4.2.2指数函数的图像和性质1课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2 指数函数 4.2.2 指数函数的图象和性质1 1 学习目标 用描点法画出简单的指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； 通过利用计算机画出更多的指数函数的图象，加深对指数函数图象的理解； 通过观察图象，掌握指数函数的有关性质并能应用其图象和性质解决简单的（实际）问题. 一、知识回顾 一般地，函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 指数函数的概念 你知道指数函数有什么性质吗？ 二、新知探究 你能类比前面讨论函数性质的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 研究内容： 画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 奇偶性 最大（小）值 单调性 特殊点 值域 定义域 研究方法： 研究指数函数 研究内容： 画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 奇偶性 最大（小）值 单调性 特殊点 值域 定义域 研究方法： R （0，+∞）？ ？ ？ -1 -4 -3 -2 -1 0 1 1 2 2 3 4 3 4 (2,4) (1,2) (0,1) (-1,0.5) (-2,0.25) 用“描点法”做函数的图像 定义域 R 值域 单调性 最大（小）值 奇偶性 (0，+∞) 增函数 无最值 非奇非偶函数 -1 -4 -3 -2 -1 0 1 1 2 2 3 4 3 4 (-2,4) (-1,2) (0,1) (1,0.5) (2,0.25) 用“描点法”做函数的图像 定义域 R 值域 单调性 最大（小）值 奇偶性 (0，+∞) 减函数 无最值 非奇非偶函数 -1 -4 -3 -2 -1 0 1 1 2 2 3 4 3 4 (0,1) 思考1：在同一直角坐标系画出函数和的图像进行比较，它们有什么关系？能否利用函数的图像，画的图像？ 请同学们在同一坐标系中继续作出函数的图像： ...... -2 -1 0 1 2 ...... 1 3 9 9 3 1 的图像 关于y轴对称 2 4 6 8 -4 -2 O 2 4 从画出的图象中你能发现函 数的图象和函数的图象有什么关系？ 可否利用的图象画出的图象？ 两图象关于y轴对称. 可以 通过作图，我们发现的图象大致分两种类型，即 a＞1和0＜a＜1，图象如下： 你能根据指数函数图象的特征归纳出指数函数的性质吗？ 0＜a＜1 a＞1 图象特征 函数性质 0＜a＜1 a＞1 函数图象都过定点（0，1） 函数图象都在x轴上方 图象关于原点和y轴不对称 向x轴正、负方向无限延伸 非奇非偶函数 函数的定义域为R 函数的值域为（0，+） 图象特征 函数性质 在第二象限内的图象纵坐标都大于0且小于1 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都大于0且小于1 0＜a＜1 a＞1 图象特征 函数性质 图象上升趋势越来越陡 自左向右看， 图象逐渐上升 图象下降趋势越来越缓 自左向右看， 图象逐渐下降 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快 增函数 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢 减函数 0＜a＜1 a＞1 y＝ax 0<a<1 a>1 图象 定义域 值域 性质 过定点______ 当x＞0时，_______； 当x＜0时，_________ 当x＞0时，_______； 当x＜0时，________ 在R上是_________ 在R上是_________ (0，＋∞) (0,1) y＞1 0＜y＜1 0＜y＜1 y＞1 增函数 减函数 R 指数函数的图象和性质 归纳总结 指数函数的应用一：求定点 (-5,2) (2021,1) 3 思考2:根的图象,如何简化步骤 指数函数的应用二：画简图比底数 思考3：y＝2x与y＝3x都是增函数，都过点(0，1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？ 通过观察图象，在y轴右侧，2x<3x， 即y＝3x图象在y＝2x上方， 经(0，1)点交叉，位置在y轴左侧反转， y＝2x在y＝3x图象上方． 一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系： 1 c b a 1 y x O a>b>1>c 结论：底大图高（在第一象限部分） 练习 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c 当 >1时，的值越大，图象越靠近轴 当0<<1时的值越小，图象越靠近轴 结论 (1)0. 3-3.5和 0.3-2.3 ； (2)6 和7； (3) 1.20.5 和0.51.2 (4)0.251.5 和 0.51.2 例1 比较下列各题中两个值的大小： (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断； 典例精讲 指数函数的应用三：比大小 (5)( )-1.5和 (6) 1.21.5 和 3.81.5 例1 比较下列各题中两个值的大小： (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断； (7) 和 0.3-0.2 ； (8) 0.82.5 和1.70.4 ； 例1 比较下列各题中两个值的大小： (3)对于既不同底数也不同指数的两个幂的大小，常利用0和1两个中间值来判断； (1) 1.72.5 和 1.73 ； (2) 0.8–0.1 和 0.8–0.2 ； (3) 21.5 和 0.53 (4) 1.70.3 和 0.93.1 练习： 比较下列各题中两个值的大小： (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断； (3)对于既不同底数也不同指数的两个幂的大小，常利用0和1两个中间值来判断； 一般地，比较幂大小的方法有： (1) 已知a=20.2 ,b=20.3 ,c=1.30.2 ,则 它们的大小？； (2) 已知a=0.32 ,b=20.3 ,c=1.90.3 ,则 它们的大小？ 练习： 比较下列各题中两个值的大小： 例2 解下列不等式： 反思归纳 例3 解下列不等式： 练习 练习： 比较下列各题中两个值的大小： 或 例2：如图，某城市人口呈指数增长. (1)根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； (2)该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 解：（1）观察图象，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年. 指数函数的应用 例2：如图，某城市人口呈指数增长. (1)根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； (2)该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ （2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人. 四、当堂练习 1.已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（ ） A.c＞b＞a B.c＞a＞b C.b＞a＞c D.a＞b＞c 解析：因为＜，＜， 所以＜， 由=， 所以＞， 所以c＞b＞a. 故选A. A 2.已知函数f(x)=（a＞0且a≠1）在（0，2）内的值域是（1，），则函数y=f(x)的图象大致是（ ） A B C D 解析：函数f(x)=（a＞0且a≠1）在（0，2）内的值域是 （1，）， 则由于指数函数是单调函数，则有a＞1， 由底数大于1的指数函数的图象上升，且在x轴上面，可知B正确. B 3.比较下列各组数的大小： （1），，；（2），. 解：（1）因为0＜＜，＜0， 故＜＜. （2）因为＜＜， 所以＜. 五、课堂小结 这节课你有何收获？ 1.知识方面：指数函数的图象与性质； 不同指数函数图象的相对位置； 利用指数函数的性质比较大小. 2.获取知识的思想方法方面. 3.体验和感悟方面. 列表 … … … … 列表 … … … … 说明：（1）指数函数 既不是奇函数也不是偶函数； （2）底数是正数的幂一定大于0. 说明：画指数函数 的图象，可以抓住三个关键点： ，采用“三点法”来画简图. 由于x＝1代入各个函数 可得函数值等于底数的大小， 所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大， 由图可知b＜a＜1＜d＜C．故选B． 【解析】作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点， 不等式 的解集是： . 解：由不等式 ，得 . 在 上是减函数， ，解得 . 不等式 的解集是： . 解指数方程或指数不等式，一般是先将式子两边化为底数相同的指数式，再利用指数函数的单调性求解. 解：由不等式 ，得 . 在 上是增函数， . {x|x≥1或x≤－2} 不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) ≤2x的解集为 ． 解析：∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) ＝(2－1) ＝2 ， ∴原不等式等价于2 ≤2x. ∵y＝2x是R上的增函数，∴2－x2≤x， ∴x2＋x－2≥0，即x≤－2或x≥1， ∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－2}． 答案：{x|x≥1或x≤－2} $$