第二章 §2.6　指数运算与对数运算（新高考通用）-2026年高考数学一轮备考·学霸专练

第二章函数 §2.6　指数运算与对数运算 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 指数运算与对数运算及指对互化 2024·全国甲卷 2023·北京卷 2022·天津卷 2022·浙江卷 2022·全国乙卷 2021·天津卷 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质。理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，都是高考命题的方向。 【知识梳理】 1.根式的概念及性质 (1)概念：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作＝0. ③()n＝a(n∈N*，且n>1). ④＝a(n为大于1的奇数). ⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数). 2.分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 3.有理指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 4.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 5.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质 ①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 【名师点拨】换底公式的两个重要结论 (1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1). (2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0). 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)＝－4.(　　) (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.(　　) (3)log2x2＝2log2x.(　　) (4)若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 【解析】(1)由于＝＝4，故(1)错误. (2)当<1时，不可以，故(2)错误. (3)log2x2＝2log2|x|，故(3)错误. (4)当M＜0，N＜0时，虽然MN＞0， 但loga(MN)＝logaM＋logaN不成立，故(4)错误. 2.(多选)下列运算正确的有(　　) A.lg 2＋lg 3＝lg 5 B.log3100＝10log310 C.＝5 D.log34·log43＝1 【答案】CD 【解析】lg 2＋lg 3＝lg 6,故A错误； log3100＝2log310,故B错误； ＝5,故C正确； log34·log43＝1,故D正确. 3.若(a>0且a≠1),则loga等于(　　) A. B.2 C. D.5 【答案】C 【解析】由得loga ∴loga∴2loga ∴loga. 4.－lg 5－lg 2＝　　　　　.  【答案】11 【解析】－lg 5－lg 2＝＋3－(lg 5＋lg 2)＝32＋3－lg 10＝9＋3－1＝11. 【名师点拨】 1.灵活应用化简指数幂常用的技巧 (1)(ab>0)； (2)a＝()m＝()n(式子有意义)； (3)1的代换,如1＝a－1a(a>0),1＝(a>0)等； (4)乘法公式的常见变形,如()()＝a－b(a,b>0), (±)2＝a±2＋b(a,b>0), ()(∓)＝a±b(a,b>0). 2.谨防两个失误点 (1)凡涉及对数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略. (2)在使用运算公式时,注意指数和对数中的和积之间的转化. 【必练核心题型】 题型一　指数运算 例1.(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)(　　) A. B.＝a C.＝36 D.＝－ 【答案】ABC 【解析】对于A故A正确； 对于B＝|a|＝a,故B正确； 对于C＝62＝36,故C正确； 对于D故D错误. 例2.(多选)下列运算正确的是(式中字母均是正数)(　　) A.0.2－2－1＝0 B.×＋(π－1)0＝ C.(2·)(－6·)÷(－3·)＝1 D.若则 【答案】BD 【解析】对于A－2－1＝0.5＋1－＝1,A错误； 对于B×＋(π－1)0＝×＋1＝＋25×＋1＝＋2＝B正确； 对于C,原式＝(2)(－6)÷(－3)＝[2×(－6)÷(－3)]·＝4ab0＝4a,C错误； 对于D,当时＝x＋2＋x－1＝6,得x＋x－1＝4,由＝x2＋2＋x－2＝16,得x2＋x－2＝14,所以D正确. 【解题技巧】 (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意： ①必须同底数幂相乘,指数才能相加. ②运算的先后顺序. (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 【变式训练】 变式1.计算下列各式(式中字母均是正数)： (1)·； (2). 【解析】(1)· ＝·＝2·. (2) ＝－1＋2＋× ＝2＋1＋8×9＝75. 题型二　对数运算 例1.(多选)下列运算中正确的是(　　) A.＝log75 B. C.x＝ln ex D.＋ln(ln e)＝6 【答案】BCD 【解析】对于A＝log57,故A错误； 对于B故B正确； 对于C,x＝ln ex,故C正确； 对于D＋ln(ln e)＝＋ln 1＝6＋0＝6,故D正确. 例2.(多选)(2025·焦作模拟)下列等式成立的是(　　) A.＝1 B.＝2 C.lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18＝0 D.(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝2 【答案】AC 【解析】＝1,A成立； ＝1,B不成立； lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18＝(lg 7＋lg 2)－(2lg 7－2lg 3)＋lg 7－(2lg 3＋lg 2)＝0,C成立； (lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝1,D不成立. 【解题技巧】 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. (2)将同底对数的和、差、倍合并. (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 【变式训练】 变式1.(多选)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中不成立的是(　　) A.logab·logca＝logcb B.logab·logcb＝logca C.loga(b＋c)＝logab＝logac D.loga(bc)＝logab·logac 【答案】BCD 【解析】对于A,logab·logca＝·＝logcb,故A正确； 对于B,logab·logcb＝·而logca＝故B错误； 对于C,若loga(b＋c)＝logab＝logac,则b＋c＝b＝c,故b＝c＝0,显然不符合要求,故C错误； 对于D,loga(bc)＝logab＋logac,故D错误. 变式2.(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=　　　　.  【答案】e 【解析】f(ln 2)f(ln 4)=aln 2aln 4=aln 2+ln 4 =a3ln 2==8, ∴aln 2=2,∴a=e. 题型三　指对运算的应用 例1.(2024·重庆模拟)在经济学中,常用Logistic回归模型来分析还款信度评价问题.某银行统计得到如下Logistic模型：P(x)＝其中x是客户年收入(单位：万元),P(x)是按时还款概率的预测值,如果某人年收入是10万元,那么他按时还款概率的预测值大约为(参考数据：ln 1.35≈0.3)(　　) A.0.35 B.0.46 C.0.57 D.0.68 【答案】C 【解析】由题意得ln 1.35≈0.3,所以e0.3≈1.35,所以P(10)＝≈≈0.57. 例2.(2024·贵阳模拟)电动汽车逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.1898年Peukert提出铅酸电池的容量C(单位：Ah)、放电时间t(单位：h)和放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝Iλt,其中λ为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数),在电池容量不变的条件下,当放电电流为7.5 A时,放电时间为60 h；当放电电流为25 A时,放电时间为15 h,则该蓄电池的Peukert常数λ约为(参考数据：lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)(　　) A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15 【答案】D 【解析】由题意知C＝7.5λ×60＝25λ×15, 所以＝4, 两边取以10为底的对数,得λlg ＝2lg 2, 所以λ＝≈≈1.15. 【解题技巧】 利用指数、对数运算解决实际问题时认清所给函数模型、变量、参数,利用待定系数法确定参数的值,然后解决问题. 【变式训练】 变式1.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为了简化其中的大数之间的计算而发明了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知lg 5≈0.699,则231是(　　) A.9位数 B.10位数 C.11位数 D.12位数 【答案】B 【解析】记231＝M, 则31×lg 2＝lg M, 则lg M＝31×(1－lg 5)≈9.331, 则M≈109.331∈(109,1010), 故231是10位数. 变式2.区块链作为一种革新技术,已经应用于许多领域,在区块链技术中,若密码的长度设定为256比特,则密码一共有2256种可能,因此为了破解密码,最坏情况需要进行2256次运算.现在有一台机器,每秒能进行2.5×1011次运算,假设机器一直正常运转,那么在最坏情况下这台机器破译密码所需的时间大约为(参考数据：lg 2≈0.301,100.658≈4.5)(　　) A.4.5×1065秒 B.4.5×1083秒 C.4.5×1017秒 D.4.5×107秒 【答案】A 【解析】由题意知所需时间t＝(秒), ∴lg t＝256lg 2－(lg 2.5＋11) ＝256lg 2－＝258lg 2－12≈65.658, ∴t≈1065.658＝100.658×1065≈4.5×1065(秒). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章函数 §2.6　指数运算与对数运算 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 指数运算与对数运算及指对互化 2024·全国甲卷 2023·北京卷 2022·天津卷 2022·浙江卷 2022·全国乙卷 2021·天津卷 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质。理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，都是高考命题的方向。 【知识梳理】 1.根式的概念及性质 (1)概念：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作＝0. ③()n＝a(n∈N*，且n>1). ④＝a(n为大于1的奇数). ⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数). 2.分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 3.有理指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 4.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 5.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质 ①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 【名师点拨】换底公式的两个重要结论 (1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1). (2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0). 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)＝－4.(　　) (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.(　　) (3)log2x2＝2log2x.(　　) (4)若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) 2.(多选)下列运算正确的有(　　) A.lg 2＋lg 3＝lg 5 B.log3100＝10log310 C.＝5 D.log34·log43＝1 3.若(a>0且a≠1),则loga等于(　　) A. B.2 C. D.5 4.－lg 5－lg 2＝　　　　　.  【名师点拨】 1.灵活应用化简指数幂常用的技巧 (1)(ab>0)； (2)a＝()m＝()n(式子有意义)； (3)1的代换,如1＝a－1a(a>0),1＝(a>0)等； (4)乘法公式的常见变形,如()()＝a－b(a,b>0), (±)2＝a±2＋b(a,b>0), ()(∓)＝a±b(a,b>0). 2.谨防两个失误点 (1)凡涉及对数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略. (2)在使用运算公式时,注意指数和对数中的和积之间的转化. 【必练核心题型】 题型一　指数运算 例1.(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)(　　) A. B.＝a C.＝36 D.＝－ 例2.(多选)下列运算正确的是(式中字母均是正数)(　　) A.0.2－2－1＝0 B.×＋(π－1)0＝ C.(2·)(－6·)÷(－3·)＝1 D.若则 【变式训练】 变式1.计算下列各式(式中字母均是正数)： (1)·； (2). 题型二　对数运算 例1.(多选)下列运算中正确的是(　　) A.＝log75 B. C.x＝ln ex D.＋ln(ln e)＝6 例2.(多选)(2025·焦作模拟)下列等式成立的是(　　) A.＝1 B.＝2 C.lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18＝0 D.(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝2 【变式训练】 变式1.(多选)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中不成立的是(　　) A.logab·logca＝logcb B.logab·logcb＝logca C.loga(b＋c)＝logab＝logac D.loga(bc)＝logab·logac 变式2.(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=　　　　.  题型三　指对运算的应用 例1.(2024·重庆模拟)在经济学中,常用Logistic回归模型来分析还款信度评价问题.某银行统计得到如下Logistic模型：P(x)＝其中x是客户年收入(单位：万元),P(x)是按时还款概率的预测值,如果某人年收入是10万元,那么他按时还款概率的预测值大约为(参考数据：ln 1.35≈0.3)(　　) A.0.35 B.0.46 C.0.57 D.0.68 例2.(2024·贵阳模拟)电动汽车逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.1898年Peukert提出铅酸电池的容量C(单位：Ah)、放电时间t(单位：h)和放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝Iλt,其中λ为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数),在电池容量不变的条件下,当放电电流为7.5 A时,放电时间为60 h；当放电电流为25 A时,放电时间为15 h,则该蓄电池的Peukert常数λ约为(参考数据：lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)(　　) A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15 【变式训练】 变式1.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为了简化其中的大数之间的计算而发明了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知lg 5≈0.699,则231是(　　) A.9位数 B.10位数 C.11位数 D.12位数 变式2.区块链作为一种革新技术,已经应用于许多领域,在区块链技术中,若密码的长度设定为256比特,则密码一共有2256种可能,因此为了破解密码,最坏情况需要进行2256次运算.现在有一台机器,每秒能进行2.5×1011次运算,假设机器一直正常运转,那么在最坏情况下这台机器破译密码所需的时间大约为(参考数据：lg 2≈0.301,100.658≈4.5)(　　) A.4.5×1065秒 B.4.5×1083秒 C.4.5×1017秒 D.4.5×107秒 学科网（北京）股份有限公司 $$