专题05 概率（四大题型）（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题05 概率 题型概览 题型01互斥事件与对立事件 题型02古典概型及其概率计算 题型03独立事件的乘法公式 题型04独立事件的判断 ( 题型0 1 ) 互斥事件与对立事件 1．（23-24高一下·福建福州·期末）某小组有名男生和名女生，从中任选名学生参加比赛，事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生” （    ） A．是对立事件 B．都是不可能事件 C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件 2．（23-24高一下·福建三明·期末）从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取2个球，下列事件中与事件“至少有一个黄球”互为对立的是（    ） A．都是蓝球 B．都是黄球 C．恰有一个蓝球 D．至少有一个蓝球 3．（23-24高一下·福建南平·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“至多有一枚硬币正面朝上”，事件“两枚硬币正面均朝上”，事件“两枚硬币正面均朝下”，则（    ） A．A与C对立 B．B与C不互斥 C．A与B对立 D．B与C对立 4．（23-24高一下·福建福州·期末）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（    ） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 ( 题型02 ) 古典概型及其概率计算 5．（23-24高一下·福建福州·期末）已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·福建三明·期末）从长度为1，3，6，9，10的线段中任取一条，能与长度分别为7和8的两条线段构成锐角三角形的概率为 . 7．（23-24高一下·福建三明·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生吸烟情况，对随机抽出的500名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的生日公历月份是不是偶数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球，再放回摸出白球就如实回答问题1，摸出红球就如实回答问题2. 回答“是”的学生往盒子里放一个石头，回答“否”的学生什么也不做. 经统计，盒子中有140个石头，由此估计这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·福建莆田·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次的点数都是偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·福建福州·期末）如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，经过数字的事件概率记为，则 ； ． 10．（23-24高一下·福建漳州·期末）某校高一､高二､高三的学生志愿者人数分别为.按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心.从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． ( 题型03 ) 独立事件的乘法公式 11．（23-24高一下·福建福州·期末）甲、乙两人进行篮球比赛，若甲投中的概率为0.8，乙投不中的概率为0.1，且两人投篮互不影响，若两人各投篮一次，则两人中恰有一人投中的概率为 . 12．（23-24高一下·福建福州·期末）甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（    ） A．5 B． C． D． 13．（23-24高一下·福建龙岩·期末）设样本空间含有等可能的样本点，若事件A，B，C是的子集，且A，B，C两两独立，其中，，，，则 . 14．（23-24高一下·福建福州·期末）甲､乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则甲､乙两人一起破译这份密码，密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·福建泉州·期末）盒子中有4个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从盒子中有放回地随机两次摸出小球，每次摸出一个小球． (1)求两次摸到的小球数字之和为偶数的概率； (2)设事件“两次摸到的小球数字之和是质数”，事件“第1次摸到的小球数字为奇数”，事件“第2次摸到的小球数字为奇数”，求． 16．（23-24高一下·福建三明·期末）目前羽毛球混双世界排名第一，第三，第四分别是中国的“雅思组合，韩国的肉丁组合”，中国的“凤凰组合. 据统计，每场比赛雅思组合战胜肉丁组合的概率为 ，“凤凰组合”战胜肉丁组合的概率为，同一赛事的每场比赛结果互不影响.已知三个组合参加单循环赛（参加比赛的组合均能相遇一次），“雅思组合，“凤凰组合”同时战胜“肉丁组合”的概率为 ，有一个组合战胜“肉丁组合”的概率为 . (1)求 和 的值； (2)三个组合参加双循环赛（参加比赛的组合均能相遇两次），求雅思组合比“凤凰组合战胜肉丁组合的次数多的概率. ( 题型0 4 )独立事件的判断 17．（23-24高一下·福建厦门·期末）甲､乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲､乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲､乙两人恰有一人获奖的概率为（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 18．（23-24高一下·福建莆田·期末）如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则（    ）    A． B． C．事件与相互独立 D．事件与互斥 19．（23-24高一下·福建福州·期末）若 为两个随机事件，且，则（    ） A．当 时， B．当A和互斥时， C．当A和独立时， D．当A和独立时， 一、单选题 1．（23-24高一下·福建·期末）从1，3，5，7这4个数中随机取出2个不同的数，则的概率为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·福建宁德·期末）根据某地天气预报，在今后的三天中，每天下雨的概率均为20%．利用计算机产生1到5之间整数值的随机数，当出现随机数1时，表示下雨，当出现随机数2，3，4，5时，表示不下雨，产生20组随机数： 435  451  132  533  224  344  151  231  424  142 412  414  335  312  123  233  314  254  353  442 据此估计这三天中至少有1天下雨的概率为（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.55 D．0.6 3．（23-24高一下·福建龙岩·期末）某人有3把钥匙，其中只有1把能打开门，若随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，则第二次才能打开门的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·福建宁德·期末）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在余下的两局比赛中再赢一局就获得冠军，若余下比赛中甲队每局获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·福建宁德·期末）把红、蓝、黑、白张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁个人，每人分得张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ） A．对立 B．相等 C．相互独立 D．互斥但不对立 二、多选题 6．（23-24高一下·福建福州·期末）下列描述正确的是 （   ） A．若，，，则事件 与 相互独立 B．与 是互斥事件”是“ 与 互为对立事件”的充分不必要条件 C．掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”不是互斥事件 D．一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球，第二次取到红球的概率是 三、解答题 7．（23-24高一下·福建福州·期末）目前低碳的生活理念流行，越来越多的年轻人加入自行车骑游行列.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费元（不足一小时的部分按一小时计算）.有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过小时还车的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (3)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率 8．（23-24高一下·福建厦门·期末）甲每次投篮投进的概率是0.7．连续投篮三次，每次投篮结果互不影响．记事件为“甲至少投进两球” (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点．用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”．以每3个随机数为一组，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数：062 049 228 933 11774 732 783 078 276 ，利用该模拟试验，估计事件的概率，并判断事件的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由． 9．（23-24高一下·福建厦门·期末）甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球 (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一纽，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 10．（23-24高一下·福建福州·期末）小明从一幅扑克牌中挑出和共8张牌（和各四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））.现从这张牌中依次取出张，抽到一张红色和一张红色即为游戏获胜.现有三种游戏方式，如下表： 游戏方式 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按颜色等比例分层抽样 获胜概率 (1)分别求出在三种不同游戏方式下获胜的概率； (2)若三种游戏方式小明各进行一次，第一次采取方式①，后两次采用方式②和方式③，那么方式②和方式③按照怎样的顺序进行游戏能使得三次游戏中仅连续两次获胜的概率最大？ 11．（23-24高一下·福建漳州·期末）孟德尔在观察踠豆杂交时发现了以下规律：㱧豆的各种性状是由其遗传因子决定的.以子叶颜色为例，踠豆的子叶分黄､绿两种颜色，其中黄色为显性性状，绿色为隐性性状.我们用表示子叶为黄色的踠豆的遗传因子对，用表示子叶为绿色的踠豆的遗传因子对.当这两种踠豆杂交时，父本的其中一个遗传因子与母本的其中一个遗传因子等概率随机组合，子一代的遗传因子对全部为，如下图所示，其中为显性遗传因子，为隐性遗传因子.当生物的遗传因子对中含有显性遗传因子时呈现显性性状，否则呈现隐性性状.例如：均指示黄色子叶，指示绿色子叶.我们称以上定律为孟德尔定律.已知人的单､双眼皮性状服从孟德尔定律，其中双眼皮是显性性状，记其遗传因子对为或；单眼皮是隐性性状，记其遗传因子对为.若仅考虑眼皮性状，已知甲的母亲､父亲､伯父､姑父､姑母的遗传因子对均为，伯母为单眼皮. (1)求甲和堂弟都是单眼皮的概率； (2)求甲和堂弟､表妹三人中至少两人为单眼皮的概率. 12．（23-24高一下·福建南平·期末）现有3个北方城市，，和3个南方城市，，，旅游爱好者甲计划从中任选2个城市旅游． (1)求甲选择的2个城市均是北方城市的概率； (2)若旅游爱好者乙也计划从这6个城市中选2个旅游，由于个人爱好，乙选择的2个城市均是北方城市的概率为，且甲、乙两人的选择互不影响，求甲、乙两人中至少有一人的选择为2个北方城市的概率． 13．（23-24高一下·福建龙岩·期末）如图，在一条无限长的轨道上，一个质点最初位于位置0，规定：每次投掷一枚质地均匀的硬币，若正面向上，则质点向右移动一个单位，若反面向上，则质点向左移动一个单位，设投掷n次硬币后，质点位于位置. (1)请直接写出和的数值； (2)求； (3)用a表示质点向右移动一个单位，用b表示质点向左移动一个单位，请写出投掷4次硬币的样本空间，并证明：. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 概率 题型概览 题型01互斥事件与对立事件 题型02古典概型及其概率计算 题型03独立事件的乘法公式 题型04独立事件的判断 ( 题型0 1 ) 互斥事件与对立事件 1．（23-24高一下·福建福州·期末）某小组有名男生和名女生，从中任选名学生参加比赛，事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生” （    ） A．是对立事件 B．都是不可能事件 C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件 【答案】D 【分析】根据题意，由随机事件的定义分析选项，综合可得答案． 【详解】解：根据题意，从2名男生和1名女生中任选2名学生参加比赛，有“2名男生”和“1名男生和1名女生”两种情况， 易得“至少有1名女生”即“1名男生和1名女生”，是“至少有1名男生”的子事件， 故事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”不是互斥事件． 故选：D． 2．（23-24高一下·福建三明·期末）从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取2个球，下列事件中与事件“至少有一个黄球”互为对立的是（    ） A．都是蓝球 B．都是黄球 C．恰有一个蓝球 D．至少有一个蓝球 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对立事件的意义判断即可. 【详解】事件“至少有一个黄球”的对立事件是“没有黄球”，即都是“都是蓝球”， 所以与事件“至少有一个黄球”互为对立的是“都是蓝球”. 故选：A 3．（23-24高一下·福建南平·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“至多有一枚硬币正面朝上”，事件“两枚硬币正面均朝上”，事件“两枚硬币正面均朝下”，则（    ） A．A与C对立 B．B与C不互斥 C．A与B对立 D．B与C对立 【答案】C 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可判断. 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，其中朝上的情况共有{正反，正正，反正，反反}共4种情况， 其中事件{正反，反正，反反}；事件{正正}，事件{反反}， 对A，事件A为事件C可能同时发生，即反反这种情况，即事件A，C不对立，故A错误； 对B，事件B与事件C显然不可能同时发生，则它们为互斥事件，故B错误； 对C，显然事件A和事件B不可能同时发生，即它们互斥，且两者构成了所有的发生情况，即事件A和事件B必有一个发生，则A与B对立，故C正确； 对D，事件B与C互斥，但是不对立，比如可能发生正反或反正的情况，故D错误. 故选：C. 4．（23-24高一下·福建福州·期末）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（    ） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 【答案】BD 【分析】由互斥事件及对立事件的定义进行依次判断． 【详解】“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故A错误； “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故B正确； “恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故C错误； “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故D正确． 故选：BD． ( 题型02 ) 古典概型及其概率计算 5．（23-24高一下·福建福州·期末）已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分类讨论得出，再由古典概率公式求解． 【详解】当时，，得（舍）， 当时，，得， 当时，，得（舍）， ， 从1，2，3，5，4中任取2个数结果: 共10种， 符合题意，共4种， 所以概率为． 故选：A． 6．（23-24高一下·福建三明·期末）从长度为1，3，6，9，10的线段中任取一条，能与长度分别为7和8的两条线段构成锐角三角形的概率为 . 【答案】/0.6 【分析】取到线段为1时，，无法构成三角形，其他情况利用最大角的余弦值判断出三角形的形状，得到概率. 【详解】当取到线段为1时，，无法构成三角形， 当取到线段为3时，最大角的余弦值为，此时三角形为钝角三角形， 当取到线段为6时，最大角的余弦值为，此时三角形为锐角三角形， 当取到线段为9时，最大角的余弦值为，此时三角形为锐角三角形， 当取到线段为10时，最大角的余弦值为，此时三角形为锐角三角形， 故能与长度分别为7和8的两条线段构成锐角三角形的概率为. 故答案为： 7．（23-24高一下·福建三明·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生吸烟情况，对随机抽出的500名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的生日公历月份是不是偶数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球，再放回摸出白球就如实回答问题1，摸出红球就如实回答问题2. 回答“是”的学生往盒子里放一个石头，回答“否”的学生什么也不做. 经统计，盒子中有140个石头，由此估计这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知摸到白球和红球的概率都为，12个月其中月份为偶数的概率为，由此可估计出回答问题1为是的人数，从而可求出回答问题2为是的人数，从而可求出答案. 【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，从随机从袋子中摸取1个球， 所以摸到白球和红球的概率都为， 所以这500个人中回答问题1的人数约为，回答问题2的人数约为， 因为12个月其中月份为偶数的有6个，所以月份为偶数的概率为， 所以问题1回答为是的人数约为人， 所以问题2回答为是的人数约为人， 所以这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为. 故选：A 8．（23-24高一下·福建莆田·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次的点数都是偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先列出试验所含的样本点总数，再根据所求事件，统计其所包含的样本点数，利用古典概型概率公式计算即得. 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次,统计两次的点数构成的总的样本点有个， 而事件 “两次的点数都是偶数”包含的样本点有共9个， 故由古典概型概率公式可得：. 故选：C. 9．（23-24高一下·福建福州·期末）如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，经过数字的事件概率记为，则 ； ． 【答案】 8 【分析】根据题意分析可知：，，进而求出相应的值，结合古典概型求. 【详解】由题意可知：， 若移动到数字，则由数字或数字移动一次得到，则， 据此可得，所以 又因为5到9共有56789，5679，5689，5789，579五条不同的路线， 所以经过5的路线共有，所以， 故答案为：8；. 10．（23-24高一下·福建漳州·期末）某校高一､高二､高三的学生志愿者人数分别为.按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心.从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据分层抽样的定义求出各年级所抽取的人数，然后利用列举法求概率即可. 【详解】由题意可知从高一学生中抽取人，记为 从高二学生中抽取人，记为 从高三学生中抽取人，记为， 则从这5人中抽取2人有：，10种情况， 其中来自不同年级的有，8种情况， 所以所求概率为. 故选：D ( 题型03 ) 独立事件的乘法公式 11．（23-24高一下·福建福州·期末）甲、乙两人进行篮球比赛，若甲投中的概率为0.8，乙投不中的概率为0.1，且两人投篮互不影响，若两人各投篮一次，则两人中恰有一人投中的概率为 . 【答案】0.26/ 【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解. 【详解】由题意可得甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9， 所以两人中恰有一人投中的概率为 故答案为：0.26 12．（23-24高一下·福建福州·期末）甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】按照相互独立事件的概率乘法法则，分类计算求和即可. 【详解】分三类： ①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为：； ②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为：； ③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为：. 故甲获胜的概率为：. 故选：B. 13．（23-24高一下·福建龙岩·期末）设样本空间含有等可能的样本点，若事件A，B，C是的子集，且A，B，C两两独立，其中，，，，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据题意分别求得，结合独立事件的定义，可判定事件与不独立，结合计算即可求解. 【详解】由题意知， 则，且， 满足，， 所以与不独立， 所以. 故答案为： 14．（23-24高一下·福建福州·期末）甲､乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则甲､乙两人一起破译这份密码，密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案． 【详解】根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是， 则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率， 故该密码被成功破译的概率． 故选：C． 15．（23-24高一下·福建泉州·期末）盒子中有4个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从盒子中有放回地随机两次摸出小球，每次摸出一个小球． (1)求两次摸到的小球数字之和为偶数的概率； (2)设事件“两次摸到的小球数字之和是质数”，事件“第1次摸到的小球数字为奇数”，事件“第2次摸到的小球数字为奇数”，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：利用列举法，列出从盒中有放回依次随机摸出两个小球，再找出两次摸到的小球数字之和为偶数的情况，然后利用古典概型的概率公式求解，解法二：根据分步乘法原理和分类加法原理结合古典概型的概率公式求解； （2）解法一：列举出事件的所有情况，再利用古典概型的概率公式求出，然后根据互斥事件和独立事件的概率公式求解；解法二：列举出，，，从而可列举出，再利用古典概型的概率公式求解. 【详解】（1）解法一：从盒中有放回依次随机摸出两个小球的样本空间是 ， 所以，共有16个样本点． 记事件“两次摸到的小球数字之和为偶数”， 则， 所以，共有8个样本点． 因为样本空间的每个样本点具有等可能性， 所以， 即两次摸出的小球数字之和为偶数的概率为． 解法二：记事件“两次摸到的小球数字之和为偶数”． 每一次从盒中摸出小球，小球的数字都有概率相同的4种可能， 故有放回地摸两次，两次的小球数字相加情况共有种可能， 1，2，3，4中共有2个偶数和2个奇数， 事件发生有种可能（2次都摸到偶数和2次都摸到奇数）， 因为上述各种情况发生的可能性都相同，所以． （2）解法一：因为，则， ， ， 所以，则， 因为事件不会同时发生，所以两两互斥， 所以， 又因为， 所以 即可得． 解法二：因为， ， ， ， ， 可以得到， ， ， 所以， 共有8个样本点， 即． 16．（23-24高一下·福建三明·期末）目前羽毛球混双世界排名第一，第三，第四分别是中国的“雅思组合，韩国的肉丁组合”，中国的“凤凰组合. 据统计，每场比赛雅思组合战胜肉丁组合的概率为 ，“凤凰组合”战胜肉丁组合的概率为，同一赛事的每场比赛结果互不影响.已知三个组合参加单循环赛（参加比赛的组合均能相遇一次），“雅思组合，“凤凰组合”同时战胜“肉丁组合”的概率为 ，有一个组合战胜“肉丁组合”的概率为 . (1)求 和 的值； (2)三个组合参加双循环赛（参加比赛的组合均能相遇两次），求雅思组合比“凤凰组合战胜肉丁组合的次数多的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由事件的相互独立性及互斥事件的概率公式列方程组求解； (2)根据独立事件乘法公式及互斥事件的求和公式结合条件即得． 【详解】（1）解：设事件 “雅思组合、凤凰组合均战胜肉丁组合”， “雅思组合与凤凰组合只有一个组合战胜肉丁组合”， 由于每场比赛结果互不影响，所以 ， ， 由题意可得 ，即，解得或， 因为 ，所以 ． （2）设事件 “‘雅思组合’胜‘肉丁组合’ 场”， 事件 “‘凤凰组合’胜‘肉丁组合’ 场”，， 事件 “‘雅思组合’比‘凤凰组合’战胜‘肉丁组合’的次数多” 所以 ， ， 所以 ， 所以“雅思组合”比“凤凰组合”战胜“肉丁组合”的次数多的概率 ． ( 题型0 4 )独立事件的判断 17．（23-24高一下·福建厦门·期末）甲､乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲､乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲､乙两人恰有一人获奖的概率为（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 【答案】B 【分析】根据两人恰有一人获奖，可分类讨论，即可求得概率. 【详解】设甲获奖为事件，乙获奖为事件， 所以，，， 因为，所以事件与事件相互独立， 根据题意，甲､乙两人恰有一人获奖的概率为， 故选：B. 18．（23-24高一下·福建莆田·期末）如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则（    ）    A． B． C．事件与相互独立 D．事件与互斥 【答案】BC 【分析】由图易求得，排除A，对于B，利用古典概型概率公式计算即得；对于C，分别求出事件的概率，利用进行判断；对于D，利用事件互斥的定义判断易得. 【详解】对于A，由图知，,故A错误； 对于B，因，故B正确； 对于C，因，而, 显然，所以事件A与B相互独立，故C正确； 对于D，由图知，，即， 所以事件A与B不互斥，故D错误. 故选：BC. 19．（23-24高一下·福建福州·期末）若 为两个随机事件，且，则（    ） A．当 时， B．当A和互斥时， C．当A和独立时， D．当A和独立时， 【答案】BCD 【分析】对于A：根据包含关系结合概率的性质分析判断；对于B：根据互斥事件结合事件的运算分析判断；对于C：根据题意结合独立事件概率乘法公式分析判断；对于D：根据互斥与独立事件概率的计算分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 若，则，可得， 即，故A错误； 对于选项B：因为， 则， 若A和互斥，则，即， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，则， 若A和独立，则和独立， 所以，故C正确； 对于选项D：若，则， 即，可知A和不独立， 所以A和独立时，，故D正确； 故选：BCD. 一、单选题 1．（23-24高一下·福建·期末）从1，3，5，7这4个数中随机取出2个不同的数，则的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举所有的基本事件，即可根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】从1，3，5，7这4个数中随机取出2个不同的数，所有的基本事件有共有6种情况， 包含的基本事件有共有3种情况， 故概率为 故选：B 2．（23-24高一下·福建宁德·期末）根据某地天气预报，在今后的三天中，每天下雨的概率均为20%．利用计算机产生1到5之间整数值的随机数，当出现随机数1时，表示下雨，当出现随机数2，3，4，5时，表示不下雨，产生20组随机数： 435  451  132  533  224  344  151  231  424  142 412  414  335  312  123  233  314  254  353  442 据此估计这三天中至少有1天下雨的概率为（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.55 D．0.6 【答案】B 【分析】由题意知经随机模拟产生的20组随机数中表示三天中至少有1天下雨的可以通过列举得到共10组随机数，根据概率公式得到结果. 【详解】20组随机数中三天中至少有1天下雨的有 451，132，151，231，142，412，414，312，123，314，共10组随机数， 所以这三天中至少有1天下雨的概率为. 故选：. 3．（23-24高一下·福建龙岩·期末）某人有3把钥匙，其中只有1把能打开门，若随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，则第二次才能打开门的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由古典概型概率计算公式直接计算即可求解. 【详解】符合题意的选择是：第一次取到不能打开门的钥匙有两种选择，第二次取到能打开门的钥匙只有一种选择， 从而由古典概型概率计算公式可得所求概率为. 故选：B. 4．（23-24高一下·福建宁德·期末）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在余下的两局比赛中再赢一局就获得冠军，若余下比赛中甲队每局获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设知比赛中甲队每局获胜的概率为，输的概率为，甲队要获得冠军，则至少在两局内赢一局，利用概率的乘法和加法公式求概率即可. 【详解】比赛中甲队每局获胜的概率为，输的概率为， 当第一局甲获胜，其概率为， 当第一局甲输，第二局甲赢，其概率为， 甲队获得冠军的概率为. 故选：. 5．（23-24高一下·福建宁德·期末）把红、蓝、黑、白张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁个人，每人分得张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ） A．对立 B．相等 C．相互独立 D．互斥但不对立 【答案】D 【分析】利用互斥事件和对立事件的特征易判断得出结论. 【详解】因纸牌只有红、蓝、黑、白张，分给甲、乙、丙、丁个人，每人一张， 则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”在一次分法中不可能同时发生，故两事件互斥； 同时在一次分法中除了这两个事件，还有“丙分得红牌”，“丁分得红牌”这些可能事件， 故这两个事件不是对立事件. 故选：D. 二、多选题 6．（23-24高一下·福建福州·期末）下列描述正确的是 （   ） A．若，，，则事件 与 相互独立 B．与 是互斥事件”是“ 与 互为对立事件”的充分不必要条件 C．掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”不是互斥事件 D．一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球，第二次取到红球的概率是 【答案】AC 【分析】A选项，利用判断出事件与相互独立；B选项，根据互斥事件、对立事件的定义结合充分条件、必有条件作出判断；对于C根据互斥事件的定义作出判断，D选项，分两种情况进行计算. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，与 是互斥事件，但与 不一定是对立事件，与 互为对立事件， 则与 一定是互斥事件，所以“与 是互斥事件”是“ 与 互为对立事件”的必要不充分条件；故B错误； 对于C，掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”能同时发生，所以不是互斥事件，故C正确； 对于D，若第一次摸到红球，则第二次摸到红球的概率为，若第一次摸到绿球， 则第二次摸到红的概率为，所以第二次摸到红球的概率为，故D不正确. 故选：AC. 三、解答题 7．（23-24高一下·福建福州·期末）目前低碳的生活理念流行，越来越多的年轻人加入自行车骑游行列.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费元（不足一小时的部分按一小时计算）.有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过小时还车的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (3)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据互斥事件的概率公式和对立事件概率公式计算可得； （2）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （3）甲、乙两人所付的租车费用之和为元可能的情况是甲、乙的租车费用分别为： ①元、元，②元、元，③元、元，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）甲租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率为：， 乙租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率为：； （2）甲、乙两人所付的租车费用相同可分为租车费用都为元、元、元三种情况， 甲、乙两人租车费用都为元的概率为， 甲、乙两人租车费用都为元的概率为， 甲、乙两人租车费用都为元的概率为， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为； （3）甲、乙两人所付的租车费用之和为元可能的情况是甲、乙的租车费用分别为： ①元、元，②元、元，③元、元， 所以甲、乙两人所付的租车费用之和为元的概率为： . 8．（23-24高一下·福建厦门·期末）甲每次投篮投进的概率是0.7．连续投篮三次，每次投篮结果互不影响．记事件为“甲至少投进两球” (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点．用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”．以每3个随机数为一组，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数：062 049 228 933 11774 732 783 078 276 ，利用该模拟试验，估计事件的概率，并判断事件的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)，有差异；理由见解析 【分析】（1）列举出样本空间，则由题意求出样本点的概率和样本点的概率，再根据古典概型的定义分析判断即可； （2）根据随机数表可求得事件的概率的估计值为0.9，设事件“甲第次投进”，，则，然后根据独立事件和互斥事件的概率公式结合题意求出，与0.9比较即可. 【详解】（1）该试验的样本空间为 ， 共有8个样本点． 因为甲每次投篮投进的概率是0.7， 所以样本点的概率为，样本点的概率为， 所以这两个样本点的概率不相等， 所以这个试验不是古典概型． （2）产生20组随机数相当于做了20次重复试验，其中事件发生了18次， 则事件的频率为，所以事件的概率的估计值为0.9． 设事件“甲第次投进”，，则 因为，． 又因为每次投篮结果互不影响，所以，与相互独立，，与相互独立， ，与相互独立，，与相互独立且，，，两两互斥， 所以 所以事件的概率的估计值和有差异．原因如下： ①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异； ②重复试验次数为20，样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大． 9．（23-24高一下·福建厦门·期末）甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球 (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一纽，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 【答案】(1)样本空间见解析，不是古典概型，理由见解析 (2)事件A的概率的估计值为0.9，存在差异，理由见解析 【分析】（1）直接写出样本空间即可，根据样本点和的概率即可结合古典概型定义进行判断. （2）20组随机数中事件A发生了18次，则事件A的频率为，所以事件A的概率的估计值为0.9，再求出事件A的概率的精确值结合试验的特点以及频率与概率的特征和关系即可比较判断和说明. 【详解】（1）该试验的样本空间为 ， 共有8个样本点， 样本点的概率为，样本点的概率为，这两个样本点的概率不相等，所以这个试验不是古典概型. （2）产生20组随机数相当于做了20次重复试验，其中事件A发生了18次， 则事件A的频率为，所以事件A的概率的估计值为0.9. 设事件“甲第次投进”，，则 因为. 又因为每次投篮结果互不影响，所以与相互独立，与相互独立，与相互独立，与相互独立且两两互斥， 所以 所以事件A的概率的估计值和有差异.原因如下： ①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异； ②重复试验次数为20，样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大. 10．（23-24高一下·福建福州·期末）小明从一幅扑克牌中挑出和共8张牌（和各四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））.现从这张牌中依次取出张，抽到一张红色和一张红色即为游戏获胜.现有三种游戏方式，如下表： 游戏方式 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按颜色等比例分层抽样 获胜概率 (1)分别求出在三种不同游戏方式下获胜的概率； (2)若三种游戏方式小明各进行一次，第一次采取方式①，后两次采用方式②和方式③，那么方式②和方式③按照怎样的顺序进行游戏能使得三次游戏中仅连续两次获胜的概率最大？ 【答案】(1)，， (2)①③② 【分析】（1）根据古典概型的概率公式直接可得解； （2）分别求出每种顺序下的概率，比较即可得出结论. 【详解】（1）设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式3的样本空间为， 则，，， 设事件“抽到一张红色和一张红色”， 则事件的情况有（红桃，红桃）、（红桃，方块）、（方块，红桃）、（方块，方块）、（红桃，红桃）、（红桃，方块）、（方块，红桃）、（方块，方块），共种， 故，，； （2）若按①②③顺序连续两次获胜的概率； 若按①③②顺序连续两次获胜的概率； 所以按照①③②的顺序进行游戏，获胜概率大. 11．（23-24高一下·福建漳州·期末）孟德尔在观察踠豆杂交时发现了以下规律：㱧豆的各种性状是由其遗传因子决定的.以子叶颜色为例，踠豆的子叶分黄､绿两种颜色，其中黄色为显性性状，绿色为隐性性状.我们用表示子叶为黄色的踠豆的遗传因子对，用表示子叶为绿色的踠豆的遗传因子对.当这两种踠豆杂交时，父本的其中一个遗传因子与母本的其中一个遗传因子等概率随机组合，子一代的遗传因子对全部为，如下图所示，其中为显性遗传因子，为隐性遗传因子.当生物的遗传因子对中含有显性遗传因子时呈现显性性状，否则呈现隐性性状.例如：均指示黄色子叶，指示绿色子叶.我们称以上定律为孟德尔定律.已知人的单､双眼皮性状服从孟德尔定律，其中双眼皮是显性性状，记其遗传因子对为或；单眼皮是隐性性状，记其遗传因子对为.若仅考虑眼皮性状，已知甲的母亲､父亲､伯父､姑父､姑母的遗传因子对均为，伯母为单眼皮. (1)求甲和堂弟都是单眼皮的概率； (2)求甲和堂弟､表妹三人中至少两人为单眼皮的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件“甲为单眼皮”，事件“堂弟为单眼皮”，事件为相互独立事件，事件“甲和堂弟都是单眼皮”，然后结合题意根据独立事件的概率公式可求得结果； （2）设事件“表妹为单眼皮”，则相互独立，事件两两互斥，利用独立事件的概率公式求出，再利用互斥事件的概率公式可求得答案. 【详解】（1）设事件“甲为单眼皮”，事件“堂弟为单眼皮”，事件为相互独立事件，事件“甲和堂弟都是单眼皮”， 因为甲的母亲､父亲的遗传因子对均为，所以甲的遗传因子有三种类型：， 其中，出现的概率都是，出现的概率为， 甲为单眼皮时，遗传因子为，所以， 因为伯父遗传因子对为，伯母遗传因子对为aa，所以堂弟的遗传因子有两种类型：，. 其中，出现的概率均为， 所以堂弟为单眼皮的概率， 故甲和堂弟都是单眼皮的概率. （2）设事件“表妹为单眼皮”，则相互独立， 事件“甲和堂弟单眼皮，表妹双眼皮”，事件“甲和表妹单眼皮，堂弟双眼皮”， 事件“表妹和堂弟单眼皮，甲双眼皮”，事件“甲和堂弟､表妹都是单眼皮”， 则事件两两互斥， 因为， 所以， ， ， ， 所以甲和堂弟表妹三人中至少两人为单眼皮的概率为 12．（23-24高一下·福建南平·期末）现有3个北方城市，，和3个南方城市，，，旅游爱好者甲计划从中任选2个城市旅游． (1)求甲选择的2个城市均是北方城市的概率； (2)若旅游爱好者乙也计划从这6个城市中选2个旅游，由于个人爱好，乙选择的2个城市均是北方城市的概率为，且甲、乙两人的选择互不影响，求甲、乙两人中至少有一人的选择为2个北方城市的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型概率公式即可求解； （2）根据对立事件公式及独立性乘法公式即可求解. 【详解】（1）由题意知，从6个城市中任选2个，得到的样本空间为，，，，，，，，，，， 则， 设事件“甲选择的2个城市均是北方城市”， 则，所以， 因此，； （2）设事件“甲、乙两人中至少有一人的选择为2个北方城市”， 事件“甲选择的2个城市均是北方城市”， 事件“乙选择的2个城市均是北方城市”. 则“甲选择的2个城市不都是北方城市”， “乙选择的2个城市不都是北方城市”，由于甲、乙的选择互不影响， 所以与，与，与，与都相互独立， 由已知条件及（1）可得，. 所以. 13．（23-24高一下·福建龙岩·期末）如图，在一条无限长的轨道上，一个质点最初位于位置0，规定：每次投掷一枚质地均匀的硬币，若正面向上，则质点向右移动一个单位，若反面向上，则质点向左移动一个单位，设投掷n次硬币后，质点位于位置. (1)请直接写出和的数值； (2)求； (3)用a表示质点向右移动一个单位，用b表示质点向左移动一个单位，请写出投掷4次硬币的样本空间，并证明：. 【答案】(1)，， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据的定义即可求解， （2）的含义可知3次都向右或者3次都向左运动。即可根据相互独立事件的概率公式求解， （3）列出样本空间，结合古典概型概率公式求两事件的概率，完成证明. 【详解】（1），， （2）表示投掷3次硬币后，质点位于位置或， 故3次都向右或者3次都向左运动， 故 （3）掷4次硬币的样本空间为： 包含的样本点有 所以； 包含的样本点有 所以； 故， 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$