第04讲 平行关系（3知识5题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

第02讲 平行关系 课程标准 学习目标 ①点、线、面位置关系的定义 ②基本事实和定理 ③平行关系 1. 理解点、线、面位置关系。 2. 理解掌握基本事实和定理。 3. 能够用直线与平面、平面与平面判定定理和性质定理进行证明。 知识点01 点、线、面位置关系 1.平面的基本性质 （1）基本事实1 ①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面； ②图形语言： （2）基本事实2 ①如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内； ②符号语言和图形语言 符号语言：，，且， （3）基本事实3 ①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ②符号语言和图形语言 ，且 2.基本事实1和基本事实2的三个推论 （1）推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 （2）推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面 （3）推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面 3.异面直线 （1）异面直线的概念 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 （2）异面直线的画法 画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托 4.直线与平面的位置关系 位置关系 直线在平面内 直线在平面外 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点 有无数个公共点 只有1个公共点 没有公共点 符合表示 图形表示 5.平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 图形表示 知识点02 线面平行 1.直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号表述： 图形语言 直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题) 即 线线平行 线面平行 2.直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号表述：，， 简记：线线平行 线面平行 注意：①定理中三个条件缺一不可 ②简记：线面平行，则线线平行 ③定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据 ④定理的关键：寻找平面与平面的交线 知识点03 面面平行 1.两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。） （2）符号语言 （3）图形语言 （4）定理应用 线线平行面面平行 2.平面与平面平行的性质定理 （1）平面与平面平行的性质定理 两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. （2）符号语言 （3）图形语言 （4）定理应用 面面平行线线平行 题型01 点、线、面位置关系 【典例1】下列命题中正确的是（   ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中有三点共线，则此四点必共面 C．若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面 D．空间四边形中，，E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形为正方形 【答案】B 【详解】对A，四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误， 对于B，若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确， 对于C，若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误， 对于D，空间四边形中，，E，F，分别为，的中点，G，H分别为，的中点，所以，所以， 同理，所以，则四边形为长方形，不能得出正方形，D选项错误； 故选：B 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个平面 B．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 C．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行 D．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 【答案】B 【详解】共线的三点不能确定一个平面，故A错误； 由斜二测画法规则知，B正确； 若直线与平面平行，则与平面内的直线有可能异面，故C错误； 以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体是两个圆锥的组合体，故D错误． 故选：B 【变式2】每次停放自行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是（   ） A．两条直线确定一个平面 B．三点确定一个平面 C．不共线三点确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【答案】C 【详解】自行车的前轮、后轮、脚撑与地面的三个接触点不在同一条直线， 它们可以确定唯一一个平面，因此自行车就稳了，其中蕴涵的道理是不共线三点确定一个平面. 故选：C. 【变式3】已知平面平面，若是，之间的两个点，则（    ） A．过的平面一定与，都相交 B．过有且仅有一个平面与，都平行 C．过的平面不一定与，都平行 D．过可作无数个平面与，都平行 【答案】C 【详解】当过的直线与，相交时，易知的平面一定与平面，都相交； 当过的直线与，都平行时，易知可以作唯一的一个平面与，都平行. 故选：C. 【变式4】下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【详解】对于①，分别连接， 在长方体中，因为，，，分别是所在棱的中点， 所以，，则，所以四点共面. 对于②，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得，， 故平面，平面，所以六点共面. 对于③，连接，因为，，，分别是所在棱的中点， 所以， ， 故，所以四点共面. 对于④，连接，因为平面，平面，且不过点， 所以为异面直线， 所以四点不共面. 故选：A. 题型02 直线平面平行判定定理 【典例2】在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】连接，取的中点，连接、， 结合已知可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以为中点， 因为为的中点，为中点， 则，且， 因为为的中点， 则，且， 则，且， 故四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 【变式1】已知直线平面，则（    ） A．与内所有直线都平行 B．内不存在直线与垂直 C．过的平面与必平行 D．内有无数条直线与垂直 【答案】D 【详解】对于A，直线平面，则平面内的直线与直线l可能平行，或异面，故A错误； 对于B，由A分析，在与直线l异面的直线中，存在与直线l垂直，故B错误； 对于C，过l的平面可能与相交，故C错误； 对于D，由B分析，可在平面内做无数条与直线l垂直的直线，故D正确. 故选：D 【变式2】已知平面，直线且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因，又，则，即“”是“”的充分条件； 当，时，不一定和l平行，还有可能异面， 则“”不是“”的必要条件.则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式3】已知直线m，n，平面，那么“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，由于，可以得到，充分性成立， 但不能推出，因为可能在内，必要性不成立. 故选：C 【变式4】如图甲，在梯形中，，分别为的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论是 . ①平面；②平面；③平面. 【答案】①③ 【详解】对于①，由题意得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面，故①正确； 对于②，取的中点G，连接， ∵E是的中点，， ∴， ∴四边形为梯形， ∴直线与直线相交， ∴与平面相交，故②错误； 对于③，连接，交于点O，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴O是的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面，故③正确． 故答案为：①③ 【变式5】已知棱长为的正方体中，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)过三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）连接，则由中位线定理得 又由正方体性质得且， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以，又平面，平面， 所以平面.    （2）如图，延长，与的交点分别为， 则连接即可得到过三点的正方体的截面， 由题意可知，故， 所以截面的周长为.    【变式6】如图，在三棱柱中，侧面为菱形，侧面为正方形.点为的中点，点为AB的中点.证明：平面.    【答案】证明见解析 【详解】连接，，如图所示：    因为为菱形，点为的中点， 所以，且点为的中点， 又点为中点，所以， 而平面，平面， 所以平面. 【变式7】如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点 (1)求证：平面； (2)求证：、、、四点共面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）如图： 连接，因为分别为的中点，所以 在三棱柱中，.所以四点共面. 因为分别为的中点，所以，. 所以四边形为平行四边形. 所以.因为平面平面， 所以平面. （2）如图： 连接，因为为直三棱柱，且分别为的中点， 所以，又，所以，所以、、、四点共面. 题型03 直线与平面平行的性质定理 【典例3】一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心. (1)证明：平面； (2)设平面平面，试判断直线与的位置关系，并给出证明； (3)在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线平面?若存在，说明点的轨迹，并进行证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)平行，证明见解析 (3)存在，轨迹及证明见解析 【详解】（1） 设，的中点分别为、，连接、， 易得， 又， 即，， 则，， 又点为的重心， 即， 与平行且相等， 即四边形为平行四边形， 则， 又平面，平面，可得平面； （2）直线与平行. 证明如下： ，平面，平面， 平面， 又由平面，平面，平面平面， ； （3）分别取、的中点、，则当点时，有平面， 证明如下： 由、分别为、的中点得， 过点作的平行线交、于、两点， 因为，，所以，即、、、四点共面， 又因为，点为重心， 所以， 又由正三棱台性质， 故四边形为平行四边形，故， 因为平面、平面，所以平面， 同理平面， 因为，、平面， 所以平面平面， 所以当点时，平面，满足平面. 【变式1】已知直线平面，则（    ） A．与内所有直线都平行 B．内不存在直线与垂直 C．过的平面与必平行 D．内有无数条直线与垂直 【答案】D 【详解】对于A，直线平面，则平面内的直线与直线l可能平行，或异面，故A错误； 对于B，由A分析，在与直线l异面的直线中，存在与直线l垂直，故B错误； 对于C，过l的平面可能与相交，故C错误； 对于D，由B分析，可在平面内做无数条与直线l垂直的直线，故D正确. 故选：D 【变式2】如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱，上，，，点F满足，若平面ACF，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在上取一点使得，连接， 与交于一点，即为所求（如图所示）.    证明如下： 根据已知，， 在直三棱柱中，，且， 四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，即平面. 又，， ，即的值为. 故选：A. 【变式3】如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，在平面内，作，与DE交于点，连接CF，则，所以共面，因为∥平面CDE，由线面平行的性质知，所以MFCN是平行四边形，所以. 又是的中点，所以MF是梯形的中位线， 设，则，即， 所以，所以. 故选：B. 【变式4】如图，在四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为平面，平面，平面平面， 所以. 故选：B. 【变式5】如图，四棱锥的底面为正方形.设平面与平面的交线为. 证明：. 【答案】证明见解析 【详解】因为为正方形，∴ ， 又∵ 平面，平面. ∴平面， 又 ∵平面，平面平面， ∴. 题型04 面面平行的判定定理 【典例4】如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)平面与侧棱相交于点，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)2 【详解】（1）连接， 在中，，，且， 又，，且， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. （2）由（1）得，又平面，平面， 平面， 在中，，， 又平面，平面，平面， 又因且均在平面中， 平面平面. （3）由（1）知，又面，面，平面， 又平面，面面， ，又，，．    【变式1】若，表示两条直线，，，表示三个不重合的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，，则，或与相交，故A错误； 对于B，若，，，则，或与为异面直线，故B错误； 对于C，若，，，则，或与相交，故C错误； 对于D，由可得，因为，所以， 又因为，根据线面平行的性质定理可得，故D正确. 故选：D. 【变式2】已知平面，和直线，若，，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若“，”，则，可能相交，故“”不一定成立； 若“”，则由面面平行的性质可得“，”， 故“，”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式3】如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由，分别为，的中点，得， 而，，则，四边形为平行四边形， 因此，而平面，平面，所以平面． （2）由是中点，而为中点，则， 又平面，平面，于是平面， 由（1）知，，而平面，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面． 【变式4】如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题. (1)求证：平面平面ABC. (2)求四面体ACMN的体积. (3)若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2). (3)存在，，证明见解析 【详解】（1）证明：因为M，N分别是OB，OC的中点，所以， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，同理得平面ABC， 又平面PMN，平面PMN，， 所以平面平面ABC. （2）如图所示： 设圆锥的底面圆半径为r，则，解得. 所以在图中，B，C为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以为等边三角形，所以，所以. ，圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体ACMN的体积为. （3）如图所示： 在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC， 理由如下： 取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF， 所以，. 取CB的四等分点G，使，连接GE，FG. 因为，所以，， 所以，，所以四边形DFGE是平行四边形， 所以，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC. 题型05 面面平行的性质定理 【典例5】如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】延长交于点，连接， 则∽， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，又四边形为平行四边形， 所以∽，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：B 【变式1】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，若则由面面平行的性质可得A正确； 对于B，若则或者异面，故B错误； 对于C，若则或，故C错误； 对于D，若则或异面，故D错误. 故选：A 【变式2】如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 延长，连接， 由四边形为平行四边形可知， 则，即， 又平面平面，且平面平面， 平面平面，则， 又，所以， 由四棱柱可知，， 即，， 又，， 故选：A. 【变式3】已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 【答案】D 【详解】∵平面∥平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ∴:， 又，∴， ∴:. 故选：D 【变式4】已知平面平面平面，两条直线分别与平面相交于点和，若，则 . 【答案】15 【详解】如图，连接与平面交于点，连接， 因为，且平面平面，平面平面， 所以所以， 同理可得，所以， ，由，得， 又， . 故答案为：. 【变式5】如图，三棱柱中，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若点在线段上，且平面，求证：点为中点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1） 证明：取的中点，连接，在三棱柱中， 因为分别为的中点，则，且，为的中点， 则，且，则且， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面. （2） 证明：分别取的中点，连接， 设，则，且， 则则四点共面， 因为，又平面，平面 则平面，又平面，平面， 则平面，又， 则平面平面，又平面， 则平面，又平面平面， 平面平面，则， 又为的中点，则为的中点. 1.（多选）下列命题错误的是（   ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．四边形可以确定一个平面 C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 【答案】BC 【详解】A选项正确，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，因为他们构成一个三角形， 而三角形唯一确定一个平面； B选项不正确，因为四边形包括空间四边形，此类四过形不能确定一个平面； C选项不正确，经过同一直线上的3个点的平面有无数个，因为直线可以位于无数个平面； D选项正确，经过两条平行直线，有且只有一个平面. 故选：BC. 2．（多选）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若直线，则直线与能确定一个平面 C．三点确定一个平面 D．若且，则 【答案】ABD 【详解】点是两平面的公共点，当然在交线上，故A正确； 两条相交直线确定一个平面，故B正确； 只有不共线的三点才能确定一个平面，故C错误； 直线上有两点在一个平面内，则这条直线在平面内，故D正确． 故选：ABD. 3.如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    连接 交 于 ，连接 ， 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ，所以 . 又 ， 为 的中点， 所以 ， 所以 . 故选：D. 4.如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上均有可能 【答案】B 【详解】直线平面，平面，平面平面， 所以. 故选：B 5.如图所示，，，，分别是正方体和正四面体所在棱的中点，则这四个点共面的图形是 ．（填序号）    【答案】①②③ 【详解】图①中，连接，    易知①中四边形为梯形，故①共面； 图②中，可补齐为正六边形．    故②共面； 图③中，连接， 因为为中点，故且， 因为为中点，故且， 所以且，    所以四边形为平行四边形，故共面； 在图④中，因为为中点，故， 因为面，面，故面， 因此，，，四点不共面．    故答案为：①②③ 6.如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心.求证：平面 【答案】证明见解析 【详解】连接交于点，由重心性质可得是的中点， 又点是的中点，点在线段上且，可知是的重心； 连接，可知点在上，如下图所示： 由重心性质可得，，所以； 又平面，平面， 所以平面 7.如图所示，在正方体中，、分别是、的中点.求证： (1)四边形是梯形； (2)、、三线共点； (3)直线和直线是异面直线. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以，且, 由正方体性质可得，所以四边形是平行四边形， 所以，因此，但, 可知四边形是梯形； （2）分别延长交于点，如下图所示： 因为平面，所以平面； 又因为是的中点，所以，所以是的中点， 连接， 又，所以与的交点即为线段的中点，即为； 所以可得、、三线共点； （3）假设直线和直线不是异面直线，则存在一个平面，使得； 易知，，因此， 又因为平面，且平面， 所以，在正方形中，显然不成立，故矛盾，假设不成立； 即直线和直线是异面直线. 8.如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为面，面， 所以面， 因为E在棱PD上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 9.在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面． (1)证明：； (2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，证明见解析. 【详解】（1）由四边形为菱形，得， 又平面，平面PCD，则平面， 又平面，平面平面，则，所以． （2）存在．当F是PC的中点时，平面， 如图，取PE的中点M，连接FM，得，又平面，平面，于是平面， 由M为PE的中点，，得，E是MD的中点， 连接BM，BD，设，由四边形是菱形，得O为BD的中点， 则，又平面，平面，于是平面， 又，平面，则平面平面， 又平面，所以平面. 10.如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是棱上的一个动点，为的中点，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求证：平面； (3)若，为的重心，证明平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由已知四边形为菱形，又为的中点，所以为的中点， 又为的中点，所以，又平面，平面， 所以平面.    （2）过作交于，连接，. 因为，平面，平面，所以平面， 因为底面是菱形，是的中点，又因为为的中点，所以为的中点， 因为，，所以为的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. （3）连接，并延长，交于点，连接， 因为为的重心，所以为中点，且. 又，所以. 所以，所以，又平面，平面， 所以平面. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 平行关系 课程标准 学习目标 ①点、线、面位置关系的定义 ②基本事实和定理 ③平行关系 1. 理解点、线、面位置关系。 2. 理解掌握基本事实和定理。 3. 能够用直线与平面、平面与平面判定定理和性质定理进行证明。 知识点01 点、线、面位置关系 1.平面的基本性质 （1）基本事实1 ①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面； ②图形语言： （2）基本事实2 ①如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内； ②符号语言和图形语言 符号语言：，，且， （3）基本事实3 ①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ②符号语言和图形语言 ，且 2.基本事实1和基本事实2的三个推论 （1）推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 （2）推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面 （3）推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面 3.异面直线 （1）异面直线的概念 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 （2）异面直线的画法 画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托 4.直线与平面的位置关系 位置关系 直线在平面内 直线在平面外 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点 有无数个公共点 只有1个公共点 没有公共点 符合表示 图形表示 5.平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 图形表示 知识点02 线面平行 1.直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号表述： 图形语言 直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题) 即 线线平行 线面平行 2.直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号表述：，， 简记：线线平行 线面平行 注意：①定理中三个条件缺一不可 ②简记：线面平行，则线线平行 ③定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据 ④定理的关键：寻找平面与平面的交线 知识点03 面面平行 1.两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。） （2）符号语言 （3）图形语言 （4）定理应用 线线平行面面平行 2.平面与平面平行的性质定理 （1）平面与平面平行的性质定理 两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. （2）符号语言 （3）图形语言 （4）定理应用 面面平行线线平行 题型01 点、线、面位置关系 【典例1】下列命题中正确的是（   ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中有三点共线，则此四点必共面 C．若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面 D．空间四边形中，，E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形为正方形 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个平面 B．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 C．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行 D．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 【变式2】每次停放自行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是（   ） A．两条直线确定一个平面 B．三点确定一个平面 C．不共线三点确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【变式3】已知平面平面，若是，之间的两个点，则（    ） A．过的平面一定与，都相交 B．过有且仅有一个平面与，都平行 C．过的平面不一定与，都平行 D．过可作无数个平面与，都平行 【变式4】下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③④ 题型02 直线平面平行判定定理 【典例2】在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．求证：平面． 【变式1】已知直线平面，则（    ） A．与内所有直线都平行 B．内不存在直线与垂直 C．过的平面与必平行 D．内有无数条直线与垂直 【变式2】已知平面，直线且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】已知直线m，n，平面，那么“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】如图甲，在梯形中，，分别为的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论是 . ①平面；②平面；③平面. 【变式5】已知棱长为的正方体中，分别是的中点.    (1)求证：平面； (2)过三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长. 【变式6】如图，在三棱柱中，侧面为菱形，侧面为正方形.点为的中点，点为AB的中点.证明：平面.    【变式7】如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点 (1)求证：平面； (2)求证：、、、四点共面； 题型03 直线与平面平行的性质定理 【典例3】一正三棱台木块如图所示，已知，，点在平面内且为的重心. (1)证明：平面； (2)设平面平面，试判断直线与的位置关系，并给出证明； (3)在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线平面?若存在，说明点的轨迹，并进行证明；若不存在，说明理由. 【变式1】已知直线平面，则（    ） A．与内所有直线都平行 B．内不存在直线与垂直 C．过的平面与必平行 D．内有无数条直线与垂直 【变式2】如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱，上，，，点F满足，若平面ACF，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【变式3】如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（   ）    A． B． C． D． 【变式4】如图，在四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则（    ） A． B． C． D． 【变式5】如图，四棱锥的底面为正方形.设平面与平面的交线为. 证明：. 题型04 面面平行的判定定理 【典例4】如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)平面与侧棱相交于点，求的值． 【变式1】若，表示两条直线，，，表示三个不重合的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【变式2】已知平面，和直线，若，，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【变式4】如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题. (1)求证：平面平面ABC. (2)求四面体ACMN的体积. (3)若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由 题型05 面面平行的性质定理 【典例5】如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 【变式4】已知平面平面平面，两条直线分别与平面相交于点和，若，则 . 【变式5】如图，三棱柱中，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若点在线段上，且平面，求证：点为中点. 1.（多选）下列命题错误的是（   ） A．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B．四边形可以确定一个平面 C．经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 2．（多选）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若直线，则直线与能确定一个平面 C．三点确定一个平面 D．若且，则 3.如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 4.如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上均有可能 5.如图所示，，，，分别是正方体和正四面体所在棱的中点，则这四个点共面的图形是 ．（填序号）    6.如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心.求证：平面 7.如图所示，在正方体中，、分别是、的中点.求证： (1)四边形是梯形； (2)、、三线共点； (3)直线和直线是异面直线. 8.如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 9.在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面． (1)证明：； (2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论． 10.如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是棱上的一个动点，为的中点，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求证：平面； (3)若，为的重心，证明平面. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$