平面解析几何考点预测练-2025届高考数学三轮复习备考

平面解析几何 1．已知椭圆的右焦点为，A为C上一点，的最小值为1. (1)求C的方程； (2)设点，斜率不为0的直线与C交于另一点B. （i）若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率； （ii）若D为C上一点，且点D与点A关于x轴对称，证明：三点共线. 2．已知点和直线：，点到的距离，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点作斜率不为0的直线与曲线交于，不同的两点，再过点作直线的平行线与曲线交于不同的两点，. ①证明：为定值； ②求面积的取值范围. 3．已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. (1)求的标准方程； (2)设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. 4．已知双曲线过点，左、右焦点分别为，且左焦点到渐近线的距离为. (1)求的标准方程； (2)过左焦点作直线交的左支于两点，过右焦点作直线交的右支于两点，，若四边形的面积为，求直线的方程. 5．已知等轴双曲线过点，直线与交于两点，与其渐近线交于两点. (1)求的方程； (2)设，求的取值范围. 6．抛物线:，为的焦点，过抛物线外一点作抛物线的两条切线，，是切点. (1)若点的纵坐标为，求证：直线恒过定点； (2)若||＝，求面积的最大值; (3)证明：||·||=. 7．如图，已知椭圆的离心率为，线段，分别为的长轴与短轴，四边形的面积为. (1)求的标准方程； (2)若直线与分别交于，两点，且总有平分.求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； 8．在平面直角坐标系中，点为直线上的动点，过作的垂线，该垂线与线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于两点，线段的中点为. （i）求的最大值； （ii）求四边形面积的最小值. 9．已知椭圆的长轴长为，左、右焦点分别为，直线与交于P，Q两点，且满足（为坐标原点），当变化时，面积的最大值为． (1)求的方程； (2)证明：； (3)过点和线段PQ的中点作一条直线与交于R，S两点，求四边形PRQS面积的取值范围． 10．已知椭圆的离心率为，A，D分别为其上、下顶点，且. (1)求椭圆M的标准方程. (2)点E为椭圆M的右顶点，点B为椭圆M上在第三象限内的动点，B、C两点关于轴对称，直线DE与直线AB、直线AC分别交于点P，T，过D作轴的平行线交AE的延长线于点Q，连接QP，QT.试探究四边形APQT是否为平行四边形，并写出探究过程. 11．已知双曲线，过点作两条互相垂直的直线. (1)求两条直线与双曲线的交点个数，并说明理由； (2)若，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，证明：直线过定点. 12．过作直线交抛物线于两点，已知，抛物线在点处的切线为，过点作平行于的直线，设直线与抛物线另一交点为，线段的中点为. (1)求直线的斜率； (2)设直线的方向向量为，计算的值； (3)求面积的最小值. 参考答案 1．(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 （1）由题意得 解得， 所以的方程为. （2）由题可知直线的斜率存在且不为0， 设直线，则， 联立，消去，可得， 则，解得， 所以. （i）因为弦中点的纵坐标为， 所以， 解得或（舍）， 所以直线的斜率为. （ii）由题得， 因为 ， 所以， 又与有公共点，所以三点共线. 2．(1) (2)①证明见解析；② （1）设，由题意， ，整理可得. （2）设直线的方程为，则直线的方程为. 联立，得， 可得. 设，则. 联立，得，， 设，则. ①证明：因为，所以 ，故为定值. ②因为的面积, , . 设，则. 由对勾函数的性质可得，所以. 3．(1)； (2)①；②3. （1）设椭圆的半焦距为c，则， 而点到的距离的取值范围为， 因此，解得，， 所以的标准方程为. （2）①由（1）知点，设直线的方程为，， 由消去得， ，， 则，线段的中点， 直线的斜率，直线交直线于点， 因此直线的斜率，即，则直线与直线垂直， 所以. ②由①知， ， 直线的方程为，同理得， 因此四边形的面积， 而，当且仅当，即时取等号， 则， 所以四边形面积的最小值为3. 4．(1) (2)或 （1）双曲线左焦点到渐近线的距离为， ，则， 双曲线过点， ，解得， 的标准方程为； （2）过左焦点作直线交C的左支于两点， 直线斜率不为0，设直线，联立得： 得， 由对称性，四边形的面积等于的面积的4倍， ， 则 ， 整理得，解得或（舍）， 直线的方程为或. 5．(1) (2) （1）∵等轴双曲线E过点， ①若E的焦点在x轴上，不妨设，代入，可得， ∴， ②若E的焦点在y轴上，不妨设，代入，可得，不符题意， 综上所述，. （2）设，，，， 联立可得， ∴，，解得， ∴，， 显然双曲线E的渐近线方程为，不妨设C为直线：与直线l的交点， 联立可得，同理， ∴， ∵，∴， ∴的取值范围为. 6．(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 （1）设，， 由得，则直线的方程为， 即，即， 同理，直线的方程为   又直线与直线都过， 则，， 从而均在直线上， 故直线的方程为，又， 故直线的方程为， 故直线过定点； （2）联立，得， ，则， 则， 于是，， 又点N到直线AB的距离， 所以 (当时取等号). 则面积的最大值为； （3）由题意知直线斜率存在，且. 设直线方程为， 由，得， ，. 对求导，， 所以， ， 直线的方程为， 又，直线的方程为， 同理可得直线的方程为. 由，得，所以， 当时，||=||=2，，所以||·||=； 当时，，， 又，， 所以.所以||·||=， 综上：||·||=. 7．(1) (2)证明见解析， （1）由题意得， ，解得，， 椭圆的标准方程为； （2）令，， 由平分，可知直线、、倾斜角的大小关系， 得到，故有， 故有，化简得到（※） 设，，， 联立，有， 于是有，， 又， ，代入※式化简得，， 则直线， 即可证过定点 8．(1) (2)（i）；（ii） （1）连接，则， 则根据抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线． 则点的轨迹的方程为． （2）（i）依题意直线的斜率不为，设直线的方程为，，，， 联立，整理得，则， 所以，， 设，则，则， 直线的方程为， 同理：直线的方程为， 令得，，， 因为，所以，， 所以，， 所以轴，轴，所以， 取线段的中点为，则直线为线段的垂直平分线， 所以，， 所以， 所以求最大，即最大， 因为 ， 所以当时，取得最大值，此时取最大值， 即的最大值为； （ii）因为，所以四边形的面积， 又， 所以 ， 所以当时，此时四边形的面积取得最小值. 9．(1) (2)证明见解析 (3) （1）设的半焦距为． 依题意得，所以，解得， 所以的方程为． （2）设， 由消去得， 则， ， 因为，所以， 化简得，此时成立，证毕． （3）设PQ的中点为，因为直线RS经过点和点， 所以不妨设，则． ． 由，得点的坐标为， 又， 所以代入的方程得， 化简得，则． 所以， 即四边形PRQS面积的取值范围为． 10．(1) (2)四边形为平行四边形，答案见解析 （1）由已知，得，，，所以，， 所以椭圆的标准方程为. （2）如图所示，易知直线的斜率存在并且其斜率满足条件，则其方程为. 由解得或（舍去）， 所以点的坐标为，从而点的坐标为， 于是直线的斜率，直线的方程为. 又直线的方程为，由得； 由得. 直线的方程为，直线的方程为，由得. 因为直线的斜率，直线的斜率， 所以，，所以四边形为平行四边形. 11．(1)答案见解析 (2)证明见解析 （1）当直线或的斜率不存在时（即一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在）， 因为两直线均过点，所以两直线的方程分别为， 则直线与双曲线共有四个交点， 分别为，.（由，解得或）， 当直线和的斜率都存在时，设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程分别为. 联立直线与双曲线的方程，得， 消去整理得. 当，即时，方程仅有一解，此时直线与双曲线仅有一个交点； 当，即时，，此时直线与双曲线有两个交点. 同理联立直线与双曲线的方程，可知当时，直线与双曲线仅有一个交点； 当时，直线与双曲线有两个交点； 综上，当直线或的斜率不存在时（即一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在），交点个数为4； 当且时，交点个数为2； 当且时，交点个数为4； 当且或时，交点个数为3； 当且且时，交点个数为4. （2）由（1）可知，当直线或的斜率不存在时，两直线与双曲线有四个交点，分别为，， 则点坐标分别为，直线与轴重合，所以若直线过定点，则定点应在轴上. 当直线和的斜率同时存在时，设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程分别为. 因为在双曲线中，所以由（1）可知，当两直线与双曲线有四个交点时，且 记点， 联立直线与双曲线的方程，得， 消去整理得， 则，则，即点. 同理可得点. 当时，，， 则， 此时直线的方程为； 同理当时，，则， 此时直线的方程为. 所以若直线过定点，则定点在直线上. 又因为定点在轴上，所以可猜想定点为， 所以只需证明当时，三点共线即可. 此时，，直线的斜率都存在，即证明. 因为， ， 所以，即三点共线，即直线过定点. 综上，直线过定点. 12．(1) (2) (3)16 （1）由题意可知：直线的斜率可能不存在，但不为0，设为， 联立方程，消去x得， 则，即，抛物线方程为， 设，切线， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 所以直线的斜率. （2）由（1）可知：，的方程为， 设， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 则，即， 可得，即， 则可取，则，可得， 则 ， 所以 （3）由（2）知的纵坐标相等，故为面积的2倍， 因为的面积为 ， 当且仅当时取得等号. 所以面积的最小值为16. 学科网（北京）股份有限公司 $$