精品解析：贵州省遵义市桐梓县第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

贵州省桐梓一中2023-2024学年高二上学期期末考试 高二 数学 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【详解】若不能构成空间的一个基底， 共面， 存在，使， 即， 解得， 故选：. 2. 经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出两直线的交点坐标，再利用二倍角的正切公式求出直线的斜率即可求解. 【详解】由，解得，即所求方程的直线过点， 令直线的倾斜角为，则，显然是锐角， 因此所求方程的直线斜率， 所以所求的直线方程为，即. 故选：C 3. 已知焦点在x轴上的椭圆过点，且离心率，则椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意先求出a的值，然后结合离心率求出c的值，计算出的值，最后求出椭圆方程. 【详解】根据焦点在x轴上的椭圆过点可得，又因为离心率，即所以 ，所以椭圆方程是， 故选：D. 4. 已知的前n项和为，，当时，，则的值为（ ） A. 1009 B. 1010 C. 1011 D. 1012 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合与之间的关系分析可得，结合题意利用并项求和运算求解. 【详解】由题意可知：当时，可得， 因为，则，即， 当时，则， 两式相减可得，即， 可得，，， 所以． 故选：D. 5. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】由等差中项的性质计算即可； 【详解】因为在等差数列中，， 所以， 所以， 故选：B. 6. 在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为（ ） A. 4 B. 4或 C. 6或 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】设插入的第一个数为a，根据等比数列的性质，求出插入的另一个数，最后根据等差数列的性质进行求解即可. 【详解】设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为． 由a，，20成等差数列，得．整理得，解得或． 当时，插入的两个数的和为． 当时，插入的两个数的和为． 故选：B 7. 复数的虚部是（ ） A. 1012 B. 1011 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由错位相减法化简复数后再由复数的运算和复数的几何意义求出结果即可. 【详解】因为， ， 所以，① 因为，所以，， 所以化简①可得， 所以虚部为， 故选：D. 8. 已知实数，，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简变形后可设，知其在上单调递增，若，则，对求导可得到极值点也是最值点，故可得结果. 【详解】由已知有，即，即， 因为，令，，易知在上单调递增， 因，所以，故，即. 所以，令，可得， 又因在上小于零，故y在单调递减， 在上大于零，故y在单调递增， 故当时，y取极小值也是最小值为e. 故选：A 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 将函数的图象向左平移个单位长度，总能得到的图象 B. 若，则当时，的取值范围为 C. 若在区间上恰有3个极大值点，则 D. 若在区间上单调递减，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由题可得，然后利用三角函数的性质结合条件逐项分析即得. 【详解】由题可得 对于A，向左平移个单位长度为，故不一定能得到的图象，A错误； 对于B，，，则，，所以，B正确； 对C，由可得， 由在区间上恰有3个极大值点可得，C正确； 对于D，，则， 因为单调递减， 所以，，且即， 解得，，且， 当时，，当时，，D错误. 故选：BC. 10. 定义数列为数列的“3倍差数列”，若的“3倍差数列”的通项公式为，且，则下列正确的有（ ） A. B. 数列的前项和为 C. 数列的前项和与数列的前项和相等 D. 数列的前项和为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由递推关系可得数列是以为首项，以为公差的等差数列，从而可得，再结合等比数列的求和公式，即可判断ABC，再由裂项相消法代入计算，即可判断D 【详解】由可得，且， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，即， 则，所以，故A正确； 因为，由等比数列的求和公式可得该数列的前项和为，故B错误； 因为，，这两个数列的通项公式相同， 则其前项和相等，故C正确； 因为，则， 则其前项和 ， 且当时，取得最小值为，所以，故D正确； 故选：ACD 11. 已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面向量的定义，平行，垂直，模长的定义可以对每一个选项进行逐一判断，进而得出答案. 【详解】对于：∵，所以正确； 对于：， ∴，所以不垂直， 所以不正确； 对于：， ， 所以正确； 对于：，， 而， ∴不平行于；所以不正确. 故选：. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点是椭圆上的两点.且直线恰好平分圆，为椭圆上与点不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，则.由已知可推得，根据，可得出，然后即可求出离心率. 【详解】设，. 依题意有，两式相减得，所以. 因直线恰好平分圆，则， 则，. 由已知，， 所以，，即. 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 13. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义得到，，在中，由余弦定理可得，即可求得. 【详解】解：设是椭圆的右焦点，连接，， 由对称性可知：，，则四边形为平行四边形， 则，即，且， 因为，则，， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 14. 在数列中，首项，时，，则数列的前项和为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用累乘法可求出数列的通项公式，再利用裂项求和法可求得数列的前项和. 【详解】在数列中，首项，时，， 即当时，， 所以，，，，， 上述等式全部相乘得，则， 也满足，故对任意的，， 所以，， 所以数列的前和为. 故答案为：. 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知各项均为正数的等差数列的首项，，，成等比数列； （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由，，成等比数列，可得，代入，解出的值，即可得答案； （2）由题意可得，采用分组求和即可. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 又因为，，成等比数列， 所以，即， 整理得：， 又因为， 解得或(舍) 则有， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 解：因为， 所以， 所以 . 所以. 16. 设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若在时恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）[，+∞)． 【解析】 【分析】（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；根据单调性即可求得f(x)的极值﹒ （2）参变分离，将问题转化为用导数求函数的最值问题﹒ 【小问1详解】 由题可知， ①当在上单调递增， ②当时，． 当时，单调递增； 当时，单调递减； 在上单调递增，在上单调递增. 【小问2详解】 ∵，∴， 令，则原问题a≥，， ∵， ∴x∈[0，1)，＞0，g(x)单调递增；x∈，，g(x)单调递减； ∴，∴﹒ ∴的取值范围为[,+∞)． - 17. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 不妨设，则，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 所以平面的一个法向量， 又，所以，因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）不妨设，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由，得到，即可得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以是平面的一个法向量， 又因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，已知曲线的方程是（，）． （1）当，时，求曲线围成的区域的面积； （2）若直线：与曲线交于轴上方的两点，，且，求点到直线距离的最小值． 【答案】(1)4；(2) ． 【解析】 【分析】（1）当，时，曲线的方程是，对绝对值内的数进行讨论，得到四条直线围成一个菱形，并求出面积为4； （2）对进行讨论，化简曲线方程，并与直线方程联立，求出点的坐标，由得到的关系，再利用点到直线的距离公式求出，从而求得. 【详解】（1）当，时，曲线的方程是， 当时，，当时，， 当时，方程等价于， 当时，方程等价于， 当时，方程等价于， 当时，方程等价于， 曲线围成的区域为菱形，其面积为； （2）当，时，有， 联立直线可得， 当，时，有， 联立直线可得， 由可得， 即有， 化为， 点到直线距离 ， 由题意可得，，，即， 可得，， 可得当，即时，点到直线距离取得最小值． 【点睛】解析几何的思想方法是坐标法，通过代数运算解决几何问题，本题对运算能力的要求是比较高的. 19. 已知圆在椭圆里.过椭圆上顶点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为. （1）求的取值范围； （2）是否存在圆，使得直线与之相切，若存在求出圆的方程，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在满足条件的圆，其方程为 【解析】 【分析】（1）根据，即可根据点点距离公式求解， （2）根据点斜式得直线，方程，利用相切以及点到直线距离公式得直线的方程为，利用与圆相切，即可列方程求解. 【小问1详解】 设为椭圆上任意一点，则，， 则. 则.故. 【小问2详解】 由题意可知，设，因为，故切线的斜率都存在. 又直线的方程为，即为， 同理直线的方程为. 则，故. 而，故，又因为. 故，同理：. 故直线的方程为. 若直线与圆相切，则，令. 故，即. 故或或， 因为，所以不满足， 故存在满足条件的圆，其方程为 【点睛】关键点点睛：根据直线，方程，利用相切以及点到直线距离公式可得满足，可得直线的方程为，即可利用相切以及距离公式列方程求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省桐梓一中2023-2024学年高二上学期期末考试 高二 数学 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 2. 经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知焦点在x轴上的椭圆过点，且离心率，则椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的前n项和为，，当时，，则的值为（ ） A. 1009 B. 1010 C. 1011 D. 1012 5. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 6. 在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为（ ） A. 4 B. 4或 C. 6或 D. 6 7. 复数的虚部是（ ） A. 1012 B. 1011 C. D. 8. 已知实数，，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 将函数的图象向左平移个单位长度，总能得到的图象 B. 若，则当时，的取值范围为 C. 若在区间上恰有3个极大值点，则 D. 若在区间上单调递减，则 10. 定义数列为数列的“3倍差数列”，若的“3倍差数列”的通项公式为，且，则下列正确的有（ ） A. B. 数列的前项和为 C. 数列的前项和与数列的前项和相等 D. 数列的前项和为，则 11. 已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点是椭圆上的两点.且直线恰好平分圆，为椭圆上与点不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为__________. 13. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________. 14. 在数列中，首项，时，，则数列的前项和为__________. 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知各项均为正数的等差数列的首项，，，成等比数列； （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若在时恒成立，求的取值范围． 17. 如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 在平面直角坐标系中，已知曲线的方程是（，）． （1）当，时，求曲线围成的区域的面积； （2）若直线：与曲线交于轴上方的两点，，且，求点到直线距离的最小值． 19. 已知圆在椭圆里.过椭圆上顶点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为. （1）求的取值范围； （2）是否存在圆，使得直线与之相切，若存在求出圆的方程，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $