ④任意两个“友好对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点． (3)如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，直接写出的值． 8．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线（为常数）． (1)求点坐标； (2)如图1，若抛物线经过点，点是抛物线上一动点，且在第二象限内，连接，求的表达式及面积的最大值； (3)若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的取值范围． 9．如图，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C． (1)求的长； (2)若一次函数的图象经过点B，结合图象，写出时x的取值范围； (3)填空：当时，二次函数的取值范围为_____． 10．已知抛物线． (1)证明：无论k取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点； (2)若该抛物线与x轴的两个不同的交点分别为、且，求k的值． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，（点在点的左侧），不经过点的直线交抛物线于，两点． (1)求点，的坐标； (2)若，求的值； (3)若直线记为，直线记为，求与满足的数量关系． 12．如图，抛物线与y轴交于点． (1)的值为_______； (2)当满足时，则的取值范围是_______； (3)当满足_______时，； (4)方程的解是_______． 13．如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 14．阅读材料：如图，函数的图像是一条抛物线，当时，；当时，．由此可知，抛物线与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间．即方程的一个根所在的范围是． 根据上述材料解决下面的问题： 已知抛物线（a、c是常数，）． (1)①写出抛物线的对称轴________； ②若抛物线过点和，求抛物线的解析式； (2)当时，若关于x的方程在的范围内有解，求c的取值范围． 15．已知二次函数． (1)证明该二次函数过一定点． (2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． (3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《抛物线与x轴的交点问题综合题典型题型提升训练2025年中考数学二轮复习备考》参考答案 1．(1)； (2)见解析； (3)当或或时，图象与线段恰有一个公共点． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据根据一次函数与二次函数的性质确定函数图象的交点． 把二次函数的解析式化成顶点坐标式，即可得到图象的顶点坐标为； 当时，可得：，利用一元二次方程根与系数的关系可证当时，图象与轴有两个交点； 根据一次函数的解析式可知点的坐标为，点的坐标为，由可知，，所以本题要分当时，当时，当时，三种情况讨论． 【详解】（1）解：整理， 可得：， 图象的顶点坐标为； （2）解：当时， 可得：， ， 整理得：， 当时，， 方程有两个不相等的实数根， 图象与轴有两个交点； （3）解：当时，， 当时，， 设点的坐标为，点的坐标为， 由可知，， 即时，图象开口向上并且与轴有一个交点， 如下图所示， 此时，， 图象与轴交点的坐标是， 点恰好在图象上， 当时，点的坐标为， 线段恰好与图象有一个交点； 如下图所示， 当时，， 图象开口向上并且与轴没有交点， 如果线段恰好与图象有一个交点， 则点在轴上方， ，即， 当时，， 线段恰好与图象有一个交点， ， 解得：； 如下图所示， 当时， 若，则有， 解得：或， 即当时，图象过点， 即图象与线段有一个交点； 综上所述，当或或时，图象与线段恰有一个公共点． 2．(1)①，；；②的最小值为； (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴交点情况，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）①将代入中，得到二次函数解析式，再当时，有，求解该方程，即可解题； ②根据题意得到，利用二次函数解析式表示出，进而得到，再结合二次函数最值情况求解，即可解题； （2）根据题意得到二次函数对称轴为直线，进而推出，再分别表示出，进而表示出，再结合求解，即可解题． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，有， 解得，， 二次函数图象与x轴的交点坐标为，； 当时，有， 二次函数图象与y轴的交点坐标为； ②点是二次函数图象上的点，且， ， ，， ， ， 的最小值为； （2）证明：二次函数， 二次函数对称轴为直线， 点C在对称轴的左侧， ，即， 点和在二次函数图象上， ， ， ， ， ， ， ． 3．(1)见解析 (2)①或；②存在，使为直角三角形，的值为2或或6 【分析】（1）令，求得值，利用即可得出结论； （2）①令，解方程即可得到点A，B的坐标，由，利用勾股定理求得点A的大致位置，列出关于a的不等式求得a的取值范围即可； ②利用分类讨论的思想方法，依据勾股定理列出a的方程解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：令，则， ， 抛物线与轴有两个交点； （2）解：①令， 则， 整理，得， 解得，， 与轴交于，，且点在点的左侧， ，， 即，， ， 点的坐标为， ， 当时，， 此时点的坐标为或， ， 点在点和它的右侧或在和它的左侧， 或， 或， 或， ， ， 即或； ②存在，使为直角三角形，的值为2或或6， 由①知，，， 抛物线与关于点中心对称，与轴的另一个交点为点， 点与点关于点对称， ， ， 点的坐标为， ， ，， 分以下三种情况： 当时，则， ， ， ； 当时，则点与原点重合， ， ； 当时，则点与原点重合， ， ， 综上，存在，使为直角三角形，的值为2或或6． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的联系，抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根的判别式，轴对称的性质，直角三角形的性质，勾股定理，抛物线上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键． 4．(1) (2)；经过的顶点 (3)n的最大值为 【分析】本题考查了待定系数法，抛物线与x轴的交点，解方程，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法，反比例函数的性质是解题的关键． （1）把和代入抛物线中解答即可； （2）确定抛物线的顶点坐标，确定物线的解析式，令，解方程的根即可求抛物线与x轴交点的坐标，把抛物线的顶点坐标代入抛物线的解析式，验证说明即可； （3）当时，得，，解得，，计算，， 得，令，根据反比例函数性质解答即可． 【详解】（1）解：把和代入抛物线，得 ， 解得， ∴抛物线表达式为； （2）解：∵的解析式为， 故抛物线的顶点坐标为； 根据题意，得抛物线的解析式， 令， 得， 解得， 故抛物线与x轴交点的坐标为； 当， ， 故抛物线经过的顶点； （3）解：∵直线l：与抛物线交于点P，Q，与抛物线交于点M，N，抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，， 令， 解得：， ∴， 又令， 解得：， ∴， ∴， 令， 根据反比例函数的性质得：当越小时，越大， ∵的值是整数， ∴y是整数，且是整数， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； ∴的最小值是3，此时最大，此时， 故n的最大值为． 故n的最大值是． 5．(1)5 (2)函数与轴没有交点，理由见解析 (3)， 【分析】（1）将和分别代入和，得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可； （2）根据判别式结合求解即可； （3）首先求出函数与x轴的交点坐标为和，然后根据题意得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象过点，函数的图象过点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴函数与轴没有交点； （3）解：∵ ∴当时， 解得或 ∴函数与x轴的交点坐标为和 ∵ ∴， ∴，或，（舍去）． 【点睛】此题考查了二次函数和x轴的交点问题，二次函数的性质，二次函数和一元二次方程，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次函数的性质，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将代入得到，然后根据对称轴公式求解即可； （2）将点代入抛物线得到，然后根据根与系数的关系得到，结合得到，进而求解即可； （3）首先由得到，然后将代入二次函数得，进而求解即可． 【详解】（1）当时， ∴ ∴对称轴为直线； （2）将点代入抛物线中 ∵ ∴ ，，是方程的两个根， ； （3） 将代入二次函数得， ∴， ∴． 7．(1)， (2)①②③ (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式，正确理解“友好对称二次函数”的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据“友好对称二次函数”的定义分别求出二次项系数、常数项和对称轴，再根据二次函数的对称轴公式求出一次项系数，由此即可得； （2）根据“友好对称二次函数”的定义即可判断①②③正确；举例二次函数，根据一元二次方程根的判别式可得其函数图象与轴没有交点，由此即可判断④错误； （3）先根据“友好对称二次函数”的定义可求出二次函数的解析式，再分别求出点的坐标，从而可得的长，然后根据四边形的邻边之比为建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：由题意得：的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为0，对称轴也为直线， 所以的“友好对称二次函数”为； 二次函数的对称轴为直线， 则二次函数的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴也为直线， 设二次函数的“友好对称二次函数”的一次项系数为， 所以，解得， 所以的“友好对称二次函数”为， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，则结论①正确； ∵，互为“友好对称二次函数”的两个二次函数的常数项相同，对称轴也相同， ∴此时这两个二次函数的一次项系数也相同， ∴二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，则结论②正确； 的对称轴为直线， 则的“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴为直线， 设的“友好对称二次函数”的一次项系数为， 则，解得， ∴的“友好对称二次函数”为，则结论③正确； 若二次函数为，则其“友好对称二次函数”为， ∵方程的根的判别式为没有实数根， ∴二次函数的图象与轴没有交点，则结论④错误； 综上，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③． （3）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴其“友好对称二次函数”的二次项系数为，常数项为1，对称轴为直线， 设二次函数的一次项系数为， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， 将代入二次函数得：， 将代入二次函数得：， ∴，， ∵点关于直线的对称点分别为，， ∴，，即，， ∴，， ∵四边形的邻边之比为， ∴或， ∴或， 解得或或或， 所以的值为或或或． 8．(1) (2)抛物线的表达式为，的最大值为 (3)或． 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，解一元二次方程；解本题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想方法． （1）把代入，即可求得点的坐标； （2）过点P作轴交于点Q，将代入，求得，设，则，则，再利用结合二次函数性质求解即可； （3）分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：把代入， 解得， 点的坐标是； （2）解：过点P作轴交于点Q， 将代入，得， 解得， 抛物线的表达式为， 设，则， ， ， ， 当时，的值最大，最大值为； （3）解：二次函数的图象经过时，，解得， 二次函数的图象经过时，得， ； 若与直线只有一个交点时，方程组有一组实数解， 则一元二次方程，整理得， ， ， ． 综上所述，与线段只有一个交点，的取值范围是或． 9．(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，自变量的取值范围，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）令，求得A，B的坐标，即得答案； （2）先求b的值，然后求二次函数与一次函数的交点的横坐标，观察图象即可得到答案； （3）根据二次函数的轴对称性，即可求得答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ，， ； （2）解：把的坐标代入，得， 解得， ， 令， 解得，， 观察图象可知，当时，； （3）解：二次函数的图象的顶点坐标， 即当时，二次函数取得最大值9， 在对称轴左侧y1随x的增大而增大，在对称轴右侧y1随x的增大而减小， ， 当时，二次函数取得最小值0， 当时，二次函数的取值范围为． 故答案为：． 10．(1)见解析 (2)或． 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系： （1）证明一元二次方程中即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系求出和，根据列等式即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论k取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点； （2）解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为、， ∴，， ∴， 整理得， 解得或． 11．(1)， (2)b的值为 (3)与满足的数量关系为： 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，勾股定理等知识点， （1）令得：，解方程即可得解； （2）过点C作轴，过点D作轴，两线交于点E，先求出，，再由勾股定理得方程，解方程即可得解； （3）先用含b的代数式表示出与，然后相加即可得解； 熟练掌握其性质，求出交点坐标是解决此题的关键． 【详解】（1）令得：， 解方程得：，， ∵抛物线交轴于点，（点A在点的左侧）， ∴，； （2）过点C作轴，过点D作轴，两线交于点E， ∵方程组的解为或， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴b的值为； （3）由（1）得， 由（2）得，，， ∵直线记为，直线记为， ∴，， ∴，， ∴， ∴与满足的数量关系为：． 12．(1)3； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，能够通过交点坐标先解出二次函数解析式是解题关键． （1）将点代入函数解析式，解方程即可； （2）根据二次函数的增减性结合函数图像，求出当时，的取值范围即可； （3）先求出抛物线与轴的两个交点，结合函数图像即可得出答案； （4）方程的解实际上就是函数值为4时的值． 【详解】（1）解：把点代入抛物线的解析式得到． ∴． 故答案为：3． （2）由（1）可知，抛物线的解析式为，故顶点坐标为． 当满足时，在时函数在顶点，取到最大值，此时；当时离对称轴最远，函数取到最小值，此时． ∴当满足时，的取值范围为． 故答案为：． （3）当时，． 解得，． ∴抛物线与轴的交点为与． ∴当时，； 故答案为；． （4）方程的解就是函数值为4时的解， 由（2）可知，抛物线的顶点坐标为． ∴的解为． 故答案为；． 13．(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； （2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 14．(1)①；② (2) 【分析】本题考查的知识点比较多，主要有二次函数的性质、利用待定系数法求抛物线的解析式、根的判别式以及根与系数的关系等，需要认真分析推理并计算． （1）①用计算即可得；②将点和代入，利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）根据抛物线的开口方向，利用它与x轴交点之间函数值的特点进行求解 再利用根的判别式即可解答． 【详解】（1）解：①抛物线的对称轴为；                 ②抛物线过点和， 解得，     ； （2）解：， 抛物线开口向下  ，                 ∴对称轴，顶点， 关于x的方程有解， ， 即：，     ，               在的范围内有解， ∴据图象知：时对应的函数值， 时对应的函数值， 解得：． 15．(1)见解析； (2)的范围为； (3)的值为或． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． （1）把二次函数变形为，得函数与轴的交点为，，从而即可得证； （2）由函数与轴的交点为，得抛物线的对称轴为直线再把代入得，从而有，求解即可得解； （3）分当为中点， 为中点和为中点，利用一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解： 函数与轴的交点为， ∴函数必过点 （2）解： 函数与轴的交点为， 抛物线的对称轴为直线 把代入得 解得 ∵，即 ∴ ∴的范围为． （3）解：由题意得：，， 当为中点，则， 把代入得， ∴， ∴ ∴方程无解 当为中点，则， 把代入， 又， 解得 当为中点，则， 把代入，又， 解得 综上所述的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$