2025年上海市中考预测模拟数学试题

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2025年上海市中考预测模拟数学试题 基础版 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若实数、互为相反数，那么下列算式中恒成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：实数、互为相反数， ， 选项恒成立，、、不一定成立． 故选：． 根据互为相反数的两个数的和为进行判断即可． 本题考查了相反数，实数的性质，熟练掌握相关定义是解题的关键． 2.函数中，自变量的取值范围是(    ) A. B. C. D. 为任意实数 【答案】B  【解析】解：函数中， 所以， 故选：． 根据二次根式的性质，被开方数大于或等于，可以求出的范围． 本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 3.某餐饮公司为一所学校提供午餐，有元、元、元三种价格的盒饭供师生选择，每人选一份，该校师生某一天购买的这三种价格盒饭数依次占、、，那么这一天该校师生购买盒饭费用的平均数和中位数分别是(    ) A. 元、元 B. 元、元 C. 元、元 D. 元、元 【答案】A  【解析】解：这一天该校师生购买盒饭费用的平均数是：元； 某一天购买的这三种价格盒饭数依次占、、， 中位数是和的平均数，则元； 故选：． 根据平均数的计算公式和该校师生某一天购买的这三种价格盒饭数所占的百分比，列式计算即可；根据中位数的定义先按从小到大的顺序排列起来，再找出最中间两个数的平均数即可． 此题考查了加权平均数和中位数，注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位． 4.现有五张纸片，这五张纸片上的几何图形分别是等边三角形、矩形、等腰梯形、正五边形、圆，从这五张纸片中任意抽取一张恰好是中心对称图形的概率是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好是中心对称图形的结果有：矩形、圆，共种， 从这五张纸片中任意抽取一张恰好是中心对称图形的概率是． 故选：． 由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好是中心对称图形的结果有种，利用概率公式可得答案． 本题考查列表法与树状图法、中心对称图形、概率公式，熟练掌握中心对称图形的定义、概率公式是解答本题的关键． 5.如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心为(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题的关键．根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可得对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，结合正方形网格的特征作图进行判断即可． 【解答】 解：如图，连接，，作线段的垂直平分线，作线段的垂直平分线，与相交于点，如图所示： 由图可知，旋转中心是点． 故选：． 6.在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的大致图象可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查的是一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质有关知识，先根据一次函数经过的象限判断的符号，再根据反比例函数的图象经过的象限，判断出的符号，看是否一致． 【解答】 解：A.一次函数的图象经过一、三、四象限，则，，， 反比例函数图象经过二、四象限，则，矛盾； B.一次函数的图象经过二、三、四象限，则，，， 反比例函数图象经过一、三象限，则，矛盾； C.一次函数的图象经过一、二、三象限，则，，， 反比例函数图象经过二、四象限，则，一致； D.一次函数的图象经过一、二、四象限，则，，， 反比例函数图象经过二、四象限，则，矛盾； 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.若，，则的值为______． 【答案】  【解析】解：， ． 又， ． 故答案为：． 先将可以改写成，再利用同底数幂乘法的逆运算求值． 本题主要考查了利用同底数幂乘法的逆运算求值的相关知识，熟练掌握整式的乘法的运算法则是解题的关键． 8.已知，那么 ______． 【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 将代入，根据负整数指数幂的运算法则求出对应函数值即可． 本题考查函数值、负整数指数幂，掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键． 9.在实数范围内分解因式： ______． 【答案】  【解析】解： 故答案为： 首先提取公因式，进而利用平方差公式进行分解即可． 此题主要考查了实属范围内分解因式，熟练利用平方差公式分解因式是解题关键． 10.方程的解是          ． 【答案】  【解析】 或 解得：或 当时，不成立，故舍去． 故答案为 11.世界上最大的沙漠撒哈拉沙漠，位于非洲北部，面积约万平方千米，该地区气候条件非常恶劣，是地球上最不适合生物生存的地方之一．数据万用科学记数法表示为________________． 【答案】  【解析】解：万． 故答案为：． 根据科学记数法的表示方法求解即可． 本题主要考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．解题关键是正确确定的值以及的值． 12.如果关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是______． 【答案】  【解析】解：方程有两个实数根， ， 解得：． 故答案为：． 若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围． 本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根． 13.点在线段上，设，那么用向量表示为______． 【答案】  【解析】解：点在线段上，设， ． 故答案为：． 根据计算即可． 本题主要考查了平面向量，属于基础题． 14.如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则到的距离是          结果保留根号． 【答案】  【解析】解：如图，作于， 由题意可得：，， 在中，，， ， 在中，， ， ． 15.虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒形管自动流动的过程．如图，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高设甲容器中的液面高为单位：，乙容器中的液面高为单位：，小明绘制了，关于虹吸时间单位：的函数图象，如图所示．当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，的值为          ． 【答案】    【解析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法求得，再利用甲容器向乙容器注水，始终有，求得，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：当时，， 开始时甲容器液面高， ， 又时，， 设， 将代入得，解得， ， 甲容器向乙容器注水，始终有， ， 甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，即， ， 解得， 故答案为：． 16.如图，在矩形中，在上取点，连接，在上取点，连接将沿翻折，使得点刚好落在边的处若，，，则的长是          ． 【答案】  【解析】解：连接，延长交于，如图： 将沿翻折，使得点刚好落在边的处， ，，，，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 连接，延长交于，由沿翻折，使得点刚好落在边的处，可得，，，，，可知，，即得，，根据，得是等腰直角三角形，故FG． 本题考查矩形中的翻折变换问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质． 17.如图，在边长为的正六边形中，为的中点，点为正六边形边上任意一点，以为半径的与以为半径的相交时，那么的半径的取值范围是______． 【答案】  【解析】解：延长、交于点，连接， 六边形是边长为的正六边形， ，， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， 如图，与相切，且在的外部， 为的中点， ， 的半径为， 的半径为， ， ， 如图，与相切，且在的内部，则， ， 与相交， ， 故答案为：． 延长、交于点，连接，由正六边形的性质得，，所以，因为，所以，，则是等边三角形，所以，求得，，当与相切，且在的外部，由的半径为，的半径为，得，求得，与相切，且在的内部，则，求得，所以当与相交时，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理、圆与圆的位置关系等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 18.如图，在中，，，是的中点，以点为圆心，作圆心角为的扇形，点恰好在上点，不与点重合，半径，分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为          ． 【答案】  【解析】解：连接，作于，于 在中，，， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 又点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， 同理， ， ， ， 四边形是矩形， ， 又， ． 在和中， ， ≌， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分先化简，再求值：，其中． 【答案】，．  【解析】解： ， 20.本小题分解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 【答案】，整数解是、．  【解析】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组的解集为， 解集表示在数轴上如下： 则其整数解是、． 21.本小题分在中，点是弧的中点，交弦于点，且是的中点． 求的度数； 延长交于点，联结，交于点，如果，求的长度． 【答案】；  ．  【解析】解：如图，连接， 点是弧的中点，且是的中点， ，， ， ， ； 如图，连接， 是的直径， ， ， ，， ， ，， ， 在中，， ． 根据垂径定理求出，，再解直角三角形求解即可； 根据圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质求出，，，，解直角三角形求解即可． 此题考查了垂径定理、圆周角定理等知识，熟练运用垂径定理、圆周角定理是解题的关键． 22.本小题分近年来，某校积极响应“全民阅读活动”，致力打造“书香校园”，每年划拨专项经费用于图书馆购置图书，确保图书种类齐全、数量充足该校年至年图书馆购进新书总支出如图所示： 该校图书馆年购进新书总支出比年提高了，年图书馆购进的图书中，社会科学类图书的支出占购进总支出的，那么年与年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为多少？ 为了更好地满足师生的阅读需求，该校经过问卷调查和借阅数据的综合分析，年新书购进计划在年基础上做如下调整：将自然科学类图书的购书金额提高，同时购书的数量增加册，这样调整后，自然科学类图书的每册均价可比年降低元，那么学校计划年购进自然科学类图书多少册？ 【答案】；   册．  【解析】解：年购进新书总支出是元， 年社会科学类图书的支出是元， 年社会科学类图书的支出是元， 年与年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为； 答：年与年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为； 设学校计划年购进自然科学类图书册，则年购进自然科学类图书册， 由题意得， 解得，， 经检验，，都是原分式方程的解，负值不合题意，舍去， ， 答：学校计划年购进自然科学类图书册． 23.本小题分如图，已知平行四边形中，点是对角线上一点，，延长交边于点． 求证：； 当时，求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析．  【解析】证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ； 证明：，， ∽， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 证明∽，得出，则可得出结论； 证明∽，得出，则，证出，则可得出结论． 24.本小题分如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点在左侧，与轴交于点，顶点为． 求抛物线的表达式； 如图，点是抛物线上一点，在直线下方的抛物线上有一动点，连接，，求的面积最大值与此时点的横坐标； 如图，若点是抛物线对称轴上的一个动点，且在点的上方，将点绕点逆时针旋转得到对应点，直线交抛物线于点点与点不重合随着点的运动，判断点的坐标是否可求？如能，直接写出点的坐标；如不能，说明理由． 【答案】解：抛物线的顶点为， 可设表达式为， 将点代入， 得， 解得， ， 抛物线的解析式为． 作轴交于． 由，， 设直线表达式为：， 将，的坐标代入，得 解得 直线表达式为： 设点的坐标为，点的坐标为， 当时， 此时点的横坐标为． 点的坐标为．  【解答】 见答案； 解：能求出点的坐标，理由： 设点，如图， 点在点的上方， 过点作轴的平行线交轴于点，交过点与轴的平行线于点， ，， ， ，，    ， ，， 点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立得：． 解得：，不合题意，舍去， 即点． 25.本小题分 如图，在中，，，，点为边上的一个动点点不与点重合，过作，垂足为，点在边上，且与点关于直线对称，连接，． 求证：∽； 若平分，求线段的长； 当为等腰三角形时，求线段的长． 【答案】证明：， ， ， 又， ∽； 解：， ， 平分，，， ， 在和中， ， ≌， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 的长为； 解：点与点关于直线对称， ，，， 为锐角， 也为锐角， 为钝角， 当为等腰三角形时，， ∽， ， 设， 则，， ， ， 解得：， ．  第18页，共18页 第17页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2025年上海市中考预测模拟数学试题 基础版 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若实数、互为相反数，那么下列算式中恒成立的是(    ) A. B. C. D. 2.函数中，自变量的取值范围是(    ) A. B. C. D. 为任意实数 3.某餐饮公司为一所学校提供午餐，有元、元、元三种价格的盒饭供师生选择，每人选一份，该校师生某一天购买的这三种价格盒饭数依次占、、，那么这一天该校师生购买盒饭费用的平均数和中位数分别是(    ) A. 元、元 B. 元、元 C. 元、元 D. 元、元 4.现有五张纸片，这五张纸片上的几何图形分别是等边三角形、矩形、等腰梯形、正五边形、圆，从这五张纸片中任意抽取一张恰好是中心对称图形的概率是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心为(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6.在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的大致图象可以是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.若，，则的值为______． 8.已知，那么 ______． 9.在实数范围内分解因式： ______． 10.方程的解是          ． 11.世界上最大的沙漠撒哈拉沙漠，位于非洲北部，面积约万平方千米，该地区气候条件非常恶劣，是地球上最不适合生物生存的地方之一．数据万用科学记数法表示为________________． 12.如果关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是______． 13.点在线段上，设，那么用向量表示为______． 14.如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则到的距离是          结果保留根号． 15.虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒形管自动流动的过程．如图，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高设甲容器中的液面高为单位：，乙容器中的液面高为单位：，小明绘制了，关于虹吸时间单位：的函数图象，如图所示．当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，的值为          ． 16.如图，在矩形中，在上取点，连接，在上取点，连接将沿翻折，使得点刚好落在边的处若，，，则的长是          ． 17.如图，在边长为的正六边形中，为的中点，点为正六边形边上任意一点，以为半径的与以为半径的相交时，那么的半径的取值范围是______． 18.如图，在中，，，是的中点，以点为圆心，作圆心角为的扇形，点恰好在上点，不与点重合，半径，分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为          ． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分先化简，再求值：，其中． 20.本小题分解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 21.本小题分在中，点是弧的中点，交弦于点，且是的中点． 求的度数； 延长交于点，联结，交于点，如果，求的长度． 22.本小题分近年来，某校积极响应“全民阅读活动”，致力打造“书香校园”，每年划拨专项经费用于图书馆购置图书，确保图书种类齐全、数量充足该校年至年图书馆购进新书总支出如图所示： 该校图书馆年购进新书总支出比年提高了，年图书馆购进的图书中，社会科学类图书的支出占购进总支出的，那么年与年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为多少？ 为了更好地满足师生的阅读需求，该校经过问卷调查和借阅数据的综合分析，年新书购进计划在年基础上做如下调整：将自然科学类图书的购书金额提高，同时购书的数量增加册，这样调整后，自然科学类图书的每册均价可比年降低元，那么学校计划年购进自然科学类图书多少册？ 23.本小题分如图，已知平行四边形中，点是对角线上一点，，延长交边于点． 求证：； 当时，求证：四边形是菱形． 24.本小题分如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点在左侧，与轴交于点，顶点为． 求抛物线的表达式； 如图，点是抛物线上一点，在直线下方的抛物线上有一动点，连接，，求的面积最大值与此时点的横坐标； 如图，若点是抛物线对称轴上的一个动点，且在点的上方，将点绕点逆时针旋转得到对应点，直线交抛物线于点点与点不重合随着点的运动，判断点的坐标是否可求？如能，直接写出点的坐标；如不能，说明理由． 25.本小题分如图，在中，，，，点为边上的一个动点点不与点重合，过作，垂足为，点在边上，且与点关于直线对称，连接，． 求证：∽； 若平分，求线段的长； 当为等腰三角形时，求线段的长． 第2页，共3页 第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2025年上海市中考预测模拟数学试题 基础版 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若实数、互为相反数，那么下列算式中恒成立的是(    ) A. B. C. D. 2.函数中，自变量的取值范围是(    ) A. B. C. D. 为任意实数 3.某餐饮公司为一所学校提供午餐，有元、元、元三种价格的盒饭供师生选择，每人选一份，该校师生某一天购买的这三种价格盒饭数依次占、、，那么这一天该校师生购买盒饭费用的平均数和中位数分别是(    ) A. 元、元 B. 元、元 C. 元、元 D. 元、元 4.现有五张纸片，这五张纸片上的几何图形分别是等边三角形、矩形、等腰梯形、正五边形、圆，从这五张纸片中任意抽取一张恰好是中心对称图形的概率是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心为(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6.在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的大致图象可以是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.若，，则的值为______． 8.已知，那么 ______． 9.在实数范围内分解因式： ______． 10.方程的解是          ． 11.世界上最大的沙漠撒哈拉沙漠，位于非洲北部，面积约万平方千米，该地区气候条件非常恶劣，是地球上最不适合生物生存的地方之一．数据万用科学记数法表示为________________． 12.如果关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是______． 13.点在线段上，设，那么用向量表示为______． 14.如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则到的距离是          结果保留根号． 15.虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒形管自动流动的过程．如图，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高设甲容器中的液面高为单位：，乙容器中的液面高为单位：，小明绘制了，关于虹吸时间单位：的函数图象，如图所示．当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，的值为          ． 16.如图，在矩形中，在上取点，连接，在上取点，连接将沿翻折，使得点刚好落在边的处若，，，则的长是          ． 17.如图，在边长为的正六边形中，为的中点，点为正六边形边上任意一点，以为半径的与以为半径的相交时，那么的半径的取值范围是______． 18.如图，在中，，，是的中点，以点为圆心，作圆心角为的扇形，点恰好在上点，不与点重合，半径，分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为          ． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分先化简，再求值：，其中． 20.本小题分解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 21.本小题分在中，点是弧的中点，交弦于点，且是的中点． 求的度数； 延长交于点，联结，交于点，如果，求的长度． 22.本小题分近年来，某校积极响应“全民阅读活动”，致力打造“书香校园”，每年划拨专项经费用于图书馆购置图书，确保图书种类齐全、数量充足该校年至年图书馆购进新书总支出如图所示： 该校图书馆年购进新书总支出比年提高了，年图书馆购进的图书中，社会科学类图书的支出占购进总支出的，那么年与年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为多少？ 为了更好地满足师生的阅读需求，该校经过问卷调查和借阅数据的综合分析，年新书购进计划在年基础上做如下调整：将自然科学类图书的购书金额提高，同时购书的数量增加册，这样调整后，自然科学类图书的每册均价可比年降低元，那么学校计划年购进自然科学类图书多少册？ 23.本小题分如图，已知平行四边形中，点是对角线上一点，，延长交边于点． 求证：； 当时，求证：四边形是菱形． 24.本小题分如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点在左侧，与轴交于点，顶点为． 求抛物线的表达式； 如图，点是抛物线上一点，在直线下方的抛物线上有一动点，连接，，求的面积最大值与此时点的横坐标； 如图，若点是抛物线对称轴上的一个动点，且在点的上方，将点绕点逆时针旋转得到对应点，直线交抛物线于点点与点不重合随着点的运动，判断点的坐标是否可求？如能，直接写出点的坐标；如不能，说明理由． 25.本小题分如图，在中，，，，点为边上的一个动点点不与点重合，过作，垂足为，点在边上，且与点关于直线对称，连接，． 求证：∽； 若平分，求线段的长； 当为等腰三角形时，求线段的长． 第8页，共8页 第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$