湖南省衡阳市衡阳县2025年初中学业模拟考试数学试题卷

衡阳县2025年初中学业水平模拟考试 数 学（试题卷） 温馨提示： 1.本试卷包括试题卷和答题卡。考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在 本试题卷上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。 2.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考 证号、考室和座位号。 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 4.本试卷满分120分，考试时间120分钟。本试卷共三道大题，26个小题。如有缺页，考 生须声明。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上) 1,一2的相反数是 A.2 B.-2 c-号 D 2.某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示正确的是 A.2.1×10-6 B.21×10-6 C.2.1×10-5 D.21×10- 3.下列运算中，正确的是 A.√2+√5=√7 B.(-2a)3=-8a3C.a÷a'=a2 D.(a-1)2=a2-1 4.由4个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，这个几何体的主视图是 A B 正面 5.下列长度的三条线段，能组成三角形的是 A.1,3,4 B.2,2,7 C.4,5,7 D.3,3,6 6.下列命题中，正确的是 A.平行四边形的对角线互相平分 B.有一个角是直角的四边形是矩形 C.四条边相等的四边形是正方形 D.对角线相等的平行四边形是菱形 7.估计√10+1的值是 A.在2和3之间 B.在3和4之间 C.在4和5之间 D.在5和6之间 8.如图.PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点，连接AO,BO,若∠APB=70°，则∠AOB的度 数为 A.100 B.105 C.1209 D.110 9.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示 成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 人数 2 3 1 衡阳县2025年初中学业水平模拟考试·数学（试题卷） 这些运动员成绩的众数和中位数分别为 A.1.65米，1.70米B.1.50米，1.60米C.1.75米，1.65米D.1.65米，1.65米 10.如图是第七届国际数学教育大会(1CME-7)的会微，由其主体图案中相邻两个直角三角形组 合而成.作菱形CDEF.使点D,E.F分别在边OC,OB,BC上，过点E作EH⊥AB于点H, 若AB=BC,∠B0C=80则5积 A.1:2 B.2:3 C.1:3 D.4:9 ICME-7 B 图1 图2 第8题图 第10题图 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）】 11.分解因式：x2一4= 12.在平面直角坐标系中，点M(1,2)关于原点对称的点的坐标是 13.如果一次函数y=kx十3(k是常数，k≠0)的图象经过点(3,0)，那么y的值随x的增大而 (填“增大”或“减小”) 14.若关于x的方程x2+mx一6=0的一个根为1，则m= 15.通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某个 多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是 16.某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进 行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下： 使用寿命 x<1000 1000≤x<1600 1600≤x<2200 2200≤x<2800 x≥2800 灯泡只数 5 10 12 17 6 根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 只. 17.如图，直线4∥L2,点C,A分别在1,2上，以点C为圆心， B CA长为半径画弧，交L1于点B,连接AB.若∠BCA=150°， 则∠1的度数为 18.定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点 叫做这个函数图象的“近轴点”.若一次函数y=mx一3图象上存在“近轴点”，则m的取值 范围为 三、解答题（本大题共8个小题，第19一20题每题6分，第21一22题每题8分，第23一2题每 题9分，第25一26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程) 19.计算4sin60+(宁)'+-2引-V2. 2· 衡阳县2025年初中学业水平模拟考试·数学（试题卷） 20.先化简，再求值：(a+b)2+b(a-b)-4ab,其中a=2,b=- 2 21.某学校计划成立五个体育兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A.足球，B.引 体向上，C.篮球，D.排球，E.羽毛球.为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部 分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图： 人数人 100 90 80 0 70 60 50 40 40 ⊙ E 30 30 2 10% 10 0 CDE兴趣活动小组 根据图中信息，完成下列问题： (1)补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）： (2)扇形统计图中的圆心角a的度数为 (3)若该校有4800名学生，估计该校参加C组（篮球）的学生人数； (4)该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机 抽取两人去参加比赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的 概率 22.如图，在□ABCD中，点E,F分别在BC,AD上，BE=DF,AC=EF (1)求证：四边形AECF是矩形； (2)若AE=BE,AB=2,aB∠ACB=合，求BC的长. 23.2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符 号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意.某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每 件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉样物的销售单价为40元时，每天可销售280 件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件. (1)若“已升升”吉祥物的销售单价为45元，则当天销售量为 件； (2)当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元： (3)该吉祥物公仔的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若 不能，请说明理由。 衡阳县2025年初中学业水平模拟考试·数学（试题卷） 3 24.某校数学学习小组在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度.如图，塔AB前有一 座高为DE的观景台，已知CD=6m,∠DCE=30°，点E,C,A在同一条水平直线上.该学习 小组成员在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°.在观景台D处测得塔顶部B的仰角 为27° (1)求DE的长： B (2)求塔AB的高度.（参考数据：tan27°≈0.5， √3≈1.7.结果取整数) D 27 45 H 25.已知抛物线y=a(x-2)2+c经过点A(-2,0)和C(0,),与x轴交于另一点B,顶点 为D (1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； (2)如图，点E,F分别为线段AB,BD上的动点（点E不与A,B重合），且∠DEF=∠DAB. 线段BF的长度是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由： (③)若点P在抱箱线上，记二-，者满足条件的点P的个数有4个求m的取值范国 y↑ B\ 备用图 26.如图，点C在AB为直径的圆O上，连接AC,BC,∠ACB的平分线交AB于点E,交国O于 点P.G是BP上一点，且PG=BC,连接AG并延长交CB的延长线于点F,连接EG. (1)求证：AC=CF; (2)若BC=6,AC=8,求△AEG的面积； (3)设分S=x,lan∠AGE=y,求y关于x的函数表达式， ·4 衡阳县2025年初中学业水平模拟考试·数学（试题卷） 衡阳县2025年初中学业水平模拟考试·数学（参考答案） 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 3 4 5 6 8 9 10 答案 A A B B C A D D 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.(x+2)(x-2)12.(-1,-2)13.减小14.515.54016.46017.15°18.0<m≤ 2或-2<m<0 三、解答题（本大题共8个小题，第19一20题每题6分，第21一22题每题8分，第23一24题每 题9分，第25一26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程) 19.解：4sin60+(兮)'+1-21-V2 =4x9+3+2-2wg 4分 =5……… 6分 20.解：(a+b)2+b(a-b)-4ab =a2+2ab+b2+ab-b2-4ab =a2ab,… 4分 当a=2,6=-2时，原式=4+1=5. …… 6分 21.解：(1)由题意知，被调查的总人数为30÷10%=300（人）， 所以D组人数为300一(40+30+70+60)=100（人）， 补全条形图如下： ↑人数/人 100 100 90 70 70 60 2分 40 40 30 202 0 0 D E兴趣活动小组 (2)扇形统计图中的圆心角。的度数为360°×00 300 =120°. 故答案为120°. 4分 衡阳县2025年初中学业水平模拟考试·数学（参考答案） (3)4800×70=1120(人). 300 答：估计该校参加C组（篮球）的学生有1120人. 6分 (4)画树状图为 界男 男女女男女女男男女男男女 由树状图知，共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好描到一名男生一名女生的概率为侣-号 4…4…*……4………………”8分 22.解：(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD=BC,AD∥BC, 因为BE=DF, 所以AD-DF=BC-BE, 即AF=EC, 所以四边形AECF是平行四边形.…………………………2分 因为AC=EF, 所以平行四边形AECF是矩形.… 4分 (2)因为四边形AECF是矩形， 所以∠AEC=∠AEB=90°， 因为AE=BE,AB=2, 所以△ABE是等腰直角三角形， 所以AE=BE=竖AB=E, 6分 因为an∠ACB=瓷-， 所以EC=2AE=2√2， 所以BC=BE+EC=√2+2√2=3√E. 8分 23.解：(1)280-(45-40)×10=230（件）. 故答案为230。……… 3分 (2)设该吉祥物公仔的销售单价为x元(x>40),则当天的销售量为[280一(x一40)× 10]件， 依题意，得(x一30)[280一(x一40)×10]=2610，… 4分 整理，得x2一98x+2301=0, 解得x1=39(不合题意，舍去)，x2=59。……… 5分 答：当该吉祥物公仔的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元.…6分 ·2· 衡阳县2025年初中学业水平模拟考试·数学（参考答案） (3)不能，理由如下： 设该吉祥物公仔的销售单价为y元(y>40),则当天的销售量为[280一(y一40)×10]件， 依题意，得(y-30)汇280-(y-40)X10]=3700,…7分 整理，得y2一98y+2410=0. 因为△=(-98)2-4×1×2410=-36<0， 8分 所以该方程无实数根，即该吉祥物公仔的当天销售利润不能达到3700元.…9分 24.解：(1)由题意得，DE⊥EC, 在Rt△DEC中，CD=6m,∠DCE=30°， 所以DE=2CD=3m. ………………3分 (2)由题意得，BA⊥EA, 在Rt△DEC中，DE=3,∠DCE=30°，则CE=√3DE=3√3，… 4分 在Rt△ABC中，∠BCA=45°，设AB=h, 则AC-a日经-6， 所以AE=EC+AC=3√3+h. …5分 过点D作DF⊥AB,垂足为F,如图， 3、27 由题意得∠AED=∠FAE=∠DFA=90°， 人45 所以四边形DEAF是矩形， 所以DF=EA=33+h,DE=FA=3, 因为AB=h,所以BF=AB-AF=h-3. 在Rt△BDF中，tan∠BDF=tan27°=BE=h-3 DF h+33 ≈0.5， 所以h=3√3+6≈11. 答：塔AB的高度约为11m. 4*+…。。。9分 25.解：1)因为抛物线y=a(x-2+c经过点A(-2,0)和C0,号)， 0=aX(-2-2)2+c, 代人得 9 =a×(0-2)2+c, 1分 解得 a=一16 c=3, 所以抛物线的解析式为y=一是(x一2+3， 2分 所以顶点D的坐标为(2,3). ……3分 衡阳县2025年初中学业水平模拟考试·数学（参考答案） ·3 (2)因为抛物线的对称轴为直线x=2,A(一2,0)，顶点D(2,3), 所以B(6,0), 所以DA=DB=√4+3=5，∠DAB=∠DBA,AB=8, 因为∠DEF=∠DAB, 所以∠AED+∠DEF+∠BEF=180°=∠AED+∠DAB+∠ADE, 所以∠ADE=∠BEF, 又因为∠DAB=∠DBA, 所以△ADEO△BEF,…… 4分 所以怎-器。 设AE=,BF=,则号=8之： 所以y=-+号x=-号x-40+9 , 5分 因为0<x<8, 所以当x=4时，线段BF的长度取得最大值9 6分 (3)连接DB,CB,CD,作DH⊥AB于点H, (号+3)×2 4X3 6X9 9 S△CBD=S四边形DHD十S△DBH一S△GoB= 2 2 当点P在线段BD的右侧时，连接HP,DP,PB, 设点P(,-是a-2+3 又因为DH=3,BH=4, 所以5am=Samm+Samm-Sm=号×4X[-是n-2y2+3]+7×3X(m-2)-号× 4×3=- m-4+受， 当n=4时，△PBD的面积取得最大值 1 当点P在BD的右侧时，m的最大值= 要想使满足写品=m的点P有4个： 当点P在BD的左侧时，S△PD可为任何值，故必有2个点P能满足条件， 所以当点P在BD的右侧时，必有2个点P能满足条件，此时S6m<, 所以0<m<3 10分 衡阳县2025年初中学业水平模拟考试·数学（参考答案） 26.解：(1)证明：因为AB是⊙O的直径， 所以∠ACB=90°， 因为CP平分∠ACB, 所以∠PCA=∠PCB=2∠ACB=45', 所以∠PAB=∠PCB=45°， 因为PG=BC, 所以∠PAG=∠BAC, 所以∠PAG+∠BAG=∠BAC+∠BAG, 所以∠CAG=∠PAB=45°， 因为∠ACB=90°， 所以∠F=∠CAG=45°， 所以AC=CF. 3分 (2)如图1，连接PB,PG, 因为AB是⊙O的直径，AC=8,BC=6,∠PAB=45°， 0/E 所以∠ACB=∠APB=90°， 分 所以AB=10,AP=5√2， 因为CP平分∠ACB, P 图1 所以器C=专， 所以AE=号AB=9, 因为∠CAB=∠PAF,∠ACP=∠AGP, 以△PAG∽△EAC, 所以怨-是， 所以AG=7√2. 连接BG,记AG与CP交于点H, 因为AB是⊙O的直径， 以∠BGF=∠AGB=90°， BF=CF-BC=2,BG=√2， 因为∠EAH=∠BAG,∠AHC=∠AGB=90°， 所以△AEH∽△ABG, 所以荒-器， 衡阳县2025年初中学业水平模拟考试·数学（参考答案） ·5· 所以EH=号E, 所以Sm=合EH·AG=号×号EX7E=4 ，……………6分 (3)如图2，连接PB,PG,设AG与CP交于点H, 因为CP平分∠ACB, 所以AP=BP, 0/E B H 所以AP=BP G 因为AB是⊙O的直径， P 图2 所以∠APB=90°， 所以AB=√2AP, 因为能 x, 所以AP=BE·x, 所以能-A元E_-EABE_E-BE-.Er-1, BE BE BE APBE·x BE·x BE·x AEAB-BE√2AP-BE√2BE·x-BE√Ex-1 因为CP平分∠ACB, 所以品- =2x-1, 所以AC=(W2x-1)BC 不妨设BC=PG=2a,则PH=GH=√2a,AC=(√2x一1)·2a, 所以AH=CH-号AC=Ea·62x-1D=2-2a. 由(2)知△AECc∽△APG, 所以器-能， 所以器万x 所以CE=2.x-1)·2a 所以EH=CH-CE=(2x-2)a-2x-1）·24_2x-3yEx+2.a 2x2-32x+2.a 所以y=tan∠AGE= EH √2x2-3x+√2 GH ……10分 √2a ·6· 衡阳县2025年初中学业水平模拟考试·数学（参考答案）