2025年九年级数学中考复习有关三角形的最值问题考前冲刺训练

2025年九年级数学中考复习 有关三角形的最值问题考前冲刺训练 1．如图，已知是等边三角形，，点D为的中点，点E，F分别为边上的动点（点E不与B，C重合），且． (1)当时，求出的长度 (2)当，探索与的数量关系，并证明； (3)若E，F分别为直线上的动点（点E不与B，C重合），求的最大值． 2．在矩形中，，，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为（），得到矩形，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G． (1)如图①，当点E落在边上时，求线段EC的长度； (2)如图②，当点E落在线段上时，与相交于点H，连接． ①求证：； ②求线段的长度． (3)如图③设点P为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由． 3．如图，在四边形中，，E是边上的一动点，连接． (1)__________，线段的最小值是__________； (2)过点E作线段的垂线l，点F在直线l上，且满足． ①在图中利用尺规作图作出满足上述要求的图形；（保留作图痕迹，不写作图过程） ②在点E运动的过程中，当点F落在边上时，求证：； ③直接写出线段长的最小值； ④连接．当直线时，求线段的长． 4．如图，在矩形中，，，点，分别在，边上，且，将，分别沿，折叠，点A的对应点为点，点的对应点为点，点不得超过对角线，连接． (1)当时，求线段的长度； (2)当时，求线段的长度； (3)在折叠过程中，直接写出线段的最小值． 5．如图1，已知中，，，点为边上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，与交于点． (1)当时，求的值； (2)试探究猜想、、之间满足的数量关系，并给予证明； (3)在点在边上运动的过程中，、的面积分别记为、，求的最小值． 6．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点． (1)如图，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． (3)如图3，当时，过点作，垂足为点，以为一边构造如图正方形，连接，当时，直接写出的最小值． 7．如图，在中，，，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，，取的中点，连接，交于点． (1)与的位置关系是_____________； (2)当点在线段上运动时，求证：； (3)若，直接写出点到直线的距离的最小值． 8．如图，在边长为6的等边中，点D在边上，，线段在边上运动，， (1)求四边形面积的最大值？ (2)求四边形周长的最小值？ 9．如图，，，，分别是四边形各边的中点，我们称四边形是四边形的中点四边形． (1)若四边形中，，确定中点四边形的形状，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若，则的最小值为___________ 10．如图所示，矩形中，，，把一块三角尺的直角顶点置于边上，，三角尺的两条直角边，分别交，两边于点，，连接．设． (1)当平分时，求的值； (2)①当，重合时， ； ②当，不重合时，求的值． (3)设线段的中点为，连接，，则与的数量关系为 ；再取的中点，连接，请直接写出线段的最小值． 11．如图，在中，，分别是，的中点，，连接，，与交于点． (1)求证：； (2)点在直线上，若，，求的周长的最小值． 12．已知，在中，，是上的一点，连接，在直线右侧作等腰，． (1)如图1，，，连接，求证：； (2)如图2，，，，取边中点，连接．当点从点运动到点过程中，求线段长度的最小值． 13．【问题情境】如图1，点E为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转α度（），点B，E的对应点分别为点，． 【问题解决】 (1)如图2，在旋转的过程中，点落在了上，此时的长为______； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； (3)在直角三角形绕点A逆时针方向旋转过程中，线段长度的最小值为______，最大值为______． 14．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)如图1，已知四边形是筝形，则其对角线与满足的关系是_________； (2)如图2，中，，，，为线段上一点，将沿向外翻折得，将沿向右翻折得，连接，若，判断四边形是否为筝形，请说明理由，并求出的长； (3)如图3，四边形中，，，，点在上，，当时，请直接写出的最大值． 15．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，垂足为E，平分． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，点P是直线上的动点，求的最大值． 16．如图，是等边三角形，点D为平面内一点． (1)如图1，若点D在边上，点M为的中点，连接，，若，求线段的长； (2)如图2，若点D在的延长线上，点E为的中点，点H为上一点，且满足，连接，交于点F，若，猜想线段、的数量关系，并证明； (3)如图3，若，点D在直线的右侧，点P，N分别在线段，上，且满足，将绕点P顺时针旋转得到，连接，当取得最小值时，将直线绕点A逆时针旋转得到，交于点T，连接．若，直接写出的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级数学中考复习有关三角形的最值问题考前冲刺训练》参考答案 1．(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点F作于点，则，，则，解直角三角形可得，，再由勾股定理即可求解； （2）延长至点M，使得，连接，延长至点，使得，连接，证明，过点作于点G，过点C作于J，，设，则，同理可求，代入得到，即可求解； （3）分类讨论，利用解直角三角形表示出，根据作差结合取值范围判断与大小，再由根的判别式求最值，比较大小即可． 【详解】（1）解：过点F作于点， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由见解析 证明：延长至点M，使得，连接，延长至点，使得，连接， ∴， ∵， ∴，同理 ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点作于点G，过点C作于J， ∴ 设，则， 同理可求 ∴ ∵ ∴， ∴， 解得：或（舍）， ∴； （3）解：当点E在线段上时，点F在点A下方时，如图： 过点D，F分别作于点， ， ∵为等边三角形， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵ ∴， ∴同理可得：，， ∴， ∴， ∴设， 整理得：， 则， 解得：， ∴的最大值， ∴的最大值为：， 当点E在线段上时，点F在点A上方时，记为，如图： ∵， ∴； 当点E在线段延长线上，点F在点A上方时，记为，连接，如图： 此时，则， 当点E在线段延长线上，点F在点A下方时，过点D，F分别作于点，如图： 同上：设，则， ∴， ∵ 综上所述，的最大值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识点，难度较大，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 2．(1) (2)①见解析；② (3)存在， 【分析】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）如图①，在中，利用勾股定理即可解决问题； （2）①利用进行判定即可； ②设，根据勾股定理构建方程进行计算即可； （3）存在，连接，作于点，当与共线时，的面积最大，求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 由于逆时针旋转矩形，旋转角为（），得到矩形， ， 在中，， ； （2）①证明：当点落在线段上， ， 在和中， ， ； ②解：， ， ， 设， 在中，， ， ， ； （3）解：存在，理由如下： 连接，作于点， 当与共线，且时，面积最大， 由题意得：， ， ， ， ， ， ， 的面积的最大值为． 3．(1)， 线段的最小值是6 (2)①见解析；②见解析；③的最小值为；④ 【分析】（1）过点D作于点G，可得四边形是矩形，得，得，得；由，即得线段的最小值为6； （2）①过点E作直线，在l上取即可；②过点D作于点G，证明，得，即得；③过点D作于点G，过点F作交延长线于点H，于点J,在上取点I，使，连接，设交于点K，证明，可得，得，点F在直线上运动，当时，取得最小值， 证明，得，根据四边形是矩形，可得，得，得，即得的最小值为；④过点F作于点H,过点D作于点G，证明,,得,,得,即得  ． 【详解】（1）解：过点D作于点G． 则． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴线段的最小值为6． 故答案为：135；6． （2）解：①如图，线段即为所求作； ②过点D作于点G， 则， ∴， ∵， ∴， 由①知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴； ③过点D作于点G，过点F作交延长线于点H，作于点J，在上取点I，使，连接，设交于点K． 则． ∴． 由①知，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴点F在直线上运动，当时，取得最小值． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故的最小值为． ④如图，过点F作于点H，过点D作于点G， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴,． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 解得． ∴． 【点睛】本题考查了三角形矩形综合．熟练掌握过直线上一点作直线的垂线，矩形的判定和性质，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 4．(1)cm (2) (3) 【分析】（1）连接，，由矩形的性质和折叠的性质易得，则，，由此可得四边形是平行四边形，则可得，，根据勾股定理求出的长，进而可得的长． （2）由折叠的性质可得，．再根据证明，则可得，进而可得，又由，可得，则可得，，根据勾股定理求出的长，即可求出的长． （3）由于折叠过程中长始终等于的长，由 可得，当和落在上时, 有最小值为1. 【详解】（1）解：如图，当于点时，连接，， 在矩形中，，， ． ， ，，， ． ． 又， 四边形是平行四边形 ，， ， ． （2）解：如图，当时，延长交于点，延长交于点， ， ，， ， 由折叠的性质可知，，． ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． （3）解：在折叠过程中， 中， , 即, ， , 当和落在上时, . 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，综合性较强，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．(1) (2)，证明见解析 (3)的最小值为 【分析】（1）由旋转得，，，从而，再求出，，可得，进而可求出； （2）过点作于点，由等腰三角形的性质得，，证明，从而可证，由得，进而可证； （3）过点作于点，过点作于点，过点作于点，由得，可得，由，可得，从而，设，，中，，，进而可求出当时，的最小值为． 【详解】（1）解：如图2， ∵， ∴ 由旋转得，， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）猜想：． 证明：如图3，过点作于点， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：如图4，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设，， ∵，∴，，， 中， ， ∴ ∵ ∴当时，的最小值为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，利用二次函数求最值，正确作出辅助线是解答本题的关键． 6．(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）连接，由题意得：，进而得出，得到，证明是中点． （2）通过作辅助线构造，再结合得出线段间的数量关系． （3）先求出动点的运动轨迹是的角平分线，再利用正方形的性质和对称，将转化为两点间线段，再根据勾股定理求最小值． 【详解】（1）证明：连接，由题意得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴点是的中点； （2） 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵G是的中点， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 在中，，， ， 正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 动点的运动轨迹是的角平分线， 作点关于的对称点，则点一定在上， 连接，交于点， ，即的最小值就是， 过点作垂直于，交的延长线于点， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ， ∴，即的最小值是． 【点睛】本题考查了三角形全等，平行的性质，等腰三角形的性质及判定，正方形的性质，以及利用几何变换求线段最值等知识．解题的关键是根据已知条件合理构造全等，利用其性质进行线段关系的推导，对于求线段和最小值问题，要运用对称等方法转化． 7．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由等腰直角三角形性质、结合旋转性质得到相关角度、线段关系，再由两个三角形全等的判定与性质即可得证； （2）延长到点，使，连接，如图所示，先由全等三角形的判定定理得到，进而由全等性质及平行性质得到边与角的关系，从而由两个三角形全等的判定定理得到，再由全等三角形性质及两角互余即可得证； （3）取的中点，过点作垂足为，作垂足为，如图所示，先判断，进而得到四边形为矩形，在和中，解直角三角形求出，结合点在以为直径的上，当点在线段上时，点到直线的距离最小，求出即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，， ， 将绕点逆时针旋转得到线段， ，， ，， ， 在和中， ， ，则， ， 故答案为：； （2）证明：延长到点，使，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：取的中点，过点作垂足为，作垂足为，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴ 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵长度不变， ∴点在以为直径的上，当点在线段上时，点到直线的距离最小，此时， ∴点到直线的距离的最小值为． 【点睛】本题考查几何综合，综合性强、难度较大，涉及等腰直角三角形性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、平行线判定与性质、直角三角形的判定、矩形的判定与性质、解直角三角形、动点最值问题-辅助圆等知识，熟记相关几何判定与性质、全等三角形的判定与性质及动点最值问题-辅助圆问题的解法是解决问题的关键． 8．(1) (2) 【分析】（1）设，则四边形的面积，当x取最大值5时，可得求得四边形的面积最大值； （2）作点D关于的对称点，连接，以、为边作平行四边形，过C作，交的延长线于N，依据平行四边形的性质以及线段的性质，即可发现当M，P，C在同一直线上时，的最小值等于的长，即的最小值等于的长，再根据勾股定理求得的长，即可得出四边形周长的最小值． 【详解】（1）解：设，则， 四边形的面积 ， ∵x的最大值为， ∴时，四边形的面积最大，最大值； （2）如图，作点D关于的对称点，连接，以、为边作平行四边形，交于， 则，，， 过C作，交的延长线于N，则，四边形为矩形 ，，， ∴ ， ， 当M，P，C在同一直线上时，的最小值等于的长，即的最小值等于的长， 此时，中，， 又∵，， ∴四边形周长的最小值为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理以及轴对称最短问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 9．(1)中点四边形是矩形，见解析 (2) 【分析】（1）连接，，根据中位线定理，得出，，，进而得出，，结合推出，即可得出结论； （2）过点D作，且，连接，则四边形是平行四边形，可得，可推出当C、B、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，再证明，则由勾股定理得到，则的最小值为． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下， 如图所示，连接，， ∵点E、F、G、H是四边形各边中点， ∴，分别是的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图所示，过点D作，且，连接，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当C、B、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中点四边形，矩形的判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 10．(1) (2)①；② (3)；的最小值 【分析】（1）由角平分线的性质易得，再分别用勾股定理表示出和，进而建立方程求解； （2）①由即可得解；②参照①思路，构造矩形，过点Q作，垂足为H，证，即可得解； （3）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出，进而得到点T在的垂直平分线上，很明显当垂直于的垂直平分线上时，有最小值，再参考（2）中思路构造相似求解即可． 【详解】（1）解：在矩形和三角尺中，有． 当平分时，应有，即． 而，， ∴， 解得， 即当平分时，； （2）解：①如图， ∴， 故答案为：； ②过点Q作，垂足为H， 则， ∴四边形为矩形，． 在中，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， 在中，， 在中，， ∴， ∴点T在的垂直平分线上， 如图，连接，作的垂直平分线，交于点E，交于点F，过O作， 当时，有最小值， ∵，K为中点， ∴， 由辅助线可知四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、解直角三角形、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 11．(1)证明见解析； (2)的周长的最小值是． 【分析】（1）利用平行四边形的性质首先得出，，，进而得出； （2）首先得出平行四边形为菱形，进而得出当点位于点时，取到最小值为，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：在中，，分别是，的中点， ，，， 在和中， ， ； （2）解：在中，，分别是，的中点， ，， 四边形为平行四边形； 在中，为中点， ， 平行四边形为菱形， 垂直平分， 点关于的对称点为点， 当点位于点时，取到最小值为， 在中，，， 由勾股定理得， 又由（1）知，， 的周长的最小值：． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定和性质、轴对称的性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是通过证明四边形为菱形推得点是点关于的对称点． 12．(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理． 根据垂直定义可知，所以可证，利用可证，根据全等三角形的性质可得，所以可得，从而可证结论成立； 由可知，，因为点是的中点，所以，根据垂线段最短可知当时的长度最小，此时是等腰直角三角形的，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：如下图所示，连接， 由可知， 又，点是的中点， ， 在中，当时的长度最小， 又， ， 在中，， ， ， 的最小值为． 13．(1) (2)①正方形，理由见解析；② (3)， 【分析】（1）由勾股定理得，再由正方形的性质得，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论； ②过点C作于点G，证，得，，则，再由勾股定理求解即可； （3）的最小值就是初始位置时的长度；当落在的延长线上时，，最长，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， 故答案为：； （2）解：①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； ②过点C作于点G，如图3所示： 则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵点E不会在线段上， ∴的最小值就是初始位置时的长度， 当落在的延长线上时，，最长， 故答案为：，． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识． 14．(1)垂直平分 (2) (3) 【分析】（1）由筝形可得，，即垂直平分； （2）由折叠的性质可得，，，，，由等腰三角形的性质可得垂直平分，即，可证四边形是筝形，由面积法可求的长； （3）由折叠的性质可得，，，，，，可证，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是筝形， ∴，， ∴垂直平分； 故答案为：垂直平分； （2）解：四边形是筝形，理由如下： 如图2，设与交于点H， 由折叠的性质得，垂直平分，垂直平分， ∴，，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴ ∵ ∴， ∴； （3）解：如图3，将沿翻折得，将沿翻折得，在截取，连接，， ∵，， ∴， 由折叠得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当点A，点G，点H，点D共线时，有最大值， ∴的最大值． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了新定义，折叠的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等性质，添加恰当辅助线是解题的关键． 15．(1)30° (2)见解析 (3)2 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到．由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据含角直角三角形的性质得到，进而求解即可； （3）作C点关于直线的对称点，根据角平分线的定义可判断在直线上，连接的直线就是，则当P点和A点重合时，最大，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明∶ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解∶ 作C点关于直线的对称点， ∵平分． ∴在直线上， ∴连接的直线就是， ∴当P点和A点重合时，最大， 此时的最大值为， ∵， ∴的最大值为2． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质和含角直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 16．(1) (2)猜想：．证明见详解 (3) 【分析】（1）作于，根据角直角三角形的性质求出，，进而可求，再角勾股定理即可求解； （2）连接，作，，连接，，作于，证明，都是等边三角形，进而可证明，得，同理可证明，得，，进而可得，即可根据三角函数求解； （3）作，交于，作于，连接并延长交于，证明，进而可证明 ，得，作于，证明是个定角，可得时取得最小值，证明，得， 由，得四点共圆， 过圆心时取得最大值，连接，，根据勾股定理，解直角三角形的相关方法即可求出的最大值． 【详解】（1）解：作于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，，， 是中点， ，，， ， ； （2）猜想：． 证明：连接，作，，连接，，作于， ， ， 是等边三角形， ， ，都是等边三角形， ，， ，， ， ，，，， ，， ， ， 同理可证明， ，， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：作，交于，作于，连接并延长交于， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， 作于， ， ，， ， 是个定角， 时取得最小值， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， 四点共圆， 的外心即是经过这四点的圆的圆心，过圆心时取得最大值， 连接，， ， ， ， ， ，，，，， ， 作于， ，， ，， 作于， ， ， 即， ， 作于， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，四点共圆及圆周角定理等，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合，作出辅助线． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$