广东省惠州市惠阳区2025年中考一模数学试题

2025年惠阳区初中学业水平模拟考（一）数学试卷 第 1 页 共 4 页 2025 年惠阳区初中毕业学业水平模拟考试（一） 数 学 说明：本试卷共 4 页，答题卡共 4 页，满分 120 分，考试时间：120 分钟. 一、单选题(本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分） 1. -3 的相反数是（ ） A. -3 B. 3 C. 1 3  D. 1 3 2. 中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统（GPS）、俄罗斯格洛 纳斯卫星导航系统之后第三个成熟的卫星导航系统．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约 是 21500000 米．将数字 21500000 用科学记数法表示为（ ） A. 621.5 10 B. 80.215 10 C. 62.15 10 D. 72.15 10 3．下列运算正确的是（ ） A．a2 ⋅ a3 = a6 B．3a − 2a = 1 C．( − 2a2)3 =− 8a6 D．a6 ÷ a2 = a3 4．不等式组 1 0 3 0 x x      中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 5．若 5x  在实数范围内有意义，则实数 x的取值范围为（ ） A． 5x≥ B． 5x  C． 5x  D． 5x  6.已知点�(�1, �1)，�(�2, �2)都在正比例函数� =− 2�的图象上，若�1 < �2，则�1与�2的大小关系是（ ） A. �1 < �2 B. �1 > �2 C. �1 = �2 D. �1 ≥ �2 7．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，茗茗同学从中得到启发， 在活动课上做“小孔成像”实验，他认为小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，也可以利 用数学知识解决隐藏在其中的问题．如图，若 30cmOB  ， 20cmOB  ，蜡烛火焰倒立像 6cmA B   ，则下列说 法中，错误的是（ ） A．蜡烛火焰 AB和蜡烛火焰倒立像 A B 可以看成是位似图形 B． ABO A B O ∽△ △ C．线段 AB的中点与线段 A B 的中点的连线不一定经过点 O D．蜡烛火焰 AB长9cm 8.如图，在△ABC 中，进行以下操作：①分别以点 A，B 为圆心，大于 1 2 AB 的长为半径作弧，两弧交于点 D，E； ②作直线 DE 交边 AB 于点 O，交 BC 于点 H；③连接 AH.已知 OH=4,△ABH 周长为 16, 则△AOH 的周长为（ ） �. 6 �. 8 �. 10 D.12 9.如图，小王同学在制作 2025 年 4 月 23 号读书节的手抄报时，绘制了如题 9图所示的扇面示意图，扇面弧所对 的圆心角为 120°，大扇形半径为 10cm，小扇形半径为 3cm，则此扇面中阴影部分的面积是（ ） �. 91 3 ���2 �. 86 3 ���2 �. 70 3 ���2 �. 65 3 ���2 2025年惠阳区初中学业水平模拟考（一）数学试卷 第 2 页 共 4 页 10. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E、F分别是 BC，CD 上的一动点，且 BE＝CF，连结 AE，BF，两线交于点 P，连接 CP，则 CP 的最小值是（ ） A. 2 5 2 B. 3 2 2 C. 2 2 D. 2 2 第 7 题 第 8题 第 9 题 第 10 题 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11. 计算: 3 8 + −1 2025 =_____________． 12.正 n 边形的每个内角度数为 120 0 ，，则 n的值为 . 13.不透明的袋子中装有 6个球，其中有 3 个黑球、1个白球、2 个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中 随机取出 1 个球恰好是黑球的概率为 . 14. 已知方程 2 2 0x x   的两根分别为 1x ， 2x ，则 1 2 1 1 x x  的值为 . 15.如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，对角线 AC，BD 相交于点 O，P 是对角线 BD 上 的动点，且 PM⊥AB 于点 M，PN⊥AD 于点 N.有以下结论：①△ABC 为等边三角形，② OB= 3OA，③∠MPN=60°，④PM＋PN=1 2 BD.其中正确的是_____________．（填写序号） 三、解答题（一）(本大题共 3 个小题，每题 7 分，共 21 分) 16. 先化简，再求值： 2 2 1 1a a a a    ，其中 2a  ． 17. 如图，反比例函数  0ky x x   的图象过格点（网格线的交点）P． （1）求反比例函数的表达式； （2）在第一象限中，反比例函数的图象交网格线于 A，B两点，作射线 ,OA OB， 在图中用直尺和 2B铅笔画一个平行四边形，该平行四边形满足以下两个条件： ① 点 A，B 为该平行四边形的两个顶点； ②平行四边形的另外两个顶点在反比例函数的图象上． 18. 启迪未来之星，推进科技教育。为普及人工智能 AI 技术，某校在九年级组织了一次“人工智能 AI 技术”知 识竞赛活动（竞赛成绩为百分制）。学校想了解知识竞赛的情况，特随机抽查了九年级部分学生的竞赛情况，按 成绩分为�，�，�，�，�五个等级，并绘制了如下两个不完整的统计图表， 2025年惠阳区初中学业水平模拟考（一）数学试卷 第 3 页 共 4 页 请根据以上图表，解答下列问题： （1）填空：这次被调查的同学共有 人，a＝ ，b= ，m= ； （2）扇形统计图中扇形 C的圆心角度数为 ； （3）已知成绩在 60 分及以上为合格，该校九年级共有学生 1000 人，请估计此次＂人工智能＂知识竞赛中，成 绩合格的学生有多少人？ 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 19. 某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三 明治机．经过调查，购买 2 台煎蛋器和 1 台三明治机需 240 元，购买 1 台煎蛋器和 3 台三明治机需 395 元． （1）求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元； （2）学校准备采购这两种机器共 50 台，其中要求三明治机的台数不少于．．．煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费 用的购买方案． 20.项目式学习：阅读材料，完全任务 书架摆放设计 素材一 一个书架上放着８个完全一样的长方体档 案盒，其中左边７个档案盒紧贴书架内侧竖 放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒 的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧， 顶点 C 靠在档案盒上． 素材二 经测量知：书架内侧 BG 长为 60cm， 053CDE ，档案盒长度 AB=35cm． （参考数据： ,80.053sin 0  ,60.053cos 0  33.153tan 0  ） 任务一 计算 ED 的长度; (1)利用素材二中的数据求 ED 的长 任务二 求出每个档案盒的厚度 (2)即求 DF 的长 任务三 书架摆放档案盒的设计 (3)求出该书架中最多能放几个这样的档案盒? 2025年惠阳区初中学业水平模拟考（一）数学试卷 第 4 页 共 4 页 21. 实践与探究 【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角板，如何作15大小的角呢？ 【实践操作】如图． 第一步：对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展开，得到 AD||EF||BC，如图 1． 第二步：再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 N 处，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM．折痕 BM 与折痕 EF 相 交于点 P．连接线段 BN、PA，如图 2． 第三步：折叠纸片，使点 A 落在 BM 上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BH，则可得到 15ABH ＝ ，如图 3. 【问题解决】 （1）在图 3中，求 CNB 的度数，并证明 oABH 15 ； （2）在图２中，判断四边形 APNM 的形状，并说明理由． 图 1 图 2 图 3 五 、解答题（三）(本大题共 2 个小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分) 22．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，点 O 在 AB 上，经过点 A的⊙O 与 BC 相交于点 D，与 AC，AB 分别相交于点 E，F，连接 AD 与 EF 相交于点 G，且 AD 平分∠CAB． （1）求证：BC 与⊙O相切； （2）若 OH⊥AD 于点 H，FH 平分∠AFE，DG=1． ①试判断 DF 与 DH 的数量关系，并说明理由； ②求⊙O的半径． 23.【建立模型】如图 1,点 B 是线段 CD 上的一点,AC⊥BC,AB⊥BE,ED⊥BD,垂足分别为 C、B、D,AB=BE.易证: △ACB≌△BDE； 【类比迁移】如图 2,一次函数 y=3x+3 的图像与 y 轴交于点 A、与 x 轴交于点 B，将线段 AB 绕点 B 逆时 针旋转 90°得到 BC,直线 AC 交 x 轴于点 D. (1)求点 C 的坐标； (2)求直线 AC 的函数表达式； 【拓展延伸】（3）如图 3，抛物线 � = �² −3x-4 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y轴交 于点 C,已知点 Q(0,-1),连接 BQ, 抛 物 线 上 是 否 存 在 点 M,使 得 tan∠��� = 1 3 ,若存在，求点 M 的 横坐标. 2025年惠阳区初中毕业学业水平模拟考试（一) 数学参考答案 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1-5:BDCAA 6-10:BCDAA 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.1 12.6 13.月 14 15. ①②③④ 三、解答题（一）（本大题共3个小题，每题7分，共21分） 16解：原式=a- a …2分 a(a-1)(a+1) a+1 …5分 当0=2时，原式=，2= …7分 2+13 17.(1)解：由坐标系可得P(1,2), …】分 将P1,2)代入y=(x≠0)得：k=1×2=2, 5…2分 2 ∴解析式为：y=二； …3分 (2)解：如图所示，该平行四边形即为所作： *000000440004分 …7分 18.解：(1)502088 …4分 (2)144° …5分 (3)估计此次知识竞赛中，成绩合格的学生约有1000×+6-400（人）， 50 …7分 四、 解答题（二）（本大题共3小题。每小题9分，共27分） 19.（1)解：设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元.…1分 第1页共6页 [2x+y=240 由题意得： x+3y=395' x=65 解得： y=1101 …3分 答：煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台. …4分 (2)解：设煎蛋器采购a台，则三明治机采购(50-a)台， 1 由题意得：50-a2一a, ……6分 100 解得：a 3 ,a只能取正整数， a的最大值为33， …7分 设总的购买费用为”元， .w=65a+110(50-a =-45a+5500, .k=-45<0, ∴.当a=33时，费用最低， …8分 此时的购买方案为：购买前蛋器33台，三明治机17台： 答：购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台. …9分 20.解：(1)在Rt△CDE中，CD=AB=35cm,∠CDE=53°， *…】分 c0s530= ED ≈0.60 CD ED≈35×0.60=21cm 即：ED的长约为21cm: 3分 (2) 由题意可知：∠FGD=∠CDF=90° …4分 .∠CDE=53 ,∴.∠FDG=180°-∠CDF-∠CDE=180°-90°-53°=370 ∴.∠DFG=90°-∠FDG=53 …5分 设每个档案盒的厚度为xCm,即DF=xCm,BE=7x 在RtADFG中，Sm∠DFG=DC ≈0.80 ∴.DG=0.8x E 6分 由BE+ED+DG=BG=60可得：7x+21+0.8x=60 解得：X=5…7分 则每个档案盒的厚度为5cm 第2页共6页 (3)60÷5=12∴.最多能放12个这样的档案盒 …9分 21.解：(1)由折叠重合可得：AE=BE=AB,AB=BN,且∠AEF=∠BEF=90°1分 在RI△EBN中，BN=AB=2BE ∠ENB=309 EF∥BC.∠NBC=∠ENB=30 …2分 则：∠ABN=90°-∠NBC=60° 由折叠重合可得：乙ABM=ANBM=号ABN=30, …3分 则：∠ABH=∠HBM-号∠ABM=15 …4分 (2)四边形APNM是菱形，理由如下： …5分 由折叠重合可得：AP=NP,AM=NM,∠MAB=NB=90°，6分 由（1)可得：∠ABM=∠NBM=∠ENB=30° 在RtBN中，∠PN=∠BN=90°-∠NBM=60°，…7分 又∠MPN=∠NBM+∠ENB=60° ∴.∠MPN=∠PMN∴.MN=PN …8分 又.·AP=NPAM=NM.'AP=NP=AM=NM .四边形APNM是菱形 …9分 五、解答题（三）（本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分） 22.解：(1)如图，连接OD, ,AD平分∠CAB∴.∠CAD=∠BAD …】分 .OAOD,.∠OAD=∠ODA, …2分 .∠CAD=∠ODA..OD∥AC …3分 ∴.∠ODB-∠C-90°，即OD⊥BC .⊙O与BC相切于点D …4分 (2)①DF-DH,理由如下： …5分 ,FH平分∠AFE,∴.∠AFH=∠EFH ……6分 第3页共6页 DEDE∴∠DFG=∠EAD 又，'∠EAD=∠HAF,∴，∠DFE=∠EAD=∠HAF, …7分 ,'∠DHF=∠HAF+∠AFH∠DFH=∠DFE+∠EFH .∠DFH=∠DHF,.DF=DH. …8分 ②设HGx,则DH=DF-1+x, .'OH LAD,..AD=2DH=2 (1+x). …9分 ,'∠DFG=∠DAF,∠FDG=∠FDG,∴.△DFG△DAF, …10分 :g6,1+x1 …D丽’“21+x)1+ ,x=1 …11分 .DF=2,AD=4, ,AF为直径，∴.∠ADF-90°， ∴.AF=VDF2+hD2=√22+42=25， …12分 ∴⊙0的半径为V5. …13分 23.(1)如图所示，过点C作CE⊥x轴于点E, ,将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC, ∴.BA=BC,∠ABC=90°， 又∠AOB=∠CEB=90°， D B Ox ∴.∠ABO=90°-∠CBE=∠ECB, …1分 图2 ∴.△CBE≌△BAO(AAS), ∴.BE=AO,CE=BO, …2分 ·一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B, 当x=0时，y=3,即A(0,3),当y=0时，x=-1,即B(-1,0), ……3分 ∴.A0=3,B0=1, ∴.BE=AO=3,CE=BO=1, …4分 ∴.EO=EB+BO=3+1=4, .C(-4,1) …5分 (2),A(0,3),设直线AC的解析式为y=x+3, 将C(-41)代入得：1=-4h+3 …6分 第4页共6页 解得：= …7分 2 ∴直线AC的解析式为y=一x+3, …8分 (3),抛物线y=x2-3x-4与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）， 当y=0时，x2-3x-4=0, 解得：=-1x2=4, A(-1,0),B(4,0): ……9分 ①当M点在x轴下方时，如图所示，连接MB,过点O作OH⊥BM于点H,过点H作DELy轴 于点D,过点B作BE L DE,于点E, ,∠QDH=∠E=∠QHB=90°， ∴.∠DQH=90°-∠QHD=∠BHE, ∴.△ODHHEB, OH=DH Do BH BE HE :ta☑MBe=tam∠QBH=}-2L 3 BH :Og-D班-1 BH BE 3' 设DH=a,则BE=3a, …10分 ·DE=4,HE=4-a,QD=40 Γ33 OD=BE,Q(0,-1,∴.1+ 4=3a, 33 解得：a= (1010 …11分 设直线BH的解析式为y=k'x+b, K+b=- 1 代入H 21Y B(4,0)得： 10 0, 4k+b=0 b= 28 解得： 11 k'= 第5页共6页 728 ∴.直线BM解析式为y= -x- 1111 728 V= 联立 =ix-1i y=x2-3x-4 解得：=4（舍去），玉=-4 …12分 ②当M点在x轴的上方时，如图所示，过点2作OG⊥B于点G,过点G作PF∥x轴，交'轴 于点F,过点B作PB⊥FP于点P, 同理可得AFGQ∽APBG, 器器器 设FG=b,则PB=3b, G FP=4, B GP=4-b,F0=4-b 31 .FO=PB+1, :4 2=3b+1, 3 10'10 设直线MB的解析式为y=r+n, 1 代入c1,3 1 3 11= m+n= B(4,0)得： 10 1010 10,解得 13 …13分 4 4m+n=0 1= 13 直线M的解析式为y一二x+ 3x+3 4 联立 V=- r+ 1313, y=x2-3x-4 解得：书=4（舍去），5=14 131 踪上所述，M的横坐标为-告或-3 11 …14分 第6页共6页1 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题（一）(本大题共 3 个小题，每题 7 分，共 21 分) 16.解： 17.解： 18.解：（1） 人，a＝ ，b= ，m= ； （2） ； （3） 考 号 2025 年惠阳区初中学业水平模拟考试（一）（数学答题卡） 班 级 __ __ __ __ __ __ __ _姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 考 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 座 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 1. 客观题必须使用 2B铅笔将对应答案涂黑涂满，主观题 必须使用 0.5毫米黑色签字笔，不得使用铅笔、红笔或圆 珠笔答题，不能用涂改液、修正带，字迹工整，笔迹清楚。 2. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答 题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。 3. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 缺考填涂标志： 2 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 19.解： 20.解： 3 21.解： 五、解答题（三）(本大题共 2 个小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分) 22.解： 图 2 图 3 4 23. 解：