精品解析：2025年四川成都市青羊区中考数学二诊试卷

九年级下质量监测数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名、考号和座位号，无误后将本人姓名、考号和座位号填写在答题卡相应位置． 3．第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔在答题卡上填涂作答；第Ⅱ卷为非选择题，用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察所给几何体可发现，从正面看从左到右共有两列，第一列有一层，第二列有两层，据此解答本题. 本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握几何体三视图的画法及特点是解题的关键． 【详解】解：观察所给几何体可发现，从正面看从左到右共有两列，第一列有一层，第二列有两层，故这个几何体的主视图是 故选：D ． 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件；根据分式有意义的条件是分母不等于0列式计算即可． 【详解】解：依题意， 解得： 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换-轴对称，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求解即可． 【详解】解：点 关于轴对称点的坐标是， 故选：A． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及平方差公式、幂的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法，根据相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 已知直线，将一个直角三角板如图放置，使得角的顶点落在上，直角顶点落在上，点落在，之间，当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可得，过G点作，则，根据平行线的性质可得，，即可得解． 本题主要考查了三角形内角和定理和平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：中，，， ， 如图，过G点作， ， ， ，， 又， ． 故选：B． 6. 九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（ ） 摸球总次数 10 50 100 1000 摸到红球的频率 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 10个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键． 根据表格中信息可得到红球的概率，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：从给出的表格中可以看到，随着摸球总次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在左右， 设口袋中红球有个， 由于摸到红球的频率稳定值可近似看作摸到红球的概率，即， 解得：， 所以口袋中红球的个数最可能是个， 故选：B． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 有三个角相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 平分弦的直径垂直于这条弦 D. 过一点有且仅有一条直线平行于已知直线 【答案】B 【解析】 【分析】利用矩形的判定、菱形的判定、垂径定理及平行公里分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、有三个角相等的四边形不一定是矩形，如四边形中，，，该四边形不是矩形，故错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确； C、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故错误； D、过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，故错误． 故选B． 【点睛】本题考查了矩形判定，菱形的判定，垂径定理，平行公理，解题的关键是掌握菱形的判定的判定方法，难度不大． 8. 在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点，连接；②以A为圆心，以的长为半径作弧，以为圆心，以的长为半径作弧，两弧在右侧交于点；③连接，连接交于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由步骤②可知，，则可得四边形是平行四边形，根据平行线的性质可判断A、B、C选项都正确，故D选项错误． 本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：由步骤②可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵，，， ∴， 故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴,， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴， 故D选项错误，符合题意． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若实数，，满足： ，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，二次根式和完全平方式非负性，根据几个非负数的和为0，则每个式子的值多位0，求出x、y、z的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，，， 且， ，，， ，，， ． 故答案为：4 10. 分式方程：的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程一定要验根是解题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得，， 解得，， 经检验，是原方程的根， 所以，分式方程的解为， 故答案为： 11. 如图，在扇形中，，，则扇形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式，根据扇形的面积公式（n为扇形圆心角的度数）直接求解即可． 【详解】解：由题意，该扇形的面积为， 故答案为：． 12. 2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较小的数的方法，掌握科学记数法表示的方法是解题的关键． 根据“科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．”解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数分别交轴，轴于点，，点是直线上一动点，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，点到直线的距离，一次函数与坐标轴交点问题，根据一次函数解析式求得的坐标，进而求得的长，根据等面积法即可求解． 【详解】解：∵一次函数分别交轴，轴于点，， 当时，，解得：，则 当时，，则， ∴ ∴ ∵点是直线上一动点，连接，当时，最小， 此时 ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先计算特殊角的三角函数值，算术平方根，绝对值以及0指数幂，再进行加减运算即可． （2）先解不等式①，再解不等式②，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 本题主要考查了实数的运算以及解不等式组，熟练掌握运算法则，及解不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：（1） （2）解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 15. 某学校准备组织学生进行周末游湖研学活动，有沧浪湖、北湖、锦城湖、青龙湖4个目的地选择，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个目的地），小强根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的总人数为______，请将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中“青龙湖”对应的圆心角为______°，若该学校共有学生1200名，请估计参加“沧浪湖游湖研学”的学生有多少人？ （3）研学活动有文艺类的：“现场绘画”，：“情境写作”和实践类的：“水质调研”，：“植被调研”共4项活动，为平衡活动方案，以班级为单位随机选择2种活动参加，请用画树状图或列表法求出某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的概率． 【答案】（1）20，图见解析 （2），420人 （3） 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图的关联、用样本估计总体、画树状图或列表法求概率等知识，看懂统计图并准确获取信息是解答的关键． （1）用参加锦城湖的人数除以其所占的百分比可得调查人数，再求得参加北湖人数即可补全条形统计图； （2）用乘以“青龙湖”所占的比例可求得对应圆心角的度数；用总人数乘以样本中参加“沧浪湖游湖研学”的学生所占的比例求解即可； （3）画树状图法求得总共等可能的结果数，再从中找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的总人数为（人）， 参加北湖人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：扇形统计图中“青龙湖”对应的圆心角为； 估计参加“沧浪湖游湖研学”的学生有（人）； 【小问3详解】 解：列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的结果有：（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（D，A），（D，B），共8种， ∴某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的概率为． 16. 数学兴趣小组的成员小王在观察点测得观察点在的正北方向，成员小刘在观察点测得观察点在的北偏西的方向上，距离为130米，成员小红在观察点测得观察点在的南偏东的方向上，求观测点，之间的距离．（结果精确到米，参考数据：，，，，，） 【答案】74米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．延长，过点C作于点D，解直角三角形得（米），（米），（米），然后求出结果即可． 【详解】解：延长，过点C作于点D，如图所示： 则， ∵米，， ∴（米）， （米）， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 答：观测点，之间的距离为74米． 17. 如图，，是⊙的直径，连接，，过点作于点，交于点，交⊙于另一点，过点作⊙的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求⊙的半径． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）4 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质以及相似三角形的性质是解答的关键． （1）根据切线的性质和等腰三角形的性质，结合等角的余角相等得到，进而利用等角对等边可得结论； （2）先利用直径所对的圆周角是直角得到，再利用等角的余角相等得到，然后根据相似三角形的判定可得结论； （3）设，，则，，，证明求得，再利用等腰三角形的性质得到，由列方程求解x值即可解答． 【小问1详解】 证明：∵与⊙的相切于点C，是⊙的直径， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵是⊙的直径， ∴，则， ∵，， ∴，又， ∴； 【小问3详解】 解：由可设，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，即⊙的半径是4． 18. 在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与轴交于点，与反比例函数：的图象交于，两点（点在点的右侧），过的中点作线段的垂线交轴于点，交轴于点，连接，，． （1）如图1，当，点的坐标为时，求反比例函数的表达式和点坐标： （2）如图2，当，连接时，，求的值； （3）当时，若，求的值． 【答案】（1）反比例函数解析式为， （2）或 （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，根据中点坐标的计算得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，根据点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上，得到一次函数解析式为：，反比例函数解析式为，则，如图所示，过点作轴于点，根据，得，可求出直线的解析式为，，根据三角形面积的计算即可求解； （3）根据题意得到，则，，则点，，，设一次函数与轴交点，，直线的解析式为，即，根据两点之间距离的计算得到，，，，由，得到，由此列式求解即可 ． 【小问1详解】 解：当时，一次函数解析式为， ∴， ∵点是的中点，且， ∴， 解得，， ∴， 把点代入反比例函数解析式得，， 解得，， ∴反比例函数解析式为， 把点代入一次函数解析式得，， 解得，， ∴一次函数解析式为， 联立反比例函数、一次函数解析式得，， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，同理，，， ∵点是的中点，且， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上， ∴，， 解得，，， ∴一次函数解析式为：，反比例函数解析式为， 联立方程组得， 解得，， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∴ ， 整理得，， ∴， 解得，或， ∴或， 解得，或； 【小问3详解】 解：当时，一次函数解析式为，把点代入得，， ∴，则， ∴，则点，， ∴， 把点代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∴， 解得，， ∴， 当时，，即设一次函数与轴交点， ∴， 同理，， ∴， ∴，则， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∵， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 整理得，， ∴， 当时，， ∴，，如图所示， 当时，， ∴，，如图所示， ∴若，的值为或． 【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数交点坐标的计算，图形面积的计算方法，相似三角形的性质，解直角三角形的计算等知识是关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，，，点在边上，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和等边对等角，三角形内角和定理的应用，能熟记全等三角形的对应角相等是解此题的关键．根据全等三角形的性质可得，根据等边对顶角可得，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 20. 若，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，掌握以上知识及计算是关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据分式的性质，分式的混合运算化简，再代入计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴， ， ∴原式， 故答案为： ． 21. 如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，点是线段延长线上的动点，连接，将四边形沿所在直线翻折，若的中点落在点处，则线段的长度是______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意画出图形，过点做，点为的中点，连接交于点，易证，得出，，设，则，，，，再根据勾股定理分别用表示出，，进而根据勾股定理得出关于的一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，过点做，点为的中点，连接交于点， ∵四边形矩形， ∴，，， ∴， ∵四边形沿所在直线翻折，若的中点落在点处， ∴，， ∴， ∴，， 设，则，，， ∴， 在中，，即， ∴， 在中，，即， ∴， 在中，，即， 整理得：，即， 解得：或， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，翻折的性质，解一元二次方程，熟练应用勾股定理是解题的关键． 22. 问题情境：玩家在电脑上玩猜数字游戏，游戏规则是：从1到的自然数中猜数字，当玩家输入程序的数字正确的时候，电脑会恭喜玩家回答正确；当玩家输入的数字错误的时候，电脑会提示玩家正确的答案比输入的数字大或则小并继续游戏． 解决策略：小聪借助“二分法”原理，先将从1到的自然数由小到大排列，选取最中间的数或尽量靠中间的数将个数分成两部分，根据电脑提示逐步缩小范围，直至猜中数字．例如： ①当时，小聪先输入中间的数字“2”，如果答案错误系统会提示正确答案与输入数字的大小关系，即再输入1次可一定正确，所以时输入2次一定能猜中数字： ②当时，小聪先输入中间的数字“3”，如果错误并提示正确答案比“3”小，再输入“2”，如果错误再输入“1”则一定正确；所以时输入3次一定能猜中数字： ③当时，小聪先输入尽量靠中间的数字“4”，如果正确答案比“4”大，再输入“7”，如果错误并提示正确答案比“7”小，再输入“6”，如果错误并提示正确答案比“6”小，再输入“5”则一定正确；所以当时输入4次一定能猜中数字． 问题解决：借助“二分法”的原理，当时，最少输入______次可一定正确；当最少输入8次才能保证一定正确时，则的最大值为______． 【答案】 ①. 5 ②. 255 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意是解答的关键．根据“二分法”的原理，模仿题中例子方法求解，进而找到变化规律即可求解． 【详解】解：当时，先输入尽量靠中间的数字“8”，如果正确答案比“8”大，再输入“12”，如果正确答案比“12”大，再输入“14”，如果错误并提示正确答案比“14”大，再输入“15”，如果错误并提示正确答案比“15”大，再输入“16”则一定正确；所以当时最少输入5次可一定正确． 由题意， 当时，输入1次一定能猜中数字： 当时，输入2次一定能猜中数字： 当时，先输入中间的数字“4”，如果错误并提示正确答案比“4”小，再输入“2”，如果错误再输入“1”则一定正确；所以时输入3次一定能猜中数字： 当时，先输入中间的数字“8”，如果正确答案比“8”大，再输入“12”，如果错误并提示正确答案比“12”大，再输入“14”，如果错误并提示正确答案比“14”大，再输入“15”则一定正确；所以当时输入4次一定能猜中数字． 以此类推， 当时，输入8次一定能猜中数字． 故当最少输入8次才能保证一定正确时，则的最大值为255， 故答案为：5，255． 23. 已知一次函数：，二次函数：，当时，恒成立，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，先联立方程组求得两个函数的交点横坐标为，，然后分和两种情况，利用一次函数和二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由得： 整理，得， 解得，， 由题意，， 当时，一次函数y随x的增大而增大，二次函数图象开口向上， 若时，恒成立， 则， 解得，即； 当时，一次函数y随x的增大而减小，二次函数图象开口向下， 若时，恒成立， 则， 解得，即， 综上，满足条件的a的取值范围为且， 故答案为：且． 二、解答题（共30分） 24. 2025年甲乙两家车商分别推出了型和型家用电车，已知一辆型家用电车比一辆型家用电车落地价贵11万元，若购买2辆型家用电车和3辆型家用电车落地价共247万元．（落地价是指消费者购买一辆车到上牌为止所花的所有费用） （1）求型家用电车和型家用电车落地单价分别是多少万元？ （2）为扩大市场占有率，甲车商决定对型家用电车降价万元，乙车商也决定对型家用电车跟随降价销售，现甲车商利用大模型进行数据深度分析得出以下结论： ①乙车商对型家用电车降价的金额是甲车商对型家用电车降价金额的一半； ②为保证型家用电车在消费者心目中的高端定位，型家用电车落地单价不得低于型家用电车落地单价的； 为保证型家用电车的高端定位，求的最大值． 【答案】（1）型家用电落地单价为56万元，则型家用电车落地单价为45万元 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设型家用电落地单价为万元，则型家用电车落地单价为万元，由“购买2辆型家用电车和3辆型家用电车落地价共247万元”建立一元一次方程求解即可； （2）型家用电车降价后的价格为万元，型家用电车降价后的价格为，再由“型家用电车落地单价不得低于型家用电车落地单价的”建立一元一次不等式求解． 【小问1详解】 解：设型家用电落地单价为万元，则型家用电车落地单价为万元， 由题意得：， 解得：， 则 答：型家用电落地单价为56万元，则型家用电车落地单价为45万元； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得：， ∴的最大值为5． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且． （1）求抛物线的表达式； （2）若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为2的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标； （3）一次函数：（）图象交二次函数于，两点，抛物线上是否存在定点，连接，，当点与点，不重合时，总有，若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，由三角形面积得到，，再利用待定系数法即可求解； （2）连接交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，利用平行四边形的性质得到，，设，利用中点坐标公式可得，代入点到，求出的值得到点的坐标，设，利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案； （3）过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为，设，，联立一次函数和抛物线的解析式，整理得，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，进而表示出，，再通过证明，推出，设，根据图形的坐标列出等式，结合点是定点，求出的值，得出点的坐标，再检验是否符合题意即可解答． 【小问1详解】 解：抛物线：（）， 当时，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，连接交于点， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：，， 当时，， 设，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴； 当时，， 设，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴； ∴综上所述，点的横坐标为或． 【小问3详解】 解：如图，过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为， 设，， 联立， 消去整理得：， ∴，， ∴， ， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵点是定点， ∴，，， 解得：，， 经检验，在抛物线上，符合题意； ∴抛物线上存在定点，点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求解析式、平行四边形的性质、一元二次方程根与系数的关系、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，运用数形结合的思想解决问题是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的辅助线构造能力，同时涉及的运算量较大，适合有能力解决压轴题的学生． 26. 在中，，，点在过点的直线上运动，连接，在右侧作，使得． （1）如图1，连接，求证：； （2）当，时，连接； 若时，交线段于点，如图2，当时，求的度数： 当时，射线交于点，当的中点落在上时，连接，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）；或 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，结合相似三角形的判定即可求解； （2）连接，过点作于点，先得出和是等腰直角三角形，利用，求得，可知点，，共线，设，利用，求出，得，解可得，则，可得，即可求解； 设，以为原点，为正半轴建立平面直角坐标系，设直线交轴于点，过点作于点， 得出，，，，分两种情况：①当点在轴右侧时， 得出，设，则，证明，得出，，则可得，求出直线解析式为，由在直线上，得出，求解得出，得出，，即可求解；②当在轴左侧时，同理可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴点，，共线， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，以为原点，为正半轴建立平面直角坐标系，设直线交轴于点，过点作于点， ∵，， ∴，，，， 当点在轴右侧时，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设， ∵为的中点， ∴，， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， 代入， 得， ∴直线解析式为， ∵在直线上， ∴， 化简得， 解得：（负值舍）， ∴，， 则； 当在轴左侧时，如图， 同理求得， 同理得，， 则； 综上所述，或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数，解一元二次方程，三角函数，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，熟练掌握这些性质与定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级下质量监测数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名、考号和座位号，无误后将本人姓名、考号和座位号填写在答题卡相应位置． 3．第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔在答题卡上填涂作答；第Ⅱ卷为非选择题，用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，将一个直角三角板如图放置，使得角的顶点落在上，直角顶点落在上，点落在，之间，当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 九（1）班同学设计用频率估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有12个球，它们除颜色外其余均相同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．通过大量重复摸球试验，统计了摸到红球的频率，绘出的统计表如图所示，则口袋中红球的个数最可能是（ ） 摸球总次数 10 50 100 1000 摸到红球的频率 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 10个 7. 下列说法正确的是（ ） A. 有三个角相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 平分弦的直径垂直于这条弦 D. 过一点有且仅有一条直线平行于已知直线 8. 在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点，连接；②以A为圆心，以的长为半径作弧，以为圆心，以的长为半径作弧，两弧在右侧交于点；③连接，连接交于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若实数，，满足： ，则的值为______． 10. 分式方程：的解为______． 11. 如图，在扇形中，，，则扇形的面积为______． 12. 2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在秒左右，将用科学记数法表示为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数分别交轴，轴于点，，点是直线上一动点，连接，则线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）解不等式组：． 15. 某学校准备组织学生进行周末游湖研学活动，有沧浪湖、北湖、锦城湖、青龙湖4个目的地选择，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个目的地），小强根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的总人数为______，请将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中“青龙湖”对应的圆心角为______°，若该学校共有学生1200名，请估计参加“沧浪湖游湖研学”的学生有多少人？ （3）研学活动有文艺类的：“现场绘画”，：“情境写作”和实践类的：“水质调研”，：“植被调研”共4项活动，为平衡活动方案，以班级为单位随机选择2种活动参加，请用画树状图或列表法求出某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的概率． 16. 数学兴趣小组的成员小王在观察点测得观察点在的正北方向，成员小刘在观察点测得观察点在的北偏西的方向上，距离为130米，成员小红在观察点测得观察点在的南偏东的方向上，求观测点，之间的距离．（结果精确到米，参考数据：，，，，，） 17. 如图，，是⊙的直径，连接，，过点作于点，交于点，交⊙于另一点，过点作⊙的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求⊙的半径． 18. 在平面直角坐标系中，一次函数：图象与轴交于点，与反比例函数：的图象交于，两点（点在点的右侧），过的中点作线段的垂线交轴于点，交轴于点，连接，，． （1）如图1，当，点的坐标为时，求反比例函数的表达式和点坐标： （2）如图2，当，连接时，，求的值； （3）当时，若，求的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，，，点在边上，则的度数为______． 20. 若，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为______． 21. 如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，点是线段延长线上的动点，连接，将四边形沿所在直线翻折，若的中点落在点处，则线段的长度是______． 22. 问题情境：玩家在电脑上玩猜数字游戏，游戏规则是：从1到自然数中猜数字，当玩家输入程序的数字正确的时候，电脑会恭喜玩家回答正确；当玩家输入的数字错误的时候，电脑会提示玩家正确的答案比输入的数字大或则小并继续游戏． 解决策略：小聪借助“二分法”原理，先将从1到的自然数由小到大排列，选取最中间的数或尽量靠中间的数将个数分成两部分，根据电脑提示逐步缩小范围，直至猜中数字．例如： ①当时，小聪先输入中间的数字“2”，如果答案错误系统会提示正确答案与输入数字的大小关系，即再输入1次可一定正确，所以时输入2次一定能猜中数字： ②当时，小聪先输入中间的数字“3”，如果错误并提示正确答案比“3”小，再输入“2”，如果错误再输入“1”则一定正确；所以时输入3次一定能猜中数字： ③当时，小聪先输入尽量靠中间的数字“4”，如果正确答案比“4”大，再输入“7”，如果错误并提示正确答案比“7”小，再输入“6”，如果错误并提示正确答案比“6”小，再输入“5”则一定正确；所以当时输入4次一定能猜中数字． 问题解决：借助“二分法”原理，当时，最少输入______次可一定正确；当最少输入8次才能保证一定正确时，则的最大值为______． 23. 已知一次函数：，二次函数：，当时，恒成立，则的取值范围是______． 二、解答题（共30分） 24. 2025年甲乙两家车商分别推出了型和型家用电车，已知一辆型家用电车比一辆型家用电车落地价贵11万元，若购买2辆型家用电车和3辆型家用电车落地价共247万元．（落地价是指消费者购买一辆车到上牌为止所花所有费用） （1）求型家用电车和型家用电车落地单价分别是多少万元？ （2）为扩大市场占有率，甲车商决定对型家用电车降价万元，乙车商也决定对型家用电车跟随降价销售，现甲车商利用大模型进行数据深度分析得出以下结论： ①乙车商对型家用电车降价的金额是甲车商对型家用电车降价金额的一半； ②为保证型家用电车在消费者心目中的高端定位，型家用电车落地单价不得低于型家用电车落地单价的； 为保证型家用电车的高端定位，求的最大值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且． （1）求抛物线的表达式； （2）若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为2的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标； （3）一次函数：（）图象交二次函数于，两点，抛物线上是否存在定点，连接，，当点与点，不重合时，总有，若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由． 26. 在中，，，点在过点的直线上运动，连接，在右侧作，使得． （1）如图1，连接，求证：； （2）当，时，连接； 若时，交线段于点，如图2，当时，求的度数： 当时，射线交于点，当中点落在上时，连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$