重难点27 一次函数的图象与性质八大重难点题型-2024-2025学年八年级数学下册【重难点考点】专练（人教版）

重难点27 一次函数的图象与性质 ▲知识点1： 一次函数的概念 ◆一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【注意】①由一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④当b=0时 , y＝kx+b即 y＝kx，一次函数转化为正比例函数，所以说正比例函数是特殊的一次函数． ⑤若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． ▲知识点2：一次函数的图象和性质 ◆1、一次函数的图象：一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象是经过（0，b）、（，0）两点的一条直线， 我们称它为直线y＝kx+b（k≠0）. ◆2、一次函数的性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； 当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． ◆3、一次函数图象与系数的关系 直线y＝kx+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点. 当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴； 当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． ◆4、一次函数图象的画法： （1）两点法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 【注意】 ①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确． ②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2） 平移法：将直线y＝kx（k≠0）沿着y轴平移|b|个单位得到直线y＝kx+b． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 【注意】①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； 【题型一 一次函数的概念】 1．（2024春•昌平区校级月考）下列函数中，一次函数为（　　） A．y＝x3 B．y＝﹣2x+1 C．y D．y＝2x2+1 【分析】根据形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数进行分析即可． 【解答】解：A、不是一次函数，故此选项错误； B、是一次函数，故此选项正确； C、不是一次函数，故此选项错误； D、不是一次函数，故此选项错误； 故选：B． 【点评】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数解析式y＝kx+b的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． 2．（2024春•松江区月考）下列关系式中，一次函数是（　　） A．y1 B．y＝x2+3 C．y＝kx+b（k、b是常数） D．y＝3x 【分析】根据一次函数的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．等式的右边是分式，不是整式，不是一次函数，故本选项不符合题意； B．是二次函数，不是一次函数，故本选项不符合题意； C．当k＝0时，不是一次函数，故本选项不符合题意； D．是一次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的定义，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫一次函数． 3．下列函数中，不是一次函数的是（　　） A．y B．yx C．y3x D．y＝﹣x+4 【分析】直接根据一次函数的定义进行判断． 【解答】解：y＝﹣x+4，yx，y3x都是一次函数，而y为反比例函数． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数叫做一次函数． 4．下列函数中，y是x的一次函数的有（　　） ①y＝x﹣6；②y＝2x2+3；③y；④yx；⑤y． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【解答】解：y是x的一次函数的有：①y＝x﹣6，④yx，共2个， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数解析式的结构特征为：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． 5．有下列函数：①y＝x，②，③y＝﹣2x﹣3，④，⑤y＝x2﹣1．其中是一次函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【解答】解：①y＝x，③y＝﹣2x﹣3都符合一次函数的定义，属于一次函数； ②，④，⑤y＝x2﹣1不符合一次函数的定义，不是一次函数． 综上所述，其中一次函数的个数有2个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 【题型二 利用一次函数的定义求字母的值】 1．（2024秋•源城区期末）若函数y＝（m﹣1）x|m| +4是一次函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2 【分析】根据正比例函数的定义，令m﹣1≠0，|m|＝1即可． 【解答】解：由题意得：m﹣1≠0，|m|＝1， 解得：m＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 2．（2024春•微山县期末）已知函数y＝（m﹣3）﹣2是关于x的一次函数，则m的值是（　　） A．m＝±3 B．m≠3 C．m＝3 D．m＝﹣3 【分析】根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m﹣3≠0，再求出m即可． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣3）4是关于x的一次函数， ∴m2﹣8＝1且m﹣3≠0， 解得：m＝﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的定义，能根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m+3≠0是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数． 3．若函数y＝（m﹣1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（　　） A．±1 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】根据一次函数的定义列式计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，|m|＝1且m﹣1≠0， 解得m＝±1且m≠1， 所以，m＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 4．（2024秋•亳州期中）已知函数y＝（m﹣1）x|m|﹣3是关于x的一次函数，则m的值为 　 　． 【分析】根据一次函数的定义条件：次数最高项是一次项，且一次项系数不等于0即可求解． 【解答】解：根据题意得：m﹣1≠0且|m|＝1， 则m＝﹣1． 故答案是：﹣1． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，是解题关键． 5．（2024春•红旗区校级期末）已知函数y＝（m+1）x2﹣|m|+4，y是x的一次函数，则m的值是 　 ． 【分析】根据一次函数的定义知自变量的次数为1且其系数不为0，据此求解可得． 【解答】解：y＝（m+1）x2﹣|m|+4是关于x的一次函数， ∴， 解得：m＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝kx+b（k≠0）（k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 6．（2024春•乾安县期末）已知y＝（m﹣2）x+|m|﹣2． （1）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是一次函数？ （2）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数？ 【分析】（1）利用一次函数定义可得m﹣2≠0，再解不等式即可； （2）利用正比例函数定义可得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0，再解方程可得m的值． 【解答】解：（1）由题意得：m﹣2≠0， 解得：m≠2； （2）由题意得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0， 解得：m＝﹣2． 【点评】此题主要考查了正比例函数和一次函数定义，关键是掌握形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数． 【题型三 画一次函数的图象】 1．（2024春•河北期末）一次函数y＝﹣2x﹣2的图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据k、b的值和一次函数的性质可以得到函数y＝﹣2x﹣2的图象经过哪几个象限，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵k＝﹣2＜0，b＝﹣2＜0， ∴函数y＝﹣2x﹣2的图象经过第二、三、四象限． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，写出该函数图象经过哪几个象限． 2．（2024春•上思县期末）在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象． （1）y＝﹣3x+4． （2）y＝3x+4． 【分析】首先根据一次函数解析式计算出两个函数y＝﹣3x+4和y＝3x+4的图象分别经过的两点的坐标，再画出图象即可． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0+4＝4， 当y＝﹣2时，x＝2， 因此一次函数y＝﹣3x+4的图象经过（2，﹣2）和（0，4）； （2）当x＝0时，y＝0+4＝4， 当y＝﹣2时，x＝﹣2， 因此一次函数y＝3x+4的图象经过（﹣2，﹣2）和（0，4）； 如图所示： 【点评】此题主要考查了一次函数的图象，关键是正确掌握计算两函数图象所经过的点坐标的方法． 3．在同一平面直角坐标系中作出下列两个函数的图象．y＝﹣2x+3，y＝2x﹣1． 【分析】先作得直线y＝﹣2x，再通过平移得到直线y＝﹣2x+3； 先作得直线y＝2x，再通过平移得到直线y＝2x﹣1． 【解答】解：方法一：作直线y＝﹣2x． 当x＝0时，y＝0；当x＝﹣1时，y＝2．则该直线经过点（0，0），（﹣1，2），由两点确定一条直线作图，如图所示． 将直线y＝﹣2x向上平移3个单位得到直线y＝﹣2x+3； 作直线y＝2x． 当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝2．则该直线经过点（0，0），（1，2），由两点确定一条直线作图，如图所示． 将直线y＝2x向下平移1个单位得到直线y＝2x﹣1． 方法二：作直线y＝﹣2x+3． 当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝1．则该直线经过点（0，3），（1，1），由两点确定一条直线作图，如图所示． 作直线y＝2x﹣1． 当x＝0时，y＝﹣1；当x＝1时，y＝1．则该直线经过点（0，﹣1），（1，1），由两点确定一条直线作图，如图所示． 【点评】本题考查了一次函数图象和正比例函数图象．掌握直线的平移规律（“上加下减、左加右减”）是解题的技巧所在． 4．（2024春•新乐市校级月考）已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数． （1）求m的值； （2）在如图中画出该函数图象； （3）y的值随x的值的增大而 　 　．（填“增大”或“减小”） 【分析】（1）根据一次函数的定义，可得答案； （2）找出与x轴、y轴交点坐标，连线即可； （3）根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数，得 ， 解得m＝0， 函数解析式为y＝﹣2x+4， （2）∵y＝﹣2x+4， 当x＝0时，y＝4，当x＝2时，y＝0， 过（0，4）和（2，0）画一条直线即可， （3）∵k＝﹣2， ∴y的值随x的值的增大而减小， 故答案为：减小． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 5．（2024秋•宝安区校级期中）已知一次函数y＝﹣2x﹣6． （1）画出函数的图象； （2）求图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标； （3）求△AOB的面积． 【分析】（1）列举出函数中点的坐标，再用描点法画出图象； （2）将x＝0，y＝0代入函数解析式中，即可求出点A、B的坐标； （3）用三角形面积公式进行计算． 【解答】解：（1）图象经过（0，﹣6）；（﹣3，0）． （2）当x＝0时，y＝﹣6； 当y＝0时，x＝﹣3， ∴与x轴的交点A的坐标：（﹣3，0）； 与y轴的交点B的坐标：（0，﹣6）． （3）△AOB的面积＝|AO|×|BO|39． 【点评】本题考查了一次函数的性质和图象，解题的关键是求出函数与x轴和y轴的交点来进行解答． 【题型四 一次函数的图象的位置与系数的关系】 1．（2024秋•禅城区校级期中）若k＜0，则一次函数y＝kx+2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数y＝kx+2，k＜0和一次函数的性质，可知该函数图象经过第一、二、四象限，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+2，k＜0， ∴该函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 2．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（　　） A．k＞0，b＜0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＞0 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可确定k，b的取值范围． 【解答】解：根据一次函数y＝kx+b的图象可知k＞0，b＜0， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 3．（2024秋•东台市期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），y随着x的增大而增大，且kb＜0，则该一次函数在直角坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数图象与系数的关系解答即可． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），y随着x的增大而增大， ∴k＞0， ∵kb＜0， ∴b＜0， ∴一次函数y＝kx+b图象经过第一、三、四象限， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是关键． 4．（2024秋•大丰区期末）已知一次函数y＝﹣mx+n﹣2的图象如图所示，则m、n的取值范围是（　　） A．m＞0，n＜2 B．m＜0，n＜2 C．m＜0，n＞2 D．m＞0，n＞2 【分析】根据一次函数图象经过第一、二、三象限，即可得出﹣m＞0、n﹣2＞0，解之即可得出结论． 【解答】解：∵一次函数y＝﹣mx+n﹣2的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴m＜0，n＞2． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键． 5．直线y＝kx+b和y＝bx+k在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k、b取值范围相同的即得答案． 【解答】解：A、两条直线反映出k＞0和b＜0，一致，故本选项正确； B、一条直线反映b＞0，一条直线反映b＜0，故本选项错误； C、一条直线反映k＞0，一条直线反映k＜0，故本选项错误； D、一条直线反映k＞0，一条直线反映k＜0，故本选项错误． 故选：A． 【点评】此题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，关键是掌握当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 6．（2024秋•太仓市期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），y随着x的增大而减小，且kb＜0，则该一次函数在直角坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据题意判断出k、b的符号，进而可得出结论． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随x的增大而减小， ∴k＜0． ∵kb＜0， ∴b＞0， ∴此函数的图象经过一、二、四象限． 故选：C． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 【题型五 一次函数与正比例函数之间的关系】 1．（2023•碑林区校级三模）将直线y＝kx向右平移3个单位得到直线y＝2x+b，则k，b的值分别为（　　） A．k＝2，b＝﹣6 B．k＝2，b＝6 C．k＝﹣2，b＝﹣6 D．k＝﹣2，b＝6 【分析】根据函数图象平移的法则得出平移后的解析式，求出k，b的值即可． 【解答】解：直线y＝kx向右平移3个单位的解析式为y＝k（x﹣3）＝kx﹣3k， ∵直线y＝kx向右平移3个单位得到直线y＝2x+b， ∴k＝2，b＝﹣3k， ∴b＝﹣6． 故选：A． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 2．（2024秋•泗阳县期末）一次函数y＝2x+1的图象，可由函数y＝2x的图象（　　） A．向上平移1个单位长度而得到 B．向左平移1个单位长度而得到 C．向右平移1个单位长度而得到 D．向下平移1个单位长度而得到 【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把一次函数y＝2x的图象向上平移1个单位后所得直线的解析式为：y＝2x+1． 故选：A． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 3．（2024•雁塔区校级一模）在平面直角坐标系中，将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为（m，0），则m的值为 　 　． 【分析】根据平移的规律求出平移后的直线解析式，然后代入（m，0），即可求出m的值． 【解答】解：将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到y＝3（x+2）﹣3，即y＝3x+3， ∵平移后的直线与x轴交于（m，0）， ∴0＝3m+3， 解得m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 4．（2024秋•禅城区期末）将直线y＝2x向上平移6个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积是 　 ． 【分析】根据函数图像“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，可得答案． 【解答】解：直线y＝2x向上平移6个单位长度得到：y＝2x+6， 令y＝0，即2x+6＝0， 解得x＝﹣3， 令x＝0，得y＝6， 所以直线与x轴和y轴的交点坐标分别为：（﹣3，0）与（0，6）， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为：． 故答案为：9． 【点评】本题考查了一次函数的几何变换，以及图像与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”． 5．（2024秋•镇江期末）将正比例函数y＝3x的图象平移后经过点（1，4）． （1）求平移后的函数表达式； （2）求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【分析】（1）根据平移不改变k的值可设y＝3x+b，然后将点（1，4）代入即可得出直线的函数解析式； （2）根据坐标轴上点的坐标特征求得直线与坐标轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可． 【解答】解：（1）设平移后的函数解析式为y＝3x+b， 则由题意，得4＝3×1+b， 解得：b＝1． ∴函数解析式为：y＝3x+1． （2）令x＝0，则y＝1； 令y＝0，则3x+1＝0， 解得x， ∴直线y＝3x+1与坐标轴的交点坐标为（，0），（0，1）； ∴平移后的函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 【题型六 利用一次函数的性质解决问题】 1．（2024秋•平远县期末）关于函数y＝﹣2x+1，下列结论错误的是（　　） A．图象经过点（0，1） B．y随着x的增大而减小 C．图象与直线y＝﹣2x+3平行 D．图象经过第一、三、四象限 【分析】根据函数解析式得出直线与坐标轴交点、增减性、一次函数的平移，直线经过的象限，逐项分析判断即可求解． 【解答】解：A、∵y＝﹣2x+1，当x＝0时，y＝1， ∴图象经过点（0，1），故A正确，不符合题意； B、∵k＝﹣2＜0， ∴y随着x的增大而减小，故B正确，不符合题意； C、图象与直线y＝﹣2x+3平行，故C正确，不符合题意； D、∵k＜0，b＞0， ∴图象经过第一、二、四象限，故D不正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是关键． 2．（2025•石楼县一模）已知直线y＝2x+b过点（﹣1，y1），（﹣3，y2），则y1和y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定 【分析】由k＝2＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合﹣1＞﹣3，即可得出y1＞y2． 【解答】解：∵k＝2＞0， ∴y随x的增大而增大． 又∵直线y＝2x+b过点（﹣1，y1），（﹣3，y2），且﹣1＞﹣3， ∴y1＞y2． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 3．（2025•西安一模）一次函数y＝x﹣b2﹣1（b为常数）的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据一次函数的性质和题目中的函数解析式，可以写出该函数经过的哪几个象限，不经过哪个象限． 【解答】解：∵一次函数y＝x﹣b2﹣1，﹣b2﹣1＜0， ∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 4．（2025•市南区校级一模）若实数a，b满足，则函数y＝ax+b的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，进而可得出结论． 【解答】解：∵实数a，b满足，即（a﹣1）20， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝1，b＝2， ∴函数y＝ax+b的解析式为y＝x+2， ∴此函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，非负数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 5．（2024秋•东明县校级期末）已知一次函数y＝（a﹣2）x﹣3的图象上两个点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2．则a　 　2．（填＞，＜，＝） 【分析】由当x1＜x2时，y1＞y2，可得出y随x的增大而减小，结合一次函数的性质，可得出a﹣2＜0，解之即可得出结论． 【解答】解：∵当x1＜x2时，y1＞y2， ∴y随x的增大而减小， ∴a﹣2＜0， ∴a＜2． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 6．（2024秋•玄武区期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x+1图象上的两个点，若x1﹣x2＜0，则y1　 　y2．（填“＞”“＜”或“＝”） 【分析】由k＝﹣5＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合x1﹣x2＜0，可得出y1＞y2． 【解答】解：∵k＝﹣5＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x+1图象上的两个点，且x1﹣x2＜0， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 7．（2025•莱芜区一模）在一次函数y＝（k﹣5）x﹣3中，y随x的增大而减小，且k为正整数，则k的值可以是　 　 （任意写出一个符合条件的数即可）． 【分析】由y随x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出k﹣5＜0，解之即可得出k的取值范围，在其取值范围内任取一正整数即可得出结论． 【解答】解：∵在一次函数y＝（k﹣5）x﹣3中，y随x的增大而减小， ∴k﹣5＜0， 解得：k＜5， ∵k为正整数， ∴k值可以为1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 8．（2024春•邢台期中）已知一次函数y＝（2m+4）x+（3﹣m）． （1）当y随x的增大而增大，求m的取值范围； （2）若图象经过一、二、三象限，求m的取值范围； （3）若m＝1，当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围． 【分析】（1）根据一次函数的性质得到2m+4＞0，然后解不等式； （2）根据一次函数的性质得到，然后解不等式组； （3）先确定解析式，再分别计算出当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝2时，y＝14；然后根据一次函数的性质确定函数值的范围． 【解答】解：（1）根据题意得2m+4＞0， 解得m＞﹣2； （2）根据题意得， 解得﹣2＜m＜3； （3）将m＝1代入y＝（2m+4）×1+（3﹣m）得，y＝6x+2， 当x＝﹣1时，y＝﹣4； 当x＝2时，y＝14； 因为k＝6＞0，所以y随x的增大而增大，所以﹣4≤y≤14． 【点评】本题考查了一次函数图象的性质：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 【题型七 一次函数的平移】 1．（2024春•潮阳区校级期末）把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（　　） A．y＝2x+5 B．y＝2x+6 C．y＝2x﹣4 D．y＝2x+4 【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可． 【解答】解：把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位， 那么平移后所得图象的函数解析式为：y＝2x+1﹣5，即y＝2x﹣4． 故选：C． 【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键． 2．（2024秋•安庆期中）将直线y＝3x﹣1平移后，得到直线y＝3x+6，则原直线（　　） A．沿y轴向上平移了7个单位 B．沿y轴向下平移了7个单位 C．沿x轴向左平移了7个单位 D．沿x轴向右平移了7个单位 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【解答】解：将直线y＝3x﹣1沿y轴向上平移了7个单位得到直线y＝3x+6， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数图象的平移，根据平移规律：“左加右减，上加下减”，即可求解． 4．（2024秋•新城区校级期末）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+b的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点（﹣1，0），则b的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 【分析】将点（﹣1，0），先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到平移后的点，该点一次函数y＝2x+b的图象上，利用待定系数法求出b的值即可． 【解答】解：将点（﹣1，0），先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点（﹣1+3，0+2），即（2，2）， 由题意，得：（2，2）在一次函数y＝2x+b的图象上， ∴2＝2×2+b， ∴b＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查一次函数图象的平移．将图象的平移，转化为点的平移，利用待定系数法求解析式是解题的关键． 5．（2024秋•市中区校级期末）在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（　　） A．将1向右平移4个单位长度 B．将1向左平移4个单位长度 C．将1向上平移4个单位长度 D．将1向下平移4个单位长度 【分析】利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出答案． 【解答】解：设将直线y＝6x﹣2向左平移a个单位后得到直线y＝6x+2（a＞0）， ∴6（x+a）﹣2＝6x+2， 解得：a， 故将直线y＝6x﹣2向左平移个单位后得到直线y＝6x+2， 同理可得，将直线y＝6x﹣2向上平移4个单位后得到直线y＝6x+2， 观察选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数图象与平移变换，解题的关键是掌握一次函数图象的平移规律：右加左减，上加下减． 6．（2024•汉滨区四模）关于x的一次函数y＝kx+b的图象是由直线y＝2x+1左移2个单位再向上移3个单位得到的，则k+b的值是 　 　． 【分析】根据一次函数图象平移的性质即可得出平移后的解析式，从而求得k、b的值． 【解答】解：∵一次函数y＝2x+1的左移2个单位，再向上移3个单位后所得图象的解析式是：y＝2（x+2）+1+3，即y＝2x+8， ∴k＝2，b＝8， ∴k+b＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键． 7．（2024春•舞阳县期末）已知平面直角坐标系如图所示： （1）画出函数y＝2x+1的图象； （2）写一条关于这个一次函数图象的性质：　 　； （3）把直线y＝2x+1向下平移一个单位，得到的函数表达式是 　 ． 【分析】（1）根据一次函数特殊点法即可作出一次函数图象； （2）根据一次函数的性质即可求解； （3）根据一次函数的平移性质即可求解． 【解答】解：（1）如图所示， （2）函数图象的增减性，y随x的增大而增大， 故答案为：y随x的增大而增大； （3）由一次函数的平移性质可知，把直线y＝2x+1向下平移一个单位，得到y＝2x+1﹣1，即y＝2x， 故答案为：y＝2x． 【点评】本题考查了一次函数图象及性质，一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 8．（2024秋•礼泉县期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数y＝x的图象向左平移m个单位长度得到，且经过点A（1，2）． （1）求m的值； （2）若这个一次函数的图象与x轴交于点B，求△AOB的面积． 【分析】（1）根据平移的性质可设一次函数的表达式为y＝x+m，再把点A（1，2）代入求出m的值即可； （2）求出B点坐标，利用三角形的面积公式解答即可． 【解答】解：（1）∵一次函数的图象由函数y＝x向左平移m个单位长度得到， ∴设一次函数的表达式为y＝x+m． ∵一次函数的图象经过点A（1，2）， ∴2＝1+m， 解得m＝1； （2）由（1）得一次函数的表达式为y＝x+1， ∵一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点B， 令y＝0，则x＝﹣1， ∴B（﹣1，0）， ∴， ∴△AOB的面积为1． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 【题型八 一次函数的图象上点的坐标特征】 1．（2024秋•庐阳区校级期末）如图．在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A（1，1），那么A2023的纵坐标是（　　） A． B． C． D． 【分析】设点A2，A3，A4…，A2023坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题． 【解答】解：如图， ∵A1（1，1）在直线上， ∴b， ∴yx， 设A2（x2，y2），A3（x3，y3），A4（x4，y4），…，A2022（x2022，y2022）， 则有y2x2， y3x3， … y2021x2021， 又∵△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形， ∴x2＝2y1+y2， x3＝2y1+2y2+y3， … x2023＝2y1+2y2+2y3+…+2y2022+y2023， 将点坐标依次代入直线解析式得到： y2y1+1， y3y1y2+1y2， y4y3， … y2022y2021， 又∵y1＝1， ∴y2， y3＝（）2， y4＝（）3， … y2023＝（）2022， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝﹣4x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段BC上的点D到直线AB的距离DE长为3，则点D的坐标为（　　） A．（，） B．（，） C．（，1） D．（，） 【分析】根据解析式，可得函数与坐标轴的交点坐标，根据勾股定理，可得AB的长，根据S△ABC＝△ABD+△ACD，可得点D到x轴的距离，代入直线y＝﹣4x+4，可得答案． 【解答】解：∵直线yx+4与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当x＝0时，y＝4，当y＝0时，0x+4，解得x＝﹣3， ∴A（﹣3，0），B（0，4）， ∴AB5， ∵直线y＝﹣4x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B， ∴当y＝0时，0＝﹣4x+4，解得x＝1， ∴C（1，0）， ∴AC＝4， 过点D作DH⊥x轴于H， ∵S△ABC＝△ABD+△ACD，点D到直线AB的距离DE长为3， ∴4×45×34DH， ∴DH， ∴点D的纵坐标为， ∵点D在线段BC：y＝﹣4x+4上， ∴4x+4，解得x， ∴点D的坐标为（，）． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 3．（2024春•青秀区校级期中）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，如图所示，依次作正方形A1B1C1O1，正方形A2B2C2O1，…，正方形AnBn∁nOn，使得点A1，A2，A3…，在直线l上，点C1，C2，C3，…，在y轴正半轴上，则点B2023的坐标为 　 　． 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A1、B1的坐标，同理可得出A2、A3、A4、A5、…及B2、B3、B4、B5、…的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“Bn（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数）”，依此规律代入n＝2023即可得出点B2023的坐标． 【解答】解：当y＝0时，有x﹣1＝0， 解得：x＝1， ∴点A1的坐标为（1，0）． ∵四边形A1B1C1O为正方形， ∴点B1的坐标为（1，1）． 同理，可得出：A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），A5（16，15），…， ∴B2（2，3），B3（4，7），B4（8，15），B5（16，31），…， ∴Bn（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数）， ∴点B2023的坐标是（22022，22023﹣1）． 故答案为：（22022，22023﹣1）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及点的坐标的规律，根据点的坐标的变化找出变化规律“Bn（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数）”是解题的关键． 4．点P（x，y）在第一象限，且x+y＝4，点A坐标（3，0），设△OPA面积为S． （1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围； （2）并在图中网格中建立直角坐标系中画出函数S的图象； （3）当△OPA面积是5时，求点P的坐标． 【分析】（1）根据题得出OA＝3，点P的纵坐标为y＝4﹣x，然后根据三角形面积公式得到S与x的关系，然后利用x＞0，y＞0确定x的范围； （2）利用两点法画出函数图象即可； （3）把S＝5代入解析式即可求得点P的横坐标，进而求得纵坐标． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（3，0）． ∴OA＝3， ∵x+y＝4， ∴y＝4﹣x， ∴S3×y（4﹣x）， 即Sx+6 （0＜x＜4）； （2）画出函数S的图象如图： （3）∵△OPA面积是5， x+6＝5， 解得x， ∴y＝4， ∴点P的坐标为． 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 5．如图，等边△OAB边长为4，过点A的直线yx+m与x轴交于点E． （1）求点A、E的坐标及m的值； （2）求证：OA⊥AE． 【分析】（1）根据题意和图形，可以求得点A、点E的坐标和m的值； （2）根据（1）中的结果，可以求得OA、AE、OE的长，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【解答】解：（1）作AD⊥x轴于点D， ∵等边△OAB边长为4， ∴OB＝4， ∴OD＝BD＝2， ∴AD， ∴点A（2，2）， ∵点A在直线yx+m上， ∴， 解得，m， ∴yx， 当y＝0时，x＝8， ∴点E（8，0）， 即点A（2，2），点E（8，0），m； （2）证明：∵点D（2，0），点E（8，0）， ∴OD＝2，OE＝8， ∴DE＝OE﹣OD＝6， ∵AD＝2， ∴AE， ∵OA＝4，OE＝8， ∴，OE2＝82＝64， ∴OA2+AE2＝OE2， ∴△OAE是直角三角形，∠OAE＝90°， ∴OA⊥AE． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 6．（2025•河东区模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，AC为对角线，其中OA＝3． （1）求点B，C的坐标； （2）求AC所在直线的解析式； （3）已知点E（8，4），问：在直线AC上是否存在一点P，使得PB+PE最小？若存在，求点P的坐标与PB+PE的最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由正方形的性质得AB＝BC＝OC＝OA＝3，从而可求出点B，C的坐标； （2）直接运用待定系数法求解即可； （3）连接BO，OE，直线OE与直线AC的交点即为点P，运用待定系数法求出OE的解析式，联立方程组可求出点P的坐标，再运用勾股定理求出OE的长即可解决问题． 【解答】解：（1）∵四边形OABC是正方形，OA＝3， ∴AB＝BC＝OC＝OA＝3，AB⊥x轴， ∴B点坐标为（3，3），C点坐标为（0，3）； （2）∵OA＝3， ∴A（3，0）． 又C（0，3）． 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 把A，C两点代入解析式得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+3； （3）连接BO，OE，直线OE与直线AC的交点即为点P， ∵四边形OABC是正方形， ∴点B与O关于直线AC对称， ∴OE的长即为PB+PE的最小值． ∴直线OE与直线AC的交点即为点P． 设直线OE的解析式为：y＝kx， 把点E（8，4）代入解析式得：6k＝3， 解得，， ∴直线OE的解析式为：． 联立方程组， 解得，，∴点P的坐标（2，1）． 过点E作EF⊥x轴，垂足为F， ∴． 所以PB+PE的最小值为． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，待定系数法求一次函数解析式，轴对称﹣最短路线问题， 1．下列函数关系式：①y＝x；②y＝11﹣2x；③y＝x2+2；④y，其中一次函数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据一次函数的定义解答即可． 【解答】解：①y＝x是一次函数； ②y＝11﹣2x是一次函数； ③y＝x2+2是二次函数； ④y是反比例函数． 一次函数有2个， 故选：B． 【点评】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握定义是解题关键．一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 2．（2024秋•榆次区校级期末）下列图象中，表示直线y＝x﹣1的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接根据一次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：一次函数y＝x﹣1中， ∵k＝1＞0，b＝﹣1＜0， ∴函数图象经过一、三、四象限． 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＜0时，函数图象经过一、三、四象限是解题的关键． 3．（2024秋•广陵区期末）已知点，（1，y2），（﹣2，y3）都在直线上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y3＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1 【分析】由k0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合2＜1，即可得出y2＜y3＜y1． 【解答】解：∵k0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点，（1，y2），（﹣2，y3）都在直线上，且2＜1， ∴y2＜y3＜y1． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 4．（2024秋•碑林区校级期末）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（　　） A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3 【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【解答】解：直线y＝2x向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝2（x﹣2）+1， 即y＝2x﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 5．（2024•广阳区一模）一次函数y＝kx+b（k≠0）满足下列两个条件：①y随x的增大而减小；②当x＜2时，y＞0．符合上述两个条件的一次函数表达式可以为（　　） A．y＝x+1 B．y＝﹣2x+4 C．y＝﹣x+1 D．y＝2x+4 【分析】根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：因为函数y随x的增大而减小，所以k＜0，排除A，D， 因为当x＜2时，y＞0，排除C， 故选：B． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，关键是掌握一次函数的性质． 6．（2024秋•莲池区校级期末）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，则一次函数y＝x+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数经过第二、四象限，得出k的取值范围，进而解答即可． 【解答】解：因为正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限， 所以k＜0， 所以一次函数y＝x+k的图象经过一、三、四象限， 故选：B． 【点评】此题考查正比例函数的图象，关键是根据正比例函数经过第二、四象限，得出k的取值范围． 7．（2025•金水区校级开学）当1≤x≤3时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　） A．﹣2或0 B．0或1 C．﹣2或﹣3 D．﹣3或1 【分析】分两种情况，利用一次函数的性质得到关于m的方程，解方程即可． 【解答】解：当m+1＞0，即m＞﹣1时，y随x的增大而增大， ∴当x＝3时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值4， ∴3（m+1）+m2+1＝4， 解得m1＝0，m2＝﹣3（舍去）， 当m+1＜0，即m＜﹣1时，y随x的增大而减小， ∴当x＝1时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值4， ∴（m+1）+m2+1＝4， 解得m1＝﹣2，m2＝1（舍去）， 综上，当1≤x≤3时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值4，则实数m的值为0或﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 8．（2024春•武山县校级月考）已知函数y＝（k﹣2）b是关于x的一次函数，则k的值为 　　 ． 【分析】根据一次函数的定义列出关于k的不等式组，求出k的值即可． 【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）b是关于x的一次函数， ∴， ∴k＝﹣2． 故答案为：k＝﹣2． 【点评】本题考查的是一次函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数是解题的关键． 9．（2024秋•大丰区期末）已知一次函数的函数值y随自变量x的增大而减小，请写出符合条件的一次函数解析式 ．（答案不唯一，写出一个即可） 【分析】根据一次函数的函数值y随自变量x的增大而减小可得，一次函数y＝kx+b中，k＜0．根据此可以得出一次函数解析式． 【解答】解：∵一次函数的函数值y随自变量x的增大而减小． ∴一次函数y＝kx+b中，k＜0． 故符合条件的一次函数只要k＜0即可． 故答案为：y＝﹣x+1（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数y＝kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 10．（2024春•长乐区期中）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在一次函数y＝（m﹣1）x+n的图象上，当x1﹣x2＜0时，有y1﹣y2＞0，则m的取值范围是 　 　 ． 【分析】先根据当x1＜x2时，有y1＞y2，得到y随x的增大而减小，所以的比例系数小于0，即可求解． 【解答】解：∵x1﹣x2＜0，即x1＜x2，y1﹣y2＞0，即y1＞y2， ∴一次函数随着x的增大而减小， ∴m﹣1＜0， ∴m＜1， 故答案为：m＜1． 【点评】本题考查一次函数的图象性质，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x增大而增大；当k＜0时，y将随x的增大而减小是解题的关键． 11．（2025春•上海校级月考）已知直线y＝kx+b（k≠0）经过第一、三、四象限，那么直线y＝﹣kx﹣b（k≠0）经过第　 　 象限． 【分析】根据k、b的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系进行判断即可得出答案． 【解答】解：由题意得，k＞0，b＜0， ∴﹣k＜0，﹣b＞0， ∴直线y＝﹣kx﹣b（k≠0）经过第一、二、四象限， 故答案为：一、二、四． 【点评】本题考查了一次函数的性质，熟知对于一次函数y＝kx+b（k≠0），当k＞0时，一次函数图象必过一、三象限；当k＜0时，一次函数图象必过二、四象限；当b＞0时，一次函数图象与y轴交于正半轴；当b＜0时，一次函数图象与y轴交于负半轴；或者说：当k＞0，b＞0时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键． 12．（2024秋•西湖区校级期末）已知直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，且点（3，1）在该直线上，设m＝3k﹣b，则m的取值范围是 　 ． 【分析】先利用一次函数图象上点的坐标特征得到b＝﹣3k+1，再利用一次函数与系数的关系得到k＞0，b＞0，则k的范围为0＜k，接着用k表示m，然后根据一次函数的性质求m的范围． 【解答】解：把（3，1）代入y＝kx+b得3k+b＝1，b＝﹣3k+1， 因为直线y＝kx+b经过第一、二、三象限， 所以k＞0，b＞0，即﹣3k+1＞0， 所以k的范围为0＜k， 因为m＝3k﹣b＝3k﹣（﹣3k+1）＝6k﹣1， 所以m的范围为﹣1＜m＜1． 故答案为：﹣1＜m＜1． 【点评】本题考查了一次函数与系数的关系，解决本题的关键是用k表示出m的值． 13．已知：一次函数y＝（m﹣3）x+（2﹣m）， （1）函数值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围； （2）函数图象与y轴的交点于x下方，求m的取值范围； （3）函数图象经过二、三、四象限，求m的取值范围； （4）当m＝4时，求该直线与两坐标轴所围成的面积． 【分析】根据一次函数图象的性质来求确定系数的符号． 【解答】解：（1）∵函数值y随自变量x的增大而减小， ∴m﹣3＜0， 解得，m＜3； （2）∵函数图象与y轴的交点于x下方， ∴2﹣m＜0， 解得，m＞2． 又m﹣3≠0即m≠3． 综上所述，m的取值范围是m＞2且m≠3； （3）∵函数图象经过二、三、四象限， ∴， 解得，2＜m＜3； （4）当m＝4时，该函数解析式为y＝x﹣2． 当x＝0时，y＝﹣2；当y＝0时，x＝2， 则该直线与两坐标轴所围成的面积是：|﹣2|×2＝2． 【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 14．（2024春•天河区校级期中）求作y＝x﹣2的图象． （1）写出与x轴、y轴的交点A、B的坐标； （2）求三角形AOB的面积． 【分析】（1）分别令y＝0和x＝0，即可找到A、B两点的坐标． （2）由图象易知△AOB为直角三角形，找到OA、OB的值即可计算出其面积． 【解答】解：y＝x﹣2图象如下图所示： （1）当x＝0，则y＝﹣2；当y＝0，则x＝2； 故A（2，0）、B（0，﹣2）， （2）由图象可知： △AOB为直角三角形，其中OA＝OB＝2， ∴S△AOB2． 【点评】本题考查一次函数的图象特点，熟练一次函数性质以及数形结合是解决本题的关键． 15．（2024秋•徐州期末）已知一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）． （1）求k的值； （2）请在图中画出该函数的图象； （3）已知A（2，0），P为图象上的动点，连接AP，则AP的最小值为 　 　． 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）利用两点画出函数的图象； （3）线段OP的最小值，就是原点到已知直线的距离，可以根据所构建的三角形面积一样来求OP； 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）． ∴﹣3k+4＝0， ∴k； （2）由函数y＝kx+4可知直线与y轴的交点为（0，4）， （3）作AP⊥BC于P，此时AP是最小值， ∵A（2，0），B（0，4），C（3，0）， ∴BC＝5，AC＝5， ∵CA•OB， ∴5×4＝5AP， ∴AP＝4． ∴AP的最小值是4， 故答案为：4． 【点评】本题考查一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用两点之间的距离公式以及面积法是解决本题的关键． 16．（2025•石家庄一模）定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与正比例函数y＝﹣x的图象的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）图象的“亮点”，例如，求一次函数y＝﹣2x﹣1图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数y＝﹣2x﹣1图象的“亮点”为（﹣1，1）． （1）一次函数y＝2x﹣3图象的“亮点”为　 　 ； （2）一次函数y＝mx+n图象的“亮点”为（2，n+1），求m，n的值； （3）若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数y＝kx+4的图象上没有“亮点”，点P在y轴上，S△ABP，直接写出满足条件的点P的坐标． 【分析】（1）联立一次函数解析式y＝2x﹣3与正比例函数y＝﹣x，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为（2，n+1），代入y＝﹣x求得n，进而代入y＝mx+n求得m即可； （3）根据题意可得k＝﹣1，求出OA＝4，OB＝4，然后根据三角形面积公式求出BP＝3，进而可求出点P的坐标． 【解答】解：（1）由定义可知，一次函数y＝2x﹣3的“亮点”为一次函数解析式y＝2x﹣3与正比例函数y＝﹣x的交点， 即， 解得， ∴一次函数y＝2x﹣3的“亮点”为（1，﹣1）； （2）根据定义可得，点（2，n+1）在y＝﹣x上， ∴n+1＝﹣2， 解得n＝﹣3， 点（2，n+1）即（2，﹣2）在y＝mx+n上， ∴﹣2＝2m﹣3， 解得； （3）∵直线y＝kx+4上没有“亮点”， ∴直线y＝kx+4与y＝﹣x平行， ∴k＝﹣1， ∴y＝﹣x+4， 令x＝0，则y＝4， 令y＝0，则x＝4， ∴A（4，0），B（0，4）， ∴OA＝4，OB＝4， ∵， ， ∴， ∵4+3＝7，4﹣3＝1， ∴P（0，7）或（0，1）． 【点评】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点27 一次函数的图象与性质 ▲知识点1： 一次函数的概念 ◆一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【注意】①由一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④当b=0时 , y＝kx+b即 y＝kx，一次函数转化为正比例函数，所以说正比例函数是特殊的一次函数． ⑤若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． ▲知识点2：一次函数的图象和性质 ◆1、一次函数的图象：一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象是经过（0，b）、（，0）两点的一条直线， 我们称它为直线y＝kx+b（k≠0）. ◆2、一次函数的性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； 当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． ◆3、一次函数图象与系数的关系 直线y＝kx+b（k≠0）的位置由k和b的符号决定．其中k决定直线从左到右呈上升还是下降趋势；b决定直线与y轴的交点的位置是正半轴，负半轴，还是原点. 当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴； 当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． ◆4、一次函数图象的画法： （1）两点法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 【注意】 ①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确． ②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2） 平移法：将直线y＝kx（k≠0）沿着y轴平移|b|个单位得到直线y＝kx+b． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 【注意】①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； 【题型一 一次函数的概念】 1．（2024春•昌平区校级月考）下列函数中，一次函数为（　　） A．y＝x3 B．y＝﹣2x+1 C．y D．y＝2x2+1 2．（2024春•松江区月考）下列关系式中，一次函数是（　　） A．y1 B．y＝x2+3 C．y＝kx+b（k、b是常数） D．y＝3x 3．下列函数中，不是一次函数的是（　　） A．y B．yx C．y3x D．y＝﹣x+4 4．下列函数中，y是x的一次函数的有（　　） ①y＝x﹣6；②y＝2x2+3；③y；④yx；⑤y． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．有下列函数：①y＝x，②，③y＝﹣2x﹣3，④，⑤y＝x2﹣1．其中是一次函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型二 利用一次函数的定义求字母的值】 1．（2024秋•源城区期末）若函数y＝（m﹣1）x|m| +4是一次函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2 2．（2024春•微山县期末）已知函数y＝（m﹣3）﹣2是关于x的一次函数，则m的值是（　　） A．m＝±3 B．m≠3 C．m＝3 D．m＝﹣3 3．若函数y＝（m﹣1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（　　） A．±1 B．﹣1 C．1 D．2 4．（2024秋•亳州期中）已知函数y＝（m﹣1）x|m|﹣3是关于x的一次函数，则m的值为 　 　． 5．（2024春•红旗区校级期末）已知函数y＝（m+1）x2﹣|m|+4，y是x的一次函数，则m的值是 　 ． 6．（2024春•乾安县期末）已知y＝（m﹣2）x+|m|﹣2． （1）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是一次函数？ （2）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数？ 【题型三 画一次函数的图象】 1．（2024春•河北期末）一次函数y＝﹣2x﹣2的图象是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•上思县期末）在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象． （1）y＝﹣3x+4． （2）y＝3x+4． 3．在同一平面直角坐标系中作出下列两个函数的图象．y＝﹣2x+3，y＝2x﹣1． 4．（2024春•新乐市校级月考）已知函数y＝（m﹣2）x|m﹣1|+4是关于x的一次函数． （1）求m的值； （2）在如图中画出该函数图象； （3）y的值随x的值的增大而 　 　．（填“增大”或“减小”） 5．（2024秋•宝安区校级期中）已知一次函数y＝﹣2x﹣6． （1）画出函数的图象； （2）求图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标； （3）求△AOB的面积． 【题型四 一次函数的图象的位置与系数的关系】 1．（2024秋•禅城区校级期中）若k＜0，则一次函数y＝kx+2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（　　） A．k＞0，b＜0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＞0 3．（2024秋•东台市期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），y随着x的增大而增大，且kb＜0，则该一次函数在直角坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•大丰区期末）已知一次函数y＝﹣mx+n﹣2的图象如图所示，则m、n的取值范围是（　　） A．m＞0，n＜2 B．m＜0，n＜2 C．m＜0，n＞2 D．m＞0，n＞2 5．直线y＝kx+b和y＝bx+k在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋•太仓市期末）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），y随着x的增大而减小，且kb＜0，则该一次函数在直角坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【题型五 一次函数与正比例函数之间的关系】 1．（2023•碑林区校级三模）将直线y＝kx向右平移3个单位得到直线y＝2x+b，则k，b的值分别为（　　） A．k＝2，b＝﹣6 B．k＝2，b＝6 C．k＝﹣2，b＝﹣6 D．k＝﹣2，b＝6 2．（2024秋•泗阳县期末）一次函数y＝2x+1的图象，可由函数y＝2x的图象（　　） A．向上平移1个单位长度而得到 B．向左平移1个单位长度而得到 C．向右平移1个单位长度而得到 D．向下平移1个单位长度而得到 3．（2024•雁塔区校级一模）在平面直角坐标系中，将直线y＝3x先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为（m，0），则m的值为 　 　． 4．（2024秋•禅城区期末）将直线y＝2x向上平移6个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积是 　 ． 5．（2024秋•镇江期末）将正比例函数y＝3x的图象平移后经过点（1，4）． （1）求平移后的函数表达式； （2）求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【题型六 利用一次函数的性质解决问题】 1．（2024秋•平远县期末）关于函数y＝﹣2x+1，下列结论错误的是（　　） A．图象经过点（0，1） B．y随着x的增大而减小 C．图象与直线y＝﹣2x+3平行 D．图象经过第一、三、四象限 2．（2025•石楼县一模）已知直线y＝2x+b过点（﹣1，y1），（﹣3，y2），则y1和y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定 3．（2025•西安一模）一次函数y＝x﹣b2﹣1（b为常数）的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2025•市南区校级一模）若实数a，b满足，则函数y＝ax+b的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024秋•东明县校级期末）已知一次函数y＝（a﹣2）x﹣3的图象上两个点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2．则a　 　2．（填＞，＜，＝） 6．（2024秋•玄武区期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x+1图象上的两个点，若x1﹣x2＜0，则y1　 　y2．（填“＞”“＜”或“＝”） 7．（2025•莱芜区一模）在一次函数y＝（k﹣5）x﹣3中，y随x的增大而减小，且k为正整数，则k的值可以是　 　 （任意写出一个符合条件的数即可）． 8．（2024春•邢台期中）已知一次函数y＝（2m+4）x+（3﹣m）． （1）当y随x的增大而增大，求m的取值范围； （2）若图象经过一、二、三象限，求m的取值范围； （3）若m＝1，当﹣1≤x≤2时，求y的取值范围． 【题型七 一次函数的平移】 1．（2024春•潮阳区校级期末）把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（　　） A．y＝2x+5 B．y＝2x+6 C．y＝2x﹣4 D．y＝2x+4 2．（2024秋•安庆期中）将直线y＝3x﹣1平移后，得到直线y＝3x+6，则原直线（　　） A．沿y轴向上平移了7个单位 B．沿y轴向下平移了7个单位 C．沿x轴向左平移了7个单位 D．沿x轴向右平移了7个单位 4．（2024秋•新城区校级期末）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+b的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点（﹣1，0），则b的值为（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 5．（2024秋•市中区校级期末）在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（　　） A．将1向右平移4个单位长度 B．将1向左平移4个单位长度 C．将1向上平移4个单位长度 D．将1向下平移4个单位长度 6．（2024•汉滨区四模）关于x的一次函数y＝kx+b的图象是由直线y＝2x+1左移2个单位再向上移3个单位得到的，则k+b的值是 　 　． 7．（2024春•舞阳县期末）已知平面直角坐标系如图所示： （1）画出函数y＝2x+1的图象； （2）写一条关于这个一次函数图象的性质：　 　； （3）把直线y＝2x+1向下平移一个单位，得到的函数表达式是 　 ． 8．（2024秋•礼泉县期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数y＝x的图象向左平移m个单位长度得到，且经过点A（1，2）． （1）求m的值； （2）若这个一次函数的图象与x轴交于点B，求△AOB的面积． 【题型八 一次函数的图象上点的坐标特征】 1．（2024秋•庐阳区校级期末）如图．在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A（1，1），那么A2023的纵坐标是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝﹣4x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段BC上的点D到直线AB的距离DE长为3，则点D的坐标为（　　） A．（，） B．（，） C．（，1） D．（，） 3．（2024春•青秀区校级期中）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，如图所示，依次作正方形A1B1C1O1，正方形A2B2C2O1，…，正方形AnBn∁nOn，使得点A1，A2，A3…，在直线l上，点C1，C2，C3，…，在y轴正半轴上，则点B2023的坐标为 　 　． 4．点P（x，y）在第一象限，且x+y＝4，点A坐标（3，0），设△OPA面积为S． （1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围； （2）并在图中网格中建立直角坐标系中画出函数S的图象； （3）当△OPA面积是5时，求点P的坐标． 5．如图，等边△OAB边长为4，过点A的直线yx+m与x轴交于点E． （1）求点A、E的坐标及m的值； （2）求证：OA⊥AE． 6．（2025•河东区模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O为坐标原点，A，C分别在x轴，y轴正半轴上，B在第一象限，AC为对角线，其中OA＝3． （1）求点B，C的坐标； （2）求AC所在直线的解析式； （3）已知点E（8，4），问：在直线AC上是否存在一点P，使得PB+PE最小？若存在，求点P的坐标与PB+PE的最小值；若不存在，请说明理由． 1．下列函数关系式：①y＝x；②y＝11﹣2x；③y＝x2+2；④y，其中一次函数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024秋•榆次区校级期末）下列图象中，表示直线y＝x﹣1的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•广陵区期末）已知点，（1，y2），（﹣2，y3）都在直线上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＜y3＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1 4．（2024秋•碑林区校级期末）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（　　） A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3 5．（2024•广阳区一模）一次函数y＝kx+b（k≠0）满足下列两个条件：①y随x的增大而减小；②当x＜2时，y＞0．符合上述两个条件的一次函数表达式可以为（　　） A．y＝x+1 B．y＝﹣2x+4 C．y＝﹣x+1 D．y＝2x+4 6．（2024秋•莲池区校级期末）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，则一次函数y＝x+k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．（2025•金水区校级开学）当1≤x≤3时，一次函数y＝（m+1）x+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　） A．﹣2或0 B．0或1 C．﹣2或﹣3 D．﹣3或1 8．（2024春•武山县校级月考）已知函数y＝（k﹣2）b是关于x的一次函数，则k的值为 　　 ． 9．（2024秋•大丰区期末）已知一次函数的函数值y随自变量x的增大而减小，请写出符合条件的一次函数解析式 ．（答案不唯一，写出一个即可） 10．（2024春•长乐区期中）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在一次函数y＝（m﹣1）x+n的图象上，当x1﹣x2＜0时，有y1﹣y2＞0，则m的取值范围是 　 　 ． 11．（2025春•上海校级月考）已知直线y＝kx+b（k≠0）经过第一、三、四象限，那么直线y＝﹣kx﹣b（k≠0）经过第　 　 象限． 12．（2024秋•西湖区校级期末）已知直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，且点（3，1）在该直线上，设m＝3k﹣b，则m的取值范围是 　 ． 13．已知：一次函数y＝（m﹣3）x+（2﹣m）， （1）函数值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围； （2）函数图象与y轴的交点于x下方，求m的取值范围； （3）函数图象经过二、三、四象限，求m的取值范围； （4）当m＝4时，求该直线与两坐标轴所围成的面积． 14．（2024春•天河区校级期中）求作y＝x﹣2的图象． （1）写出与x轴、y轴的交点A、B的坐标； （2）求三角形AOB的面积． 15．（2024秋•徐州期末）已知一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）． （1）求k的值； （2）请在图中画出该函数的图象； （3）已知A（2，0），P为图象上的动点，连接AP，则AP的最小值为 　 　． 16．（2025•石家庄一模）定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与正比例函数y＝﹣x的图象的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）图象的“亮点”，例如，求一次函数y＝﹣2x﹣1图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数y＝﹣2x﹣1图象的“亮点”为（﹣1，1）． （1）一次函数y＝2x﹣3图象的“亮点”为　 　 ； （2）一次函数y＝mx+n图象的“亮点”为（2，n+1），求m，n的值； （3）若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数y＝kx+4的图象上没有“亮点”，点P在y轴上，S△ABP，直接写出满足条件的点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$