8.4.1平面 导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

《8.4.1 平面》导学案 一、学习目标 1. 数学抽象:能从生活中常见的平面物体形象,如桌面、墙面等,抽象出数学意义上的平面概念, 深入理解平面无大小、无厚薄、无限延展等特征, 锻炼从具体到抽象的思维转化能力。 2. 逻辑推理:通过自主探究和学习,理解三个基本事实和三个推论的证明思路, 能运用这些知识对空间点、线、面的位置关系进行简单推理与论证, 提升逻辑推理能力。 3. 直观想象:借助丰富的图形、实物模型以及生活实例,直观认识平面的概念、 画法, 清晰把握点、线、面之间的位置关系, 增强空间想象能力, 构建起空间几何的思维模型。 4. 数学语言表达:熟练掌握图形、文字、符号三种数学语言,准确且规范地描述空间中点、直线、平面的位置关系,提高数学语言的运用和表达水平。 二、学习重难点 1. 重点: 平面的概念、画法、表示方法, 三个基本事实和三个推论, 以及用符号语言描述空间点、线、面的位置关系。 2. 难点: 理解平面的无限延展性, 掌握三个基本事实和推论的证明及应用, 能够准确运用符号语言进行表达和推理。 三、知识链接 回顾之前学习平面图形 (如三角形、矩形等) 时积累的图形认知经验,思考生活中接触到的各类平面物体,联想它们的形状、特征,为理解空间中的平面概念做准备。 四、学习过程 (一) 预习回顾 思考并梳理数学中的“平面”与生活中的平面的联系与区别, 可从平面的边界、范围、是否为理想状态等方面进行分析。若对相关内容理解模糊,及时查阅教材或预习资料,加深理解,为新课学习奠定基础。 (二)情境引入 观察教师PPT展示的教室里的桌面、黑板面以及海面的图片,思考这些平面在视觉上给人的感受,分析它们的共同特点,如表面平整等,由此初步感知平面的形象,明确学习平面知识对于后续研究空间几何的重要性。 (三)自主探究 1. 平面的概念与特征:阅读教材相关内容,理解数学平面是对现实中光滑平面抽象的结果。 结合实例,如想象在一个没有尽头的平面上摆放物体,无论怎么放置都不会超出这个平面,以此体会平面的无限延展性,深入理解平面无大小、无厚薄的特征。 2. 平面的画法与表示:参照教材或教师提供的资料,学习平面的绘制方法。当平面水平放置时,注意平行四边形锐角画成 、横边长为邻边长 2 倍的规范要求。动手练习画出不同放置方式的平面,并分别用希腊字母(如平面 、平面 )和大写英文字母 (如平面 、平面 ) 等方式进行表示。 3. 基本事实 1: 思考“两点确定一条直线,那确定一个平面需要几个点”的问题。 结合生活中三角架支撑相机、自行车停放稳定等实例, 理解基本事实 1 ——过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面。 用图形和符号语言表示该事实, 举例说明在生活场景中确定平面的具体应用, 如确定房间地面所在平面。 4. 点与直线、平面的位置关系: 明确直线和平面可看作点的集合,学习用元素与集合的属于( )、不属于( )关系表示点与直线、平面的位置关系。通过观察图形示例,熟悉 (点 在直线 上)、 (点 在平面 外)等符号表示。 进行简单练习,根据给定的点、线、面位置关系,用符号准确表示。 5. 基本事实 2: 思考 “若直线 与平面 有一个公共点 ,直线 是否在平面 内? 若有两个公共点呢”的问题, 引出基本事实 2 ——如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内。用符号语言表示该事实,结合教室中黑板边框与黑板面的关系,理解其在判断直线是否在平面内的作用。 6. 基本事实 3: 观察三角尺一角立在课桌面上的图片, 思考“三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点 ？为什么”的问题,引 出基本事实 3 ——如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。用符号语言表示,理解其在判断平面相交及点在直线上的作用。 7. 推论:结合基本事实 1 和基本事实 2 ,以及“两点确定一条直线”的知识,理解三个推论: 推论 1: 经过一条直线和这条直线外一点, 有且只有一个平面。 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 通过生活实例,如用两根绳子固定可保证桌子四条腿底端在同一平面,体会推论的应用。 (四)巩固提升 1. 例题剖析: 研读教材中的例题,如用符号表示图形中点、线、面位置关系的题目,仔细观察图形,自主分析点、线、面的位置关系,尝试用符号语言表示,再与教材答案比对, 分析差异原因。对于证明题, 理清证明思路, 明确如何运用基本事实和推论进行推理, 理解每一步推理的依据。 2. 练习强化:完成教师布置的练习题,如判断空间图形画法正误、根据位置描述选择正确符号表示等题目。 3. 做题过程中遇到困难,及时回顾知识点,或向同学、老师请教。完成后认真检查答案,分析错误原因,进行针对性强化训练。 3. 拓展训练 题目 1: 已知平面 、 ,直线 ,点 、 、 。若 , ,直线 经过点 且与平面 相交于点 ,试用符号语言表示上述所有关系。 参考答案: 。 题目2:判断对错:任意三点都能确定一个平面。若错误,请说明理由并举例。 参考答案:错误。理由:根据基本事实 1,需是不在同一条直线上的三点才能确定一个平面。例如,共线的三点 就无法确定一个平面。 题目 3: 已知直线 与直线 平行,直线 与平面 相交于点 ,求证: 直线 与平面 相交。 参考答案: 证明: 因为 ,所以 可确定一个平面,设为 。因为 ,所以 且 ,又 ,所以 。则平面 与平面 有公共点 ,所以 与 相交,设交线为 。因为 ,所以 或 或 与 相交。假设 或 ,因为 与 交线为 ,则 ,又 ,所以 ,这与 且 矛盾,所以假设不成立,即直线 与平面 相交。 题目 4: 空间四边形 中, 分别是 的中点, 分别是 上的点,且 ,判断直线 是否共面,并说明理由。 参考答案:直线 、 共面。理由:因为 、 分别是 、 的中点,所以 。在 中, ,所以 ,则 。由推论 3 可知,经过两条平行直线有且只有一个平面,所以 、 、 、 四点共面,即直线 、 共面。 (五)课堂总结 回顾本节课所学内容,涵盖平面的概念、特征、画法、表示方法,点与直线、平面的位置关系,三个基本事实和三个推论。梳理各知识点间的逻辑联系,构建知识体系,明确重点内容,如平面无限延展性的理解要点、基本事实和推论的应用场景等。 (六)作业与预习 1. 必做题: 完成教材 练习 14; 完成课时作业对应练习中的基础和综合部分,巩固平面的相关知识,熟练掌握用符号语言描述位置关系以及基本事实和推论的应用。 2. 选做题:观察生活,寻找至少两个能用本节课平面知识解释的现象；预习下一节内容,初步了解空间中直线与直线的位置关系,标记出不理解的地方,以便后续学习重点关注。 五、学习反思 1. 在学习平面相关知识时, 遇到的最大困难是什么? 是理解平面的无限延展性, 还是掌握符号语言的运用, 或是其他方面? 针对这些困难, 采取了哪些解决方法, 效 果如何? 2. 通过练习和课堂学习,总结在运用平面知识解决问题时易出现的错误,如符号表示错误、对基本事实和推论的理解偏差等。思考如何避免这些错误,如加强对概念的理解、多进行练习、仔细分析题目条件等。 学科网（北京）股份有限公司 $$