第01讲 三角恒等变换（3知识5题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

第01讲 三角恒等变换 课程标准 学习目标 ①同角的三角函数关系式 ②两角和差的公式 ③二倍角公式和半角公式 1. 理解同角的三角函数关系的相互推导。 2. 熟练掌握两角和、差公式的应用。 3. 能够根据两角和、差公式，计算各种角的化简运算。 知识点01 同角的三角函数关系 1.平方关系：sin2α＋cos2α＝1 2.商数关系：＝tanα 3.同角三角函数的基本关系式的变形形式及常用结论 ①平方关系变形及常用结论 sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα， (sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα. ②商的变形 sinα＝tanαcosα，cosα＝. 知识点02 两角和、差公式 1.两角差的余弦公式：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 2.两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ 3.两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ 4.两角差的正弦公式：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ 5.两角和的正切公式：tan(α＋β)＝ 6.两角差的正切公式：tan(α－β)＝ 知识点03 二倍角公式 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α－sin2α tan2α＝ 2.二倍角公式的变形 (1) (2)sinαcosα＝sin2α，cosα＝. (3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2. 3.万能公式 用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下： (1)sin2α＝2sinαcosα＝＝，即sin2α＝. (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，即cos2α＝. 题型01 同角的三角函数关系式 【典例1】已知． (1)求的值； (2)求的值． 【变式1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，那么（   ）. A． B． C． D． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，角的终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式4】已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 题型02 同角的三角函数和、差积的关系式 【典例2】（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，且，则 ． 【变式2】若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知，则下列选项中正确的有（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知，则的值等于 ． 题型03 两角的和、差公式 【典例3】已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知角θ与角α的终边关于y轴对称， 且， 则（    ） A．3 B． C． D． 【变式2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知锐角满足，则等于（    ） A． B．或 C． D． 【变式4】下列等式成立的为（    ） A． B． C． D． 题型04 二倍角的公式 【典例4】已知的值，则关于和的值，下列说法中正确的是（   ） A．的值和的值均唯一确定 B．的值唯一确定，但的值可能不唯一 C．的值唯一确定，但的值可能不唯一 D．的值和的值均可能不唯一 【变式1】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D．-1 【变式3】化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5】“”是“”成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式6】（多选）下列各式的值为1的是（   ） A． B． C． D． 题型05 凑配角 【典例5】已知为锐角，为钝角，且，． (1)求的值； (2)求的值． 【典例6】已知，则的值为 ． 【变式1】已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，且，则 ． 【变式3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知，，其中． (1)求和的值； (2)求的值 1.已知，则（   ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 3．对于角θ，当分式有意义时，该分式一定等于下列选项中的哪一个式子（    ） A． B． C． D． 4．若，则（   ） A． B． C． D． 5.若，则（    ） A． B． C． D． 6.已知，，， （    ） A． B． C． D． 7.（多选）下列各式中，化简结果为的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）下列四个等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 9.（1） ； （2） ． 10.已知，且. (1)求； (2)若，且，求. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 三角恒等变换 课程标准 学习目标 ①同角的三角函数关系式 ②两角和差的公式 ③二倍角公式和半角公式 1. 理解同角的三角函数关系的相互推导。 2. 熟练掌握两角和、差公式的应用。 3. 能够根据两角和、差公式，计算各种角的化简运算。 知识点01 同角的三角函数关系 1.平方关系：sin2α＋cos2α＝1 2.商数关系：＝tanα 3.同角三角函数的基本关系式的变形形式及常用结论 ①平方关系变形及常用结论 sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα， (sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα. ②商的变形 sinα＝tanαcosα，cosα＝. 知识点02 两角和、差公式 1.两角差的余弦公式：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 2.两角和的余弦公式：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ 3.两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ 4.两角差的正弦公式：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ 5.两角和的正切公式：tan(α＋β)＝ 6.两角差的正切公式：tan(α－β)＝ 知识点03 二倍角公式 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α－sin2α tan2α＝ 2.二倍角公式的变形 (1) (2)sinαcosα＝sin2α，cosα＝. (3)1±sin2α＝(sinα±cosα)2. 3.万能公式 用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下： (1)sin2α＝2sinαcosα＝＝，即sin2α＝. (2)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，即cos2α＝. 题型01 同角的三角函数关系式 【典例1】已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得； （2） ． 【变式1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，故， ， 故选：D 【变式2】已知，那么（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，解得. 故选：B. 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，角的终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）由已知，角的终边与单位圆交于，且的纵坐标为， ，又是第一象限角，， ． 的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为， ，又是第二象限角，， ． （2）由（1），， ， ． 【变式4】已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】（1）由，为第三象限角， 则. （2）由，为第三象限角， 则. （3）由，则， 因为，则，即， 则， 又为第三象限角，所以， 则. 题型02 同角的三角函数和、差积的关系式 【典例2】（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由，则， 即， 因为，所以，则， 所以， 则，故D正确； 由，解得，，故AC错误； 则，故B正确. 故选：BD. 【变式1】已知，且，则 ． 【答案】 【详解】由题可知，两边平方可得：，解得， 又，故，则； 故为方程的两根，则，解得或，则. 故答案为：. 【变式2】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由两边取平方，可得，解得， 则. 故选：B. 【变式3】（多选）已知，则下列选项中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】将两边同时平方，整理得， 所以．故D正确． 又，所以， 所以由解得故C正确， 所以，故A，B错误． 故选：CD. 【变式4】已知，则的值等于 ． 【答案】 【详解】  ，， 即．把两边平方，得， 即，，即． 联立，解得 ． 故答案为： 题型03 两角的和、差公式 【典例3】已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，知，故，从而. 所以. 故选：D. 【变式1】已知角θ与角α的终边关于y轴对称， 且， 则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】由角θ与角α的终边关于y轴对称， 且，可知， 而， 故选：D. 【变式2】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以，， 则. 故选：A. 【变式3】已知锐角满足，则等于（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】因为满足， 所以，. 由此可得. 又因为，所以， 故选：C. 【变式4】下列等式成立的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项：，A错误； B选项：，B错误； C选项：，C正确； D选项： ，D错误. 故选：C. 题型04 二倍角的公式 【典例4】已知的值，则关于和的值，下列说法中正确的是（   ） A．的值和的值均唯一确定 B．的值唯一确定，但的值可能不唯一 C．的值唯一确定，但的值可能不唯一 D．的值和的值均可能不唯一 【答案】C 【详解】注意到， ，则的值唯一确定，但的值可能不唯一. 故选：C 【变式1】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，即，解得， 所以. 故选：A. 【变式2】已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D．-1 【答案】C 【详解】因为为锐角，， 所以，得， 所以． 故选：C 【变式3】化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 故选：B． 【变式4】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 故选：C 【变式5】“”是“”成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】因为， 所以“”推得出“”故充分性成立； 由，当，即，则，， 此时，，则，此时无意义，故必要性不成立； 所以“”是“”成立的充分不必要. 故选：A 【变式6】（多选）下列各式的值为1的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C： ，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：BC 题型05 凑配角 【典例5】已知为锐角，为钝角，且，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为锐角，，所以，所以， （2）因为为锐角，，由， 可得， 所以． ， 又因为，所以，而， 可得，所以． 【典例6】已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为， 则． 故答案为：. 【变式1】已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为锐角，，所以， 联立，解得， 因为，所以， 所以 . 故选：A 【变式2】已知，且，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 可知， 且由二倍角公式得， 解得，则， 可得， 所以． 故答案为： 【变式3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， 故选：A. 【变式4】已知，，其中． (1)求和的值； (2)求的值 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，所以，即， 平方得，所以， 则 又，所以，则， 所以， 故； （2）因为，所以， 由于，所以， 由知：，因为， 则， 所以 ． 1.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，则. 故选：D. 2．若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】，结合诱导公式可得原式． 故选：C 3．对于角θ，当分式有意义时，该分式一定等于下列选项中的哪一个式子（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知， ∵，∴A不符合题意； ∵，∴B不符合题意； ∵，∴C不符合题意； ∵，∴D符合题意． 故选：D． 4．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，解得. 故选：B 5.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 故选：A. 6.已知，，， （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 即，则， 因，则，化简得， 即，即， 因，，则，， 故或，即（舍）或， 则 故选：B 7.（多选）下列各式中，化简结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：因为， 所以，故C正确； 对于D： ，故D正确. 故选：ACD 8．（多选）下列四个等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，A正确； ，В错误； ，故С正确； ，D正确， 故选：ACD. 9.（1） ； （2） ． 【答案】 4 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 故答案为：4， 10.已知，且. (1)求； (2)若，且，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，且， 所以，解得：或， 因为，所以. （2）因为，所以， 又因为， 所以. 因为，，， 所以，所以. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$