第二章 §2.5　二次函数与幂函数（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第二章函数 §2.5　二次函数与幂函数 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1二次函数 2023·新课标Ⅰ卷 2021·全国乙卷 掌握指数对数幂函数的图象与性质，会指数对数的相关运算，会指对幂函数值的大小比较，都是高考命题的方向。 考点2 幂函数 2024·天津卷 2023·北京卷 【知识梳理】 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. 3.二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 【名师点拨】 1.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质； (2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限. 2.对勾函数y＝ax＋(ab＞0)极值与图象的拐点可利用基本不等式求得. 3.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 4.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝2x是幂函数.(　　) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0.(　　) (3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定.(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是.(　　) 2.已知幂函数f(x)的图象过点则f(4)等于(　　) A.0 B. C.－ D.－2 3.函数f(x)＝2x2－x－1(－1≤x≤1)的值域是(　　) A.[0,1] B. C.[1,2] D. 4.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞,－3]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.  【名师点拨】 1.幂函数的性质 (1)当α<0时,幂函数在区间(0,＋∞)上单调递减.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于＋∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. (2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点,或不相交,任何幂函数的图象都不过第四象限. (3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1),(0,0),(－1,1),(－1,－1)外,其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 2.谨防三个易误点 (1)幂函数f(x)＝(m,n互质),当m为偶数时,函数为偶函数；当m为奇数,n为偶数时,函数为非奇非偶函数； (2)二次函数在区间单调,求参数取值范围时等号的处理； (3)含有参数的二次函数定轴动区间和动轴定区间问题的讨论. 【必练核心题型】 题型一　幂函数的图象与性质 例1.下列命题中正确的是(　　) A.当m＝0时,函数y＝xm的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点 C.幂函数y＝xm的图象不可能在第四象限内 D.若幂函数y＝xm为奇函数,则y＝xm是定义域内的增函数 例2.如图所示,图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则相对应曲线C1,C2,C3,C4的n依次为(　　) A.－2,－2 B.2－2 C.－－2,2 D.2－2,－ 【变式训练】 变式1.幂函数f(x)＝(m2－m－1)在(0,＋∞)上单调递减,则实数m的值为(　　) A.2或－1 B.－1 C.2 D.－2或－1 变式2.(多选)已知函数f(x)＝xα(α为常数),则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的图象恒过定点(1,1) B.当α＝－1时,函数f(x)是减函数 C.当α＝3时,函数f(x)是奇函数 D.当α＝时,函数f(x)的值域为(0,＋∞) 题型二　二次函数的解析式 例2.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式. 【变式训练】 变式1.已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),对称轴为直线x＝2,且方程f(x)＝0的两个根的平方和为10,则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  变式2.已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)＝f(2)＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈[－1,1]时,f(x)>2x＋2m＋1恒成立,试确定实数m的取值范围. 题型三　二次函数的图象与性质 命题点1　二次函数的图象 例1.(多选)函数f(x)＝ax2－2x＋1与g(x)＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为(　　) 【拓展训练】 一元二次方程根的分布 解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解. (1)判别式Δ的符号. (2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系. (3)区间端点处函数值的符号. 典例.已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围； (2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围. 命题点2　二次函数的单调性与最值 例1.(2025·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围； (2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式. 【变式训练】 变式1.已知函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1,m],值域为则m的取值范围是(　　) A.(0,4] B. C. D. 变式2.函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a,b]上的值域为[－2,2],则b－a的取值范围是　　　　.  变式3.已知幂函数f(x)＝(2k－1)(m∈N*)为偶函数,且在(0,＋∞)上单调递减. (1)求m和k的值； (2)求满足(2a＋1)－m<(3－2a)－m的实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章函数 §2.5　二次函数与幂函数 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1二次函数 2023·新课标Ⅰ卷 2021·全国乙卷 掌握指数对数幂函数的图象与性质，会指数对数的相关运算，会指对幂函数值的大小比较，都是高考命题的方向。 考点2 幂函数 2024·天津卷 2023·北京卷 【知识梳理】 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. 3.二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 【名师点拨】 1.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质； (2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限. 2.对勾函数y＝ax＋(ab＞0)极值与图象的拐点可利用基本不等式求得. 3.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 4.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝2x是幂函数.(　　) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0.(　　) (3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定.(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是.(　　) 【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 【解析】(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα， 故y＝2x不是幂函数，故(1)错误. (3)二次函数y＝x2－x与y＝2x2－2x零点相同，但解析式不同，故(3)错误. (4)当对称轴x＝－∉[m，n]时，最值则不是，故(4)错误. 2.已知幂函数f(x)的图象过点则f(4)等于(　　) A.0 B. C.－ D.－2 【答案】B 【解析】设幂函数f(x)＝xn,因为其图象过点则＝2,即2－2n＝2, 解得n＝－所以f(x)＝则f(4)＝. 3.函数f(x)＝2x2－x－1(－1≤x≤1)的值域是(　　) A.[0,1] B. C.[1,2] D. 【答案】D 【解析】f(x)＝2x2－x－1＝2 因为－1≤x≤1,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,且f＝－ 又f(1)＝2－1－1＝0,f(－1)＝2＋1－1＝2, 故f(x)＝2x2－x－1在－1≤x≤1上的值域为. 4.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞,－3]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】(－∞,4] 【解析】由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞,－3]上单调递减, 可得－≥－3,即a≤4, 故实数a的取值范围是(－∞,4]. 【名师点拨】 1.幂函数的性质 (1)当α<0时,幂函数在区间(0,＋∞)上单调递减.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于＋∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. (2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点,或不相交,任何幂函数的图象都不过第四象限. (3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1),(0,0),(－1,1),(－1,－1)外,其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 2.谨防三个易误点 (1)幂函数f(x)＝(m,n互质),当m为偶数时,函数为偶函数；当m为奇数,n为偶数时,函数为非奇非偶函数； (2)二次函数在区间单调,求参数取值范围时等号的处理； (3)含有参数的二次函数定轴动区间和动轴定区间问题的讨论. 【必练核心题型】 题型一　幂函数的图象与性质 例1.下列命题中正确的是(　　) A.当m＝0时,函数y＝xm的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点 C.幂函数y＝xm的图象不可能在第四象限内 D.若幂函数y＝xm为奇函数,则y＝xm是定义域内的增函数 【答案】C 【解析】对于A,当m＝0时,函数y＝xm的图象是直线y＝1除去点(0,1),所以A项不正确； 对于B,幂函数的幂指数小于0时,图象不经过点(0,0),所以B项不正确； 对于C,幂函数y＝xm的图象不可能在第四象限内,所以C项正确； 对于D,当m＝－1时,幂函数y＝xm为奇函数,但在定义域内不是增函数,所以D项不正确. 例2.如图所示,图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则相对应曲线C1,C2,C3,C4的n依次为(　　) A.－2,－2 B.2－2 C.－－2,2 D.2－2,－ 【答案】B 【解析】根据幂函数y＝xn的性质,在第一象限内的图象： 当n>0时,n越大,y＝xn递增速度越快,所以曲线C1的n＝2,C2的n＝； 当n<0时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线C3的n＝－C4的n＝－2. 【解题技巧】 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x＝1,y＝1,y＝x所分区域.根据α<0,0<α<1,α＝1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定. (2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较. 【变式训练】 变式1.幂函数f(x)＝(m2－m－1)在(0,＋∞)上单调递减,则实数m的值为(　　) A.2或－1 B.－1 C.2 D.－2或－1 【答案】B 【解析】由题意可知,m2－m－1＝1,解得m＝－1或m＝2, 当m＝－1时,f(x)＝x－3,函数f(x)在(0,＋∞)上单调递减,成立； 当m＝2时,f(x)＝x3,函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增,不成立, 所以m＝－1. 变式2.(多选)已知函数f(x)＝xα(α为常数),则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的图象恒过定点(1,1) B.当α＝－1时,函数f(x)是减函数 C.当α＝3时,函数f(x)是奇函数 D.当α＝时,函数f(x)的值域为(0,＋∞) 【答案】AC 【解析】f(1)＝1α＝1,A正确； 当α＝－1时,f(x)＝分别在(－∞,0),(0,＋∞)上单调递减,在定义域上不单调,B错误； 当α＝3时,f(x)＝x3的定义域为R,且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x),所以函数f(x)是奇函数,C正确； 当α＝时,f(x)＝的值域为[0,＋∞),D错误. 题型二　二次函数的解析式 例2.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式. 【解析】 方法一　(利用“一般式”解题) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得 解得 所以所求二次函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法二　(利用“顶点式”解题) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). 因为f(2)＝f(－1), 所以抛物线的对称轴为x＝ 所以m＝. 又根据题意,函数有最大值8, 所以n＝8, 所以f(x)＝a＋8. 因为f(2)＝－1,所以a＋8＝－1, 解得a＝－4, 所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 方法三　(利用“零点式”解题) 由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2,x2＝－1, 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0), 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8,即＝8. 解得a＝－4. 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【解题技巧】 求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标,宜选用一般式. (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式. (3)已知图象与x轴的两交点的坐标,宜选用零点式. 【变式训练】 变式1.已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),对称轴为直线x＝2,且方程f(x)＝0的两个根的平方和为10,则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  【答案】f(x)＝x2－4x＋3 【解析】依题意,设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0), 由二次函数f(x)的图象过点(0,3), 得f(0)＝3, 所以4a＋h＝3,即h＝3－4a, 所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a, 令f(x)＝0,即a(x－2)2＋3－4a＝0, 所以ax2－4ax＋3＝0, 设方程的两根为x1,x2, 则x1＋x2＝4,x1x2＝ 所以＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－ 所以16－＝10,解得a＝1, 所以f(x)＝x2－4x＋3. 变式2.已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)＝f(2)＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈[－1,1]时,f(x)>2x＋2m＋1恒成立,试确定实数m的取值范围. 【解析】　 (1)由题意,函数f(x)是二次函数, 且f(0)＝f(2),可得函数f(x)的对称轴为直线x＝1, 又由最小值为1,可设f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0), 又f(0)＝3,即a(0－1)2＋1＝3,解得a＝2, 所以函数的解析式为f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3. (2)因为当x∈[－1,1]时,f(x)>2x＋2m＋1恒成立, 即当x∈[－1,1]时,2x2－4x＋3>2x＋2m＋1恒成立, 即当x∈[－1,1]时,m<x2－3x＋1恒成立, 设函数g(x)＝x2－3x＋1,x∈[－1,1], 则g(x)在区间[－1,1]上单调递减, 所以g(x)在区间[－1,1]上的最小值为g(1)＝－1, 所以m<－1, 故实数m的取值范围为(－∞,－1). 题型三　二次函数的图象与性质 命题点1　二次函数的图象 例1.(多选)函数f(x)＝ax2－2x＋1与g(x)＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为(　　) 【答案】BD 【解析】因为f(x)＝ax2－2x＋1,g(x)＝xa, 对于A,当a＝－1时,f(x)＝－x2－2x＋1,其图象开口向下,对称轴方程为x＝－1,g(x)＝x－1＝其图象关于原点对称,且在(0,＋∞)上单调递减,故A满足要求； 对于B,当f(x)＝ax2－2x＋1的图象开口向上时,a>0,此时g(x)＝xa在(0,＋∞)上单调递增,故B不满足要求； 对于C,当a＝时,f(x)＝x2－2x＋1,其图象开口向上,对称轴方程为x＝2,g(x)＝其图象在[0,＋∞)上单调递增,且越来越缓,故C满足要求； 对于D,当f(x)＝ax2－2x＋1的图象开口向上时,a>0,此时其对称轴方程为x＝－>0,故D不满足要求. 【拓展训练】 一元二次方程根的分布 解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解. (1)判别式Δ的符号. (2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系. (3)区间端点处函数值的符号. 典例.已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围； (2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围. 【解析】 　(1)依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图， 得即 解得－<m<－. 故实数m的取值范围为. (2)依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图， 得 即解得－<m<1－. 故实数m的取值范围为. 命题点2　二次函数的单调性与最值 例1.(2025·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围； (2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式. 【解析】　 (1)由题意知a≠0. 当a>0时,f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上,对称轴方程为x＝ 所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足≥2, 又a>0,所以0<a≤； 当a<0时,f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下,对称轴方程为x＝<0, 所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立. 综上,a的取值范围是(－∞,0)∪. (2)①当0<≤1,即a≥时, f(x)在区间[1,2]上单调递增, 此时g(a)＝f(1)＝3a－2. ②当1<<2,即<a<时, f(x)在区间上单调递减,在区间 上单调递增,此时g(a)＝f＝2a－－1. ③当≥2,即0<a≤时, f(x)在区间[1,2]上单调递减, 此时g(a)＝f(2)＝6a－3. 综上所述,g(a)＝ 【解题技巧】 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 【变式训练】 变式1.已知函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1,m],值域为则m的取值范围是(　　) A.(0,4] B. C. D. 【答案】B 【解析】设f(x)＝x2－3x－4＝x∈R, 所以f(x)的图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为x＝如图所示, 所以f＝－易知f(－1)＝f(4)＝0, 由图可知,要使函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1,m],值域为 则m的取值范围是. 变式2.函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a,b]上的值域为[－2,2],则b－a的取值范围是　　　　.  【答案】[2,4] 【解析】解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2,得x＝0或x＝4,解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2,得x＝2, 由于函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[－2,2]. 若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则[a,b]＝[0,2]或[a,b]＝[2,4],此时b－a取得最小值2； 若函数f(x)在区间[a,b]上不单调, 且当b－a取最大值时,[a,b]＝[0,4], 所以b－a的最大值为4, 所以b－a的取值范围是[2,4]. 变式3.已知幂函数f(x)＝(2k－1)(m∈N*)为偶函数,且在(0,＋∞)上单调递减. (1)求m和k的值； (2)求满足(2a＋1)－m<(3－2a)－m的实数a的取值范围. 【解析】　 (1)由函数f(x)＝(2k－1)为幂函数,则2k－1＝1,解得k＝1. 由f(x)＝(m∈N*)在(0,＋∞)上单调递减,得m2－2m－3<0,解得－1<m<3, 而m∈N*,故m＝1或2, 当m＝1时,f(x)＝x－4,定义域为{x|x≠0}, 且f(x)为偶函数,符合题意； 当m＝2时,f(x)＝x－3,定义域为{x|x≠0},函数为奇函数,不符合题意, 故m＝1,k＝1. (2)由(1)得m＝1,则(2a＋1)－1<(3－2a)－1, 即<故2a＋1>3－2a>0或0>2a＋1>3－2a或2a＋1<0<3－2a, 解得<a<或a∈∅或a<－. 故实数a的取值范围为∪. 学科网（北京）股份有限公司 $$