三角函数与解三角形考点预测练-2025年高考数学三轮复习备考

三角函数与解三角形 1．记的内角所对的边分别为，已知. (1)若，求 (2)当取最小值时，求. 2．在中，角所对的边分别为，且，. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 3．在中，角所对的边分别为，已知的面积为. (1)若，求； (2)求的取值范围. 4．在中，角所对边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，求. 5．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，. (1)求角； (2)若边上的中线长为5，求的面积. 6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，且，记． (1)证明：； (2)证明：； (3)记，若，求的值． 7．记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为边的中点，且满足，求. 8．在中，设内角的对边分别为，. (1)求； (2)已知在边上，，若，且，求的面积. 9．在中，，，分别是角，，的对边，已知. (1)若，求的大小； (2)若，的面积，且，求，. 10．在中，角，，对应边为，，，满足． (1)已知，若在上，且，求的最大值； (2)延长至点，使得．若，求的大小． 11．已知的内角、、所对的边分别为、、，且. (1)求角； (2)若为边上一点，为的平分线，且，求的面积. 12．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且． (1)求证：； (2)若，求． 参考答案 1．(1) (2) （1）因为， 所以由正弦定理得， 因为，所以，又， 所以由余弦定理得. （2）由（1）可得， 所以由余弦定理得， 当且仅当，即时等号成立， 所以当取最小值时，. 2．(1) (2) （1），， ，， ，， ，，. （2），， 又，或， . ， 所以的周长为. 3．(1) (2) （1）由的面积为，得， 则由余弦定理得，，得， 则由正弦定理得，，所以. （2）由题意知，，即， 又由，可得， 故， 因，则， 因，则， 当，即时，有最大值； 又（当且仅当时，即时取等号）， 故的取值范围为. 4．(1) (2) （1）因为 所以， 由射影定理得， 即，于是， 即，又，解得. （2）因为， 所以解得，又由余弦定理得， 得到，解得. 5．(1)； (2). （1）在中，由及余弦定理，得， 整理得，因此，而， 所以. （2）令边上的中线为，则，又， 则， 由（1）知，于是， 所以的面积. 6．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) （1）设，则． 由余弦定理得， 所以，所以． （2）在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 由（1）知，又，所以． （3）若，则，得，与已知矛盾． 若，则， 所以化为，即， 整理得，即，解得． 7．(1) (2)2 （1）在中，由正弦定理， 得， 由已知，得， 即， ， 在中，， ， ， 又， 又. （2）为边中点，且， ， 设，记，则， 又， 在中，由正弦定理，得，即， 即， ，即， ，即. 8．(1) (2) （1）由利用正弦定理可得， 又，可得， 即， 所以， 又因为，故， 因此，即， 又，则， （2）由（1）中可得，， 由， 可得，即，① 由余弦定理可知，，即，② 由①，②可知， 因此. 9．(1) (2)， （1）因为，所以， 由余弦定理得， 因为， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以，所以. （2）因为，所以，所以.①， 由余弦定理， 可得，所以.②， 所以②①，得，②①，得， 所以， 因为，所以， 解得， 10．(1) (2)或 （1）在中，， 由，得， 整理得，而， 所以，可得， 结合，可知，所以的面积， 因为是边上的高，所以，可得， 由余弦定理得，即， 根据，可得，即， 解得，即，当且仅当时，等号成立， 所以， 当时，取得最大值； （2）由，可得， 过作，交于点，则，可得， 在与中，，， 所以，可得，即， 所以， 结合正弦定理得，可得， 结合，可得或， 所以或. 11．(1) (2) （1）因为且，所以. 由正弦定理得. 又， 所以， 整理得. 又，即，所以. 又因为，所以，所以，所以. （2）如下图所示： 由（1）知，因为为的平分线，所以. 因为， 即， 即，所以. 在中，由余弦定理得， 又， 所以，整理得，解得（负值舍去）， 所以的面积. 12．(1)详见解析； (2) （1）在中，， 则 整理得，则 又，则 在中，由正弦定理得，则 在中，由正弦定理得，则 则 则 （2）由，可得，又 则 由 可得，解之得 又，则， 由，可得 则 学科网（北京）股份有限公司 $$