专题04 统计（五大题型）（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题04 统计 题型概览 题型01分层随机抽样 题型02频率分布直方图 题型03百分位数 题型04众数、中位数、平均数 题型05极差、方差与标准差 ( 题型0 1 ) 分层随机抽样 1．（23-24高一下·福建三明·期末）某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为96的样本，如果样本按比例分配，则从高三年级抽取的学生人数为（    ） A．32 B．40 C．64 D．72 2．（23-24高一下·福建泉州·期末）从甲、乙、丙三所学校中随机抽取210名学生，接受省级高中体育与健康教育质量监测．已知甲、乙、丙三所学校的学生人数分别为400，700，1000，若按各校人数分层抽样，则从甲学校中应抽取的学生人数为（    ） A．40 B．50 C．60 D．70 3．（23-24高一下·福建福州·期末）某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有2000人，其中各种态度对应的人数如表所示： 最喜爱 喜爱 一般 不喜欢 480 720 640 160 电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行按比例分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为（    ） A．24，36，32，8 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．25，25，25，25 4．（23-24高一下·福建厦门·期末）为了解某校高一年级学生体育锻炼情况，用比例分配的分层随机抽样方法抽取50人作为样本，其中男生20人.已知该校高一年级女生240人，则高一年级学生总数为（    ） A．600 B．480 C．400 D．360 5．（23-24高一下·福建宁德·期末）某学校师生共有3000人，现用分层抽样方法抽取一个容量为225的样本，已知样本中教师人数为15人，则该校学生人数为 ． ( 题型02 ) 频率分布直方图 6．（23-24高一下·福建福州·期末）为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)求图中的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数； (2)试估计本次数学测试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. 7．（23-24高一下·福建福州·期末）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于M的零件用于大型机器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器制造. (1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； (2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各1000台的制造，每台机器仅使用一个该种型号的零件.现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型机器制造，每台会使得工厂损失200元；将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型机器制造，每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用的估计值H（M）（单位：元）的取值范围. ( 题型03 ) 百分位数 8．（23-24高一下·福建莆田·期末）某同学坚持跑步锻炼身体，他记录了10周的跑量，将跑量数据（单位：千米）按从小到大排序如下：6，8，8，9，10，11，13，14，15，16，则这组数据的第40百分位数为（    ） A．7 B．8 C．8.5 D．9.5 9．（23-24高一下·福建漳州·期末）某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是（    ） 比赛成绩 6 7 8 9 10 班级数 3 5 4 4 4 A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 10．（23-24高一下·福建·期末）一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百分位数为 . 11．（23-24高一下·福建福州·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的第75百分位数： (2)在样本答卷成绩为的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？ (3)已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差． ( 题型0 4 )众数、中位数、平均数 12．（23-24高一下·福建厦门·期末）某学校开展消防安全知识培训，对甲､乙两班学员进行消防安全知识测试，绘制测试成绩的频率分布直方图，如图所示：（    ） A．甲班成绩的平均数<甲班成绩的中位数 B．乙班成绩的平均数乙班成绩的中位数 C．甲班成绩的平均数乙班成绩的平均数 D．乙班成绩的中位数甲班成绩的中位数 13．（23-24高一下·福建南平·期末）某校统计100名学生体重，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如下所示的频率分布直方图，则（    ） A．频率分布直方图中a的值为0.08 B．这100名学生中体重不低于55kg的人数为60 C．这100名学生体重的第80百分位数为65 D．这100名学生体重的众数小于平均数 14．（23-24高一下·福建龙岩·期末）为了解某工厂生产的产品尺寸情况，通过抽样，得到200件产品的尺寸（单位：mm）的数据，其频率分布直方图如图所示. (1)求图中x的值，并根据频率分布直方图，估计这200件产品尺寸的平均数和上四分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，结果保留两位小数）； (2)记尺寸在内的产品为优等品，每件可获利5元；尺寸在内的产品为不合格品，每件亏损2元；其余尺寸的产品为合格品，每件可获利3元.若此工厂某月生产5000件产品，当该月利润未能达到15000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.用样本的频率代替总体在各组的频率，试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造. ( 题型0 5 )极差、方差与标准差 15．（23-24高一下·福建福州·期末）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰了出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是 （   ） A．平均数为3，中位数为2 B．平均数为3，方差为2 C．中位数为3，众数为2 D．中位数为3，方差为1.6 16．（23-24高一下·福建福州·期末）佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效．经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量x（单位：克）与香囊功效y之间满足，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，则这6个香囊中草药甲含量的方差为 克． 17．（23-24高一下·福建福州·期末）若数据、、…、的平均数是4，方差是4，数据、、…、的平均数是，标准差是，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 18．（23-24高一下·福建三明·期末）某校高一年段成立了两个数学培优班，班10人，班30人，经过一段时间的强化训练后进行了一次测试，在该测试中，班的平均成绩为135分，方差为105，班的平均成绩为115分，方差为225. 则在这次测试中两个培优班全体学生方差为 . 19．（23-24高一下·福建泉州·期末）“泉州：宋元中国的世界海洋商贸中心"于2021年7月25日成功列入《世界遗产名录》，成为中国第56处世界遗产，泉州在持续做好世界遗产保护的同时，积极推动文化和旅游的深度融合，在2024年“五一”假期期间，为了解全国各地游客对泉州某景点的满意度，景区在该景点向游客做随机问卷调查，收集了1000份问卷，并统计每份问卷的得分（百分制），绘制了如下频率分布直方图： (1)求a； (2)估计该满意度得分的第一四分位数和总体平均数； (3)已知填写问卷的游客中，儿童、中青年人、老年人的比例为1∶7∶2，其中儿童游客满意度得分的平均数为86，方差为45.15；老年人游客满意度得分的平均数为96，方差为10.55．请结合频率分布直方图，估计中青年游客对该景点满意度得分的平均数和方差． 20．（23-24高一下·福建福州·期末）随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注． 某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人人． 年龄在的老年人人．现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如图所示）： (1)根据频率分布直方图，若每个区间取中点值为代表，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第百分位数； (2)已知年龄在的老年人年收入的方差为，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为和，试估计年龄在的老年人年收入的方差．（请先推导必要的公式，再代值计算） 一、单选题 1．（23-24高一下·福建泉州·期末）已知数据的均值为3，方差为1，则数据的均值和方差分别为（    ） A．9，5 B．6，5 C．9，4 D．6，4 2．（23-24高一下·福建莆田·期末）在以下调查中，适合用全面调查的是（    ） A．调查一个班级学生的视力情况 B．调查一批玉米种子的发芽率 C．调查某城市居民的食品消费结构 D．调查一批待售袋装牛奶的细菌数 3．（23-24高一下·福建福州·期末）图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法错误的是（    ） A．这10年粮食年产量的极差为16 B．这10年粮食年产量的第70百分位数为35 C．这10年粮食年产量的平均数为33.7 D．前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差 二、多选题 4．（23-24高一下·福建福州·期末）下列说法正确的是（    ） A．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9 B．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析.在这个问题中，被抽取的200名学生是样本 C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 D．若样本，，…，的平均数和方差分别为2和3，则，，…，的平均数和方差分别为8和27 5．（23-24高一下·福建泉州·期末）第75届联合国大会上，我国向世界郑重承诺力争在2030年前实现碳达峰，努力争取在2060年前实现碳中和.2021年全国两会的政府工作报告明确提出要扎实做好碳达峰、碳中和的各项工作，大力发展新能源．常见的新能源主要有潮汐能、风能、太阳能和地热能等．下图为2015年与2020年我国新增电力装机结构对比，则（    ） A．2015年我国新增电力装机中，火电装机占比最大 B．2020年我国新增电力装机中，风电装机数多于火电装机数 C．2020年我国水电新增装机数少于2015年 D．2020年我国新增电力装机结构中，新能源装机占比大于2015年 6．（23-24高一下·福建福州·期末）下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（    ） A．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增 B．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增 C．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大 D．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为元 7．（23-24高一下·福建宁德·期末）若是样本数据的平均数，则（ ） A．的极差等于的极差 B．的中位数等于的中位数 C．的众数等于的众数 D．的方差大于的方差 8．（23-24高一下·福建龙岩·期末）某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续5年的产量如下： 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲/kg 560 580 570 590 600 乙/kg 550 600 580 580 590 若，分别表示甲、乙两种水稻产量的平均值，，分别表示甲、乙两种水稻产量的方差，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 D．乙种水稻的产量有三年位于之间 三、填空题 9．（23-24高一下·福建福州·期末）某学校高一年级男生共有490人，女生共有510人，为调查该年级学生的身高情况，通过按比例分配的分层抽样，得到男生和女生样本数据的平均数和方差分别为和.若，则该校高一年级全体学生身高的方差为 . 10．（23-24高一下·福建福州·期末）在对某中学高一年级学生身高（单位：）调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的平均数为 ，方差为 . 四、解答题 11．（23-24高一下·福建三明·期末）5月22日第14届中美旅游高层对话开幕，中国文化和旅游部为推动文化志愿服务工作规范化，在所有报名参加中国文化推广的人员中面试选拔出“中国文化志愿者”，通过使用注册服务证对“中国文化志愿者”进行组织管理. 现随机抽取128名报名者的面试成绩，并分成五组，第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组，第五组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图. 已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.    (1)求 和 的值； (2)估计本次面试成绩平均分（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (3)根据要求，本次“中国文化志愿者”面试选拔录取率为 ，请估算被录取至少需要多少分. 12．（23-24高一下·福建莆田·期末）目前，国际上常用身体质量指数（缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了50名女员工、100名男员工的体检数据，通过计算他们的BMI值，得到女员工频数分布表和男员工频率分布直方图如下： 女员工频数分布表 BMI值区间 合计 频数 3 8 13 16 6 4 50    (1)估计样本中女员工BMI值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)已知样本中女员工BMI值的平均数为，方差为14.5；样本中男员工BMI值的平均数为22.56，方差为14.8．用样本估计该公司全体员工BMI值的方差； (3)根据男员工频率分布直方图，比较样本中男员工BMI值的平均数与中位数的大小．（只需写出结论，不用说明理由） 参考公式：总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则． 13．（23-24高一下·福建南平·期末）某校高一年级有男生200人，女生100人．为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本量为30的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39．下表是抽取的女生样本的数据： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163 记抽取的第i个女生的身高为，样本平均数，方差． 参考数据：，，． (1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数； (2)如果女生样本数据在之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差； (3)用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值． 14．（23-24高一下·福建漳州·期末）漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”.五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达20万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）； (2)已知满意度分值落在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 统计 题型概览 题型01分层随机抽样 题型02频率分布直方图 题型03百分位数 题型04众数、中位数、平均数 题型05极差、方差与标准差 ( 题型0 1 ) 分层随机抽样 1．（23-24高一下·福建三明·期末）某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为96的样本，如果样本按比例分配，则从高三年级抽取的学生人数为（    ） A．32 B．40 C．64 D．72 【答案】B 【分析】根据分层抽样的定义结合题意求解即可. 【详解】由题意得从高三年级抽取的学生人数为 . 故选：B 2．（23-24高一下·福建泉州·期末）从甲、乙、丙三所学校中随机抽取210名学生，接受省级高中体育与健康教育质量监测．已知甲、乙、丙三所学校的学生人数分别为400，700，1000，若按各校人数分层抽样，则从甲学校中应抽取的学生人数为（    ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】A 【分析】计算出抽样比例可得答案. 【详解】由分层抽样，从甲学校中应抽取的人数为人． 故选：A． 3．（23-24高一下·福建福州·期末）某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有2000人，其中各种态度对应的人数如表所示： 最喜爱 喜爱 一般 不喜欢 480 720 640 160 电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行按比例分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为（    ） A．24，36，32，8 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．25，25，25，25 【答案】A 【分析】按比例抽取，即可求解. 【详解】最喜爱组应抽取人，喜爱组应抽取人， 一般组应抽取人，不喜欢组应抽取， 故选：A 4．（23-24高一下·福建厦门·期末）为了解某校高一年级学生体育锻炼情况，用比例分配的分层随机抽样方法抽取50人作为样本，其中男生20人.已知该校高一年级女生240人，则高一年级学生总数为（    ） A．600 B．480 C．400 D．360 【答案】C 【分析】用分层抽样的概念，和样本估计总体的思想解题即可. 【详解】抽取50人作为样本，其中男生20人.则女生30人.则男女比例为：．该校高一年级女生240人，则男生160人. 高一年级学生总数为400人. 故选：C． 5．（23-24高一下·福建宁德·期末）某学校师生共有3000人，现用分层抽样方法抽取一个容量为225的样本，已知样本中教师人数为15人，则该校学生人数为 ． 【答案】2800 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到答案. 【详解】样本中教师人数为15人，学生人数为， 该校学生人数为. 故答案为：. ( 题型02 ) 频率分布直方图 6．（23-24高一下·福建福州·期末）为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试.根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)求图中的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数； (2)试估计本次数学测试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. 【答案】(1)，60百分位数为 (2) 【分析】（1）由频率分布直方图区间频率和为求参数；设该样本的60百分位数为，由题意可得，即可求得该样本的60百分位数； （2）根据频率分布直方图求数学测试成绩的平均分即可. 【详解】（1）由，解得； 设该样本的60百分位数为， 因为，，，，对应的频率分别为， 所以60百分位数在这组数据内， 由题意可得，解得， 所以该样本的60百分位数为. （2）数学测试成绩的平均值为分. 7．（23-24高一下·福建福州·期末）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于M的零件用于大型机器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器制造. (1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； (2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各1000台的制造，每台机器仅使用一个该种型号的零件.现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型机器制造，每台会使得工厂损失200元；将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型机器制造，每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用的估计值H（M）（单位：元）的取值范围. 【答案】(1)一区有420个，二区有200个 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图分别求出一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率，再乘以500，可求出500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； （2）根据频率分面上直方图求出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率，二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率，从而可表示出，再根据可求出其范围. 【详解】（1）由频率分面上直方图可知，一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为 ， 所以一区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为 个， 二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为 ， 所以二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为 个； （2）频率分面上直方图求出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率为 ， 二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率为 ， 所以 ， 因为，所以， 即. ( 题型03 ) 百分位数 8．（23-24高一下·福建莆田·期末）某同学坚持跑步锻炼身体，他记录了10周的跑量，将跑量数据（单位：千米）按从小到大排序如下：6，8，8，9，10，11，13，14，15，16，则这组数据的第40百分位数为（    ） A．7 B．8 C．8.5 D．9.5 【答案】D 【分析】根据一组数据的百分位数的规定计算即得. 【详解】由可知这组数据的第40百分位数为. 故选：D. 9．（23-24高一下·福建漳州·期末）某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是（    ） 比赛成绩 6 7 8 9 10 班级数 3 5 4 4 4 A．8.5 B．9 C．9.5 D．10 【答案】C 【分析】根据百分位数的定义和求解步骤直接计算求解即可. 【详解】因为， 所以由表格数据可知这20个比赛成绩的第80百分位数是. 故选：C. 10．（23-24高一下·福建·期末）一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百分位数为 . 【答案】18 【分析】借助百分位数定义计算即可得. 【详解】将这组数据从小到大排列：2，3，5，7，9，10，16，18，20，23， ，则该组数据的第75百分位数为18. 故答案为：18. 11．（23-24高一下·福建福州·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的第75百分位数： (2)在样本答卷成绩为的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？ (3)已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】(1)；第75百分位数为84． (2)5个 (3)总平均数，总方差． 【分析】（1）根据各组的频率和为1列方程可求出的值，再判断第75百分位数，然后列方程可求得结果； （2）先根据频率分布直方图计算出成绩在和样本人数得成绩在的比例系数，再根据比例抽样即可； （3）先计算成绩在和的市民人数，再根据分层随机抽样的总平均数和总方差的公式计算即可. 【详解】（1）（1）由每组小矩形的面积之和为1得， ，所以． 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第百分位数，由， 解得，所以第百分位数为． （2）由频率分布直方图知，样本成绩为的三组答卷的市民有 个样本， 成绩在的市民人数为， 所以用分层抽样的方法应在答卷成绩为的中抽取市民人数为个. （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 由样本方差计算总体方差公式，得总方差为 ． ( 题型0 4 )众数、中位数、平均数 12．（23-24高一下·福建厦门·期末）某学校开展消防安全知识培训，对甲､乙两班学员进行消防安全知识测试，绘制测试成绩的频率分布直方图，如图所示：（    ） A．甲班成绩的平均数<甲班成绩的中位数 B．乙班成绩的平均数乙班成绩的中位数 C．甲班成绩的平均数乙班成绩的平均数 D．乙班成绩的中位数甲班成绩的中位数 【答案】BC 【分析】根据甲、乙两班的频率分布直方图直接求出甲、乙两班的平均数、中位数即可得解. 【详解】对于A，由甲班频率分布直方图可得甲班成绩的平均数为 ， 甲班成绩分在内频率之和为， 成绩分在内频率之和为， 所以甲班成绩的中位数为，故A错误； 对于B，由乙班频率分布直方图可得乙班成绩的平均数为 ， 乙班成绩分在内频率之和为， 成绩分在内频率之和为， 所以乙班成绩的中位数为，故B正确； 对于C，由A、B可知甲班平均数小于乙班平均数，故C正确； 对于D，由A、B可知甲班中位数小于乙班的中位数，故D错误. 故选：BC. 13．（23-24高一下·福建南平·期末）某校统计100名学生体重，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如下所示的频率分布直方图，则（    ） A．频率分布直方图中a的值为0.08 B．这100名学生中体重不低于55kg的人数为60 C．这100名学生体重的第80百分位数为65 D．这100名学生体重的众数小于平均数 【答案】BD 【分析】利用频率分布直方图的面积之和为1，频数，百分位数，众数，平均数相关知识可以进行求解. 【详解】频率分布直方图的面积之和为1，解得，故A错； ，故B对； 因为，， 所以故第80百分位数为，故C错； 众数为52.5，平均数，故D对. 故选：BD. 14．（23-24高一下·福建龙岩·期末）为了解某工厂生产的产品尺寸情况，通过抽样，得到200件产品的尺寸（单位：mm）的数据，其频率分布直方图如图所示. (1)求图中x的值，并根据频率分布直方图，估计这200件产品尺寸的平均数和上四分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，结果保留两位小数）； (2)记尺寸在内的产品为优等品，每件可获利5元；尺寸在内的产品为不合格品，每件亏损2元；其余尺寸的产品为合格品，每件可获利3元.若此工厂某月生产5000件产品，当该月利润未能达到15000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.用样本的频率代替总体在各组的频率，试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造. 【答案】(1)，平均数为99.64，上四分位数为102.14， (2)不需要对该工厂设备实施升级改造，利用见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1进行求解即可；由平均数和百分位数的计算个数即可求解， （2）根据题意，结合频率分布直方图中的数据求出单月利润，最后比较大小即可． 【详解】（1）， 解得； 平均数为由于数据位于的频率为， 数据位于的频率为，故上四分位数位于， 设为，则，解得， （2）优等品的概率为，不合格品的概率为， 合格品的概率为， 故5000件产品中，优等品的个数为，不合格品的个数为， 合格品的概率为， 故所获利润为 故不需要对该工厂设备实施升级改造. ( 题型0 5 )极差、方差与标准差 15．（23-24高一下·福建福州·期末）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰了出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是 （   ） A．平均数为3，中位数为2 B．平均数为3，方差为2 C．中位数为3，众数为2 D．中位数为3，方差为1.6 【答案】B 【分析】根据题意，利用特例法可判断A、C和D错误，结合平均数和方差的计算公式，可判定B正确，即可求解. 【详解】对于选项A，当投掷骰子出现的结果为时，满足平均数为，中位数为，可以出现点数，所以选项A错误； 对于选项B，若平均数为，且出现点数，则必出现小于的点数，且至少有个， 所以方差， 所以平均数为，方差为时，一定没有出现点数，所以选项B正确； 对于选项C，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，所以选项C错误； 对于选项D，当投掷骰子出现的结果为时，满足中位数为， 此时平均数为，所以方差为， 此时出现点数，所以选项D错误， 故选：B. 16．（23-24高一下·福建福州·期末）佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效．经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量x（单位：克）与香囊功效y之间满足，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，则这6个香囊中草药甲含量的方差为 克． 【答案】39 【分析】利用平均数和方差的公式完成计算． 【详解】设抽取的6个香囊中草药甲的含量分别为克，香囊功效分别为，，2，，6， 草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15， 即，， 则， 则这6个香囊中草药甲含量的方差 ， 所以这6个香囊中草药甲含量的方差为39克． 故答案为：39． 17．（23-24高一下·福建福州·期末）若数据、、…、的平均数是4，方差是4，数据、、…、的平均数是，标准差是，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由数据、、…、的平均数是4，方差是4，数据、、…、的平均数是，方差，代入计算可得平均数，方差的值，开方求出标准差，可得答案. 【详解】因为数据、、…、的平均数是4，方差是4， 即，， 数据、、…、的平均数 ， 数据、、…、的方差 ， 所以标准差是. 故选：D. 18．（23-24高一下·福建三明·期末）某校高一年段成立了两个数学培优班，班10人，班30人，经过一段时间的强化训练后进行了一次测试，在该测试中，班的平均成绩为135分，方差为105，班的平均成绩为115分，方差为225. 则在这次测试中两个培优班全体学生方差为 . 【答案】270 【分析】求出全体学生的平均数，利用方程公式计算可得答案. 【详解】全体学生的平均数为， 则在这次测试中两个培优班全体学生方差为 . 故答案为：. 19．（23-24高一下·福建泉州·期末）“泉州：宋元中国的世界海洋商贸中心"于2021年7月25日成功列入《世界遗产名录》，成为中国第56处世界遗产，泉州在持续做好世界遗产保护的同时，积极推动文化和旅游的深度融合，在2024年“五一”假期期间，为了解全国各地游客对泉州某景点的满意度，景区在该景点向游客做随机问卷调查，收集了1000份问卷，并统计每份问卷的得分（百分制），绘制了如下频率分布直方图： (1)求a； (2)估计该满意度得分的第一四分位数和总体平均数； (3)已知填写问卷的游客中，儿童、中青年人、老年人的比例为1∶7∶2，其中儿童游客满意度得分的平均数为86，方差为45.15；老年人游客满意度得分的平均数为96，方差为10.55．请结合频率分布直方图，估计中青年游客对该景点满意度得分的平均数和方差． 【答案】(1) (2)第一四分位数为89.5，平均数为91.5 (3)平均分为91，方差28.75 【分析】（1）由频率分步直方图中各个矩形的面积之和为1即可列方程求解参数的值； （2）直接由第一四分位数的定义以及平均数的计算公式即可求解； （3）由分层平均数、方程公式即可列方程求解. 【详解】（1）由频率分布直方图得：， 解得． （2）， 由频率分布直方图，第一四分位数落在区间之间， 由， 可以估计该满意度得分的第一四分位数为89.5， 1000份问卷的平均分可估计为： ． 用样本估计总体，可以估计游客对该景点满意度的总体平均数为91.5． （3）由频率分布直方图，1000份问卷的方差可估计为： ， 用样本估计总体，则所有游客满意度平均分为，方差为 儿童游客满意度平均分为，方差为， 老年人游客满意度平均分为，方差为， 估计中青年游客对该景点满意度的平均分为，方差， 则， 所以， ， 得， 所以估计中青年游客对该景点满意度的平均分为91，方差28.75． 20．（23-24高一下·福建福州·期末）随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注． 某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人人． 年龄在的老年人人．现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如图所示）： (1)根据频率分布直方图，若每个区间取中点值为代表，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第百分位数； (2)已知年龄在的老年人年收入的方差为，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为和，试估计年龄在的老年人年收入的方差．（请先推导必要的公式，再代值计算） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可； （2）先根据方差的性质推出公式，再代入题目中的数据计算即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图，平均数为. 而由于， ， 故第百分位数在区间第百分位数内，设其为. 则，得. 所以第百分位数为. （2）先证明一个结论：对，设数据的平均值和方差分别为，数据的平均值和方差分别为，则数据的平均值和方差分别为和. 证明：设数据的平均值和方差分别为，则 . 由于方差. 故，，且 . 所以 . 这就证明了结论. 回到原题，本题中，，，，，. 代入数值即知所求方差为 . 一、单选题 1．（23-24高一下·福建泉州·期末）已知数据的均值为3，方差为1，则数据的均值和方差分别为（    ） A．9，5 B．6，5 C．9，4 D．6，4 【答案】C 【分析】根据均值和方差公式计算数据的数字特征，或者根据均值和方差的性质计算. 【详解】方法一：设数据的均值为，方差为，则， 由得的均值为： ； 的方差为： 方法二：由题意可知：新数据的均值为，方差为． 故选:C． 2．（23-24高一下·福建莆田·期末）在以下调查中，适合用全面调查的是（    ） A．调查一个班级学生的视力情况 B．调查一批玉米种子的发芽率 C．调查某城市居民的食品消费结构 D．调查一批待售袋装牛奶的细菌数 【答案】A 【分析】根据适宜做全面调查的对象特点易得. 【详解】适合用全面调查的应是调查对象比较少，调查所需时间和材料比较少的，故A项符合要求， 而B,C,D中的调查对象都比较大，工作量大，不适合做全面调查. 故选：A. 3．（23-24高一下·福建福州·期末）图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法错误的是（    ） A．这10年粮食年产量的极差为16 B．这10年粮食年产量的第70百分位数为35 C．这10年粮食年产量的平均数为33.7 D．前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差 【答案】B 【分析】将数据由小到大排列，利用极差、百分位数、平均数的定义得到A、B、C选项；由前5年和后5年的波动性得到方差的大小，得到D选项. 【详解】A选项，将样本数据从小到大排列为，这10年的粮食年产量极差为，故A正确； B选项，，结合A选项可知第70百分位数为第7个数和第8个数的平均数，即，故B不正确； C选项，这10年粮食年产量的平均数，故C正确： D选项，结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D正确． 故选：B. 二、多选题 4．（23-24高一下·福建福州·期末）下列说法正确的是（    ） A．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9 B．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析.在这个问题中，被抽取的200名学生是样本 C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 D．若样本，，…，的平均数和方差分别为2和3，则，，…，的平均数和方差分别为8和27 【答案】AD 【分析】对于A，根据百分位数的定义计算判断，对于B，根据样本的定义分析判断，对于C，根据随机抽样的性质分析判断，对于D，根据平均数的性质分析判断． 【详解】对于A，因为，所以第60百分位数为第5个数是9，所以A正确； 对于B，由题意可知被抽取的200名学生的成绩是样本，所以B错误； 对于C，用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是，所以C错误； 对于D，若样本数据，，，的平均数为2，方差为3， 则，，，的平均数为，方差为,所以D正确． 故选：AD． 5．（23-24高一下·福建泉州·期末）第75届联合国大会上，我国向世界郑重承诺力争在2030年前实现碳达峰，努力争取在2060年前实现碳中和.2021年全国两会的政府工作报告明确提出要扎实做好碳达峰、碳中和的各项工作，大力发展新能源．常见的新能源主要有潮汐能、风能、太阳能和地热能等．下图为2015年与2020年我国新增电力装机结构对比，则（    ） A．2015年我国新增电力装机中，火电装机占比最大 B．2020年我国新增电力装机中，风电装机数多于火电装机数 C．2020年我国水电新增装机数少于2015年 D．2020年我国新增电力装机结构中，新能源装机占比大于2015年 【答案】ABD 【分析】利用扇形图判断. 【详解】对于A，2015年我国新增电力装机中火电装机占比50.65%，显然占比最大，故A正确； 对于B，2020年我国新增电力装机中风电装机占比37.55%，火电装机占比29.53%，所以新增电力装机中风电装机数大于火电装机数，故B正确； 对于C，虽然相对于2015年，2020年我国核电新增装机占比减少，但由于总装机数不确定，所以不能得出核电装机数减少的结论，故C错误； 对于D，2015年我国新增电力装机中火电装机占比50.65%，所以新能源装机占比不超过50%，但2020年我国风电和太阳能新增装机占比和为62.8%大于50%，所以2020年我国新增电力装机结构中清洁能源占比增加，故D正确． 故选：ABD． 6．（23-24高一下·福建福州·期末）下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（    ） A．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增 B．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增 C．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大 D．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为元 【答案】AC 【分析】根据折线图直接可判断AB选项，根据极差与中位数的概念可判断CD. 【详解】A选项：2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增，A选项正确； B选项：2020年前三季度全国城镇居民人均消费支出比2019年前三季度全国城镇居民人均消费支出低，B选项错误； C选项：2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为，人均消费支出的极差为，C选项正确； D选项：将2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出从小到大排列为，，，，，，其中位数为，D选项错误； 故选：AC. 7．（23-24高一下·福建宁德·期末）若是样本数据的平均数，则（ ） A．的极差等于的极差 B．的中位数等于的中位数 C．的众数等于的众数 D．的方差大于的方差 【答案】AD 【分析】根据极差，中位数，众数的定义分析，由方差计算公式分析. 【详解】根据题意，设样本数据中，最小值为，最大值为， 对于A，因为样本数据的平均数，其极差为，而样本数据加入原样本数据的平均数，其最值和原样本数据是一样的，所以极差是一样的，即，故A正确； 对于B，因为样本数据的中位数，而样本数据的中位数为中排在中间的数，则原样本数据的中位数不一定等于新样本数据的中位数，故B错误； 对于C，因为样本数据与样本数据的数据都没有实际数据，均没办法判断众数，故C错误； 对于D， 样本数据的方差为， 样本数据的方差为，显然前者更大，故D正确． 故选：AD. 8．（23-24高一下·福建龙岩·期末）某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续5年的产量如下： 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲/kg 560 580 570 590 600 乙/kg 550 600 580 580 590 若，分别表示甲、乙两种水稻产量的平均值，，分别表示甲、乙两种水稻产量的方差，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 D．乙种水稻的产量有三年位于之间 【答案】ABD 【分析】根据方差，极差等概念即可求解. 【详解】A. ，，所以,故A正确； B. , , 所以，故B正确； C. 甲种水稻产量的极差为：，乙种水稻产量的极差为：，甲种水稻产量的极差小于乙种水稻产量的极差，故C错误； D. ，所以为，因为,所以,,所以乙种水稻的产量有三年位于之间，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 9．（23-24高一下·福建福州·期末）某学校高一年级男生共有490人，女生共有510人，为调查该年级学生的身高情况，通过按比例分配的分层抽样，得到男生和女生样本数据的平均数和方差分别为和.若，则该校高一年级全体学生身高的方差为 . 【答案】25.1 【分析】结合分层随机抽样的方差公式可得答案 【详解】学校高三年级男生共有人，所占比例为，女生个，所占比例为， 故该校高三年级全体学生的年龄方差为：， 当时，，， 故答案为：25.1. 10．（23-24高一下·福建福州·期末）在对某中学高一年级学生身高（单位：）调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的平均数为 ，方差为 . 【答案】 【分析】利用分样本平均数和方差与总样本的平均数和方差的关系，代入计算即可得出结论. 【详解】易知总样本的平均数为， 代入公式可得总样本的方差为； 因此总样本的平均数为，方差为； 故答案为：；. 四、解答题 11．（23-24高一下·福建三明·期末）5月22日第14届中美旅游高层对话开幕，中国文化和旅游部为推动文化志愿服务工作规范化，在所有报名参加中国文化推广的人员中面试选拔出“中国文化志愿者”，通过使用注册服务证对“中国文化志愿者”进行组织管理. 现随机抽取128名报名者的面试成绩，并分成五组，第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组，第五组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图. 已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.    (1)求 和 的值； (2)估计本次面试成绩平均分（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (3)根据要求，本次“中国文化志愿者”面试选拔录取率为 ，请估算被录取至少需要多少分. 【答案】(1)， (2) (3)84分 【分析】（1）第三、四、五组频率之和为0.7，求，根据总频率之和为1，求出b； （2）运用中点值代表该组数据，运用平均值求法求出即可； （3）找出频率0.93对应分数，或者93%分位数即可. 【详解】（1）由题图可知组距为10，因为第三、四、五组频率之和为0.7， 所以 ，所以 ， 所以 ，解得. （2）面试成绩平均数估计为 . （3）因为前三组频率之和为， 前四组频率之和为， 所以频率0.93对应分数落在区间 内， 那么， 解得 ， 所以面试选拔录取率为，至少需要84分. 12．（23-24高一下·福建莆田·期末）目前，国际上常用身体质量指数（缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了50名女员工、100名男员工的体检数据，通过计算他们的BMI值，得到女员工频数分布表和男员工频率分布直方图如下： 女员工频数分布表 BMI值区间 合计 频数 3 8 13 16 6 4 50    (1)估计样本中女员工BMI值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)已知样本中女员工BMI值的平均数为，方差为14.5；样本中男员工BMI值的平均数为22.56，方差为14.8．用样本估计该公司全体员工BMI值的方差； (3)根据男员工频率分布直方图，比较样本中男员工BMI值的平均数与中位数的大小．（只需写出结论，不用说明理由） 参考公式：总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则． 【答案】(1)21.06 (2)15.2 (3)平均数大于中位数 【分析】（1）利用平均数计算公式计算即得； （2）先利用加权平均数公式计算出，再将，，；，，分别代入方差公式计算即得； （3）根据直方图中右侧“拖尾”情况，即可判断平均数大于中位数. 【详解】（1）样本中女员工BMI值的平均数为： . （2）依题意，， 则得，， . （3）因男员工频率分布直方图中，右侧“拖尾”，说明数据向右偏斜，平均数受到右侧“拖尾”的影响， 而中位数则位于数据的中央，不受极端值的影响，故平均数会大于中位数. 13．（23-24高一下·福建南平·期末）某校高一年级有男生200人，女生100人．为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本量为30的样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39．下表是抽取的女生样本的数据： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高 155 158 156 157 160 161 159 162 169 163 记抽取的第i个女生的身高为，样本平均数，方差． 参考数据：，，． (1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数； (2)如果女生样本数据在之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差； (3)用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值． 【答案】(1)； (2)剩余女生样本身高的平均数与方差分别为，； (3)，. 【分析】（1）先求得抽取的女生身高在[160，165]之内的频率，进而可求解； （2）求得，从而可知为离群值，进而可求得平均数和方差； （3）先推导，代入数据即可求解. 【详解】（1）因为抽取的女生身高在[160，165]之内的频率为， 所以估计该校女生身高在[160，165]之内的人数为； （2）因为，所以， 故，则为离群值. 则剔除离群值剩下数据的平均数为：， 故剩余女生样本身高的平均数为159， 又， 则剔除169，剩余女生样本身高的方差为：； （3）采用分层抽样的方法抽取一个容量为30的样本，则男生20个，女生10个， 男生身高样本记为，均值，方差， 女生身高样本为，均值，方差 则总样本均值， 又因为，所以，同理可得， 故总样本方差 ， 所以，估计学生总体身高的平均数，标准差. 【点睛】易错点点睛：解答此类统计类题目，因为牵涉到很多数据的计算，并且数据基本都是小数，因此很容易出现计算错误，需要十分细心. 14．（23-24高一下·福建漳州·期末）漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”.五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达20万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）； (2)已知满意度分值落在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差. 【答案】(1)，众数为85，中位数为82 (2)平均数为81；方差为30 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1即可求得a的值；结合众数和中位数的含义即可求得它们的值； （2）根据平均数以及方差的计算公式，即可求得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，，解得， 由频率分布直方图可估计众数为85， 满意度分值在的频率为， 在的频率为， 所以中位数落在区间内， 所以中位数为. （2）由频率分布直方图得，满意度分值在的频率为，人数为20； 在的频率为，人数为30， 把满意度分值在记为，其平均数，方差， 在内记为，其平均数，方差， 所以满意度分值在的平均数， 根据方差的定义，满意度分值在的方差为 由，可得， 同理可得， 因此， 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$