专题02 一元函数的导数及其应用（人教A版2019选择性必修）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题02 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01导数的概念及其意义 题型02导数的运算 题型03导数在研究函数中的应用 ( 题型01 )导数的概念及其意义 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数在处的切线方程为，则 ． 3．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）若函数在区间的平均变化率为0，则d= ．（写出一个符合条件的值即可） 4．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知甲､乙两个小区在这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（    ） ①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢； ②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快； ③在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢； ④乙小区在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·河北张家口·期末）过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 8．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知函数在点处的切线的斜率为1，则 . 9．（23-24高二下·河北·期末）已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 10．（23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设是的导函数，且，则（   ） A．18 B．9 C．6 D．3 ( 题型02 )导数的运算 11．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知，，，，则 ； . 12．（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二下·广西·期末）下列求函数的导数正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·广东中山·期末）若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·上海宝山·期末） ． 16．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ． 17．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数，则（    ） A． B．1 C．4 D．2 18．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知奇函数和它的导函数的定义域均为，且，则下列结论正确的有（    ） A． B．为偶函数 C． D． 19．（23-24高二下·山东威海·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·贵州安顺·期末）函数在点处的切线倾斜角为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 3 )导数在研究函数中的应用 21．（22-23高二下·四川自贡·期末）若函数 在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：. 23．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数，求的单调区间； (3)若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 24．（22-23高二上·陕西西安·期末）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 25．（22-23高二下·黑龙江七台河·期中）已知函数满足，且当时，，设，，，则的大小关系是 ． 26．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)证明时，； (3)若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 27．（23-24高二下·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值可以是（   ） A．0.39 B． C．0.42 D． 28．（23-24高二下·湖南·期末）已知函数. (1)若是的极大值点，求的值； (2)用表示中的最大值，设函数，试讨论零点的个数. 注：若，当时，，当时，. 29．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为 . 30．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01导数的概念及其意义 题型02导数的运算 题型03导数在研究函数中的应用 ( 题型01 )导数的概念及其意义 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】利用导数列方程来求得的值. 【详解】，，，解得． 故选：C 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数在处的切线方程为，则 ． 【答案】14 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】由导数的几何意义知，在处，切线方程的斜率等于切点处的导函数值，和切点不仅在函数，还在切线方程上，即可求出，从而得到的值. 【详解】由导数的几何意义知，在处，切线方程的斜率等于切点处的导函数值， 可得， 又切点，在切线方程上，则， 因此，. 故答案为：14. 3．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）若函数在区间的平均变化率为0，则d= ．（写出一个符合条件的值即可） 【答案】π（答案不唯一，） 【知识点】平均变化率 【分析】利用平均变化率计算即可. 【详解】由平均变化率可知， 故，所以. 故答案为：π（答案不唯一，） 4．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程 【分析】由题意，对函数进行求导，得到，求出切线方程； 【详解】已知，函数定义域为， 可得， 此时， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 故选：B. 5．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知甲､乙两个小区在这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（    ） ①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢； ②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快； ③在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢； ④乙小区在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据图象的性质，结合图象的变化快慢，即可判断选项. 【详解】①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢，故①正确； ②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快,故②正确； ③在时刻，乙的图象比甲的图象陡，所以乙的瞬时增长快，故③正确； ④乙小区在时刻比在时刻陡，所以在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快，故④正确. 故选：D 6．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、导数定义中极限的简单计算 【分析】根据瞬时速度的定义结合导数的定义直接求解即可. 【详解】因为时刻该物体的瞬时速度为， 所以. 故选：C 7．（23-24高二下·河北张家口·期末）过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（    ） A．e B．e C．3 D．3 【答案】C 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】根据过一点作函数图象的切线问题，设切点，得切线方程，再代入定点求解即可. 【详解】由，得， 设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为. 因为点在切线上，所以，即， 结合题意，则，是上述方程的根，所以根据韦达定理得. 故选：. 8．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知函数在点处的切线的斜率为1，则 . 【答案】1 【知识点】求某点处的导数值 【分析】利用导数求出切线的斜率，代入点坐标即可求解. 【详解】由题可知，所以. 故答案为：1. 9．（23-24高二下·河北·期末）已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】求某点处的导数值 【分析】求出，令，代入即可求解. 【详解】由题意得，令，则，得. 故选：A 10．（23-24高二下·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设是的导函数，且，则（   ） A．18 B．9 C．6 D．3 【答案】A 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、导数（导函数）概念辨析 【分析】利用导数的定义计算即可. 【详解】. 故选：A. ( 题型02 )导数的运算 11．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知，，，，则 ； . 【答案】 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】根据给定条件，依次求导，探求出求导后的规律，再按周期性求值即可. 【详解】因为，， ， ， ， 所以， 所以， 所以， ； 所以， ， ， 所以. 【点睛】关键点睛：关键在于求导找到规律，利用规律计算即可 12．（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】导数的乘除法、简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】对于A：根据基本初等函数法则求解；对于B：根据导数的乘法法则运算求解；对于C：根据复合函数的链式法则运算求解；对于D：根据导数的加法法则运算求解. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：C. 13．（23-24高二下·广西·期末）下列求函数的导数正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】利用导数的运算法则逐个运算求解可判断其正误. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D错误. 故选：BC. 14．（23-24高二下·广东中山·期末）若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、导数的加减法 【分析】先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角范围即可. 【详解】设，，则 所以过点切线斜率 所以 所以得 故选：D 15．（23-24高二下·上海宝山·期末） ． 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式 【分析】根据导数的定义，以及求导公式，即可求解. 【详解】设，， . 故答案为： 16．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ． 【答案】25 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 因为，直线的斜率为， 所以，，， 所以， 因为， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值是25. 故答案为：25. 17．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数，则（    ） A． B．1 C．4 D．2 【答案】C 【知识点】求某点处的导数值 【分析】求导可求得. 【详解】由，可得，则. 故选：C. 18．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知奇函数和它的导函数的定义域均为，且，则下列结论正确的有（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】BCD 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、简单复合函数的导数 【分析】利用函数的奇偶性、周期性、对称性，以及原函数与导函数的奇偶性，即可判断各选项正误. 【详解】已知为奇函数，可知，又因为，则，所以，所以，故A错误； 对两边求导得得，即，所以，又函数的定义域为，所以为偶函数，故B正确； 对两边求导得得，即，所以，故C正确； 因为函数是定义域为的奇函数，所以，又因为，所以，故D正确. 故选：BCD. 19．（23-24高二下·山东威海·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】求导可得，令，求解即可. 【详解】由，可得， 所以，解得. 故选：B. 20．（23-24高二下·贵州安顺·期末）函数在点处的切线倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、导数的运算法则 【分析】借助导数的几何意义即可得切线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】，， 设在点处的切线倾斜角为， 则有，由，则. 故答案为：A. ( 题型03 )导数在研究函数中的应用 21．（22-23高二下·四川自贡·期末）若函数 在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的极值点，分析可知函数在区间上存在极值点，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】函数的定义域为，且， 令，可得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以函数的唯一极值点为， 因为函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数， 则函数在区间上存在极值点，且， 所以，解得. 故选：A. 22．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数求原函数的单调区间； （2）由题设得，从而得若要证明，则只需，即只需，通过构造函数，利用导数证明即可得证. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为在区间上存在唯一零点， 所以存在唯一的，有，化简得， 若要证明，则只需，即只需证明， 设，则， 令，则， 所以当时，单调递增， 所以， 所以当时，单调递增， 所以， 即当时，有不等式成立， 综上所述：若在区间上存在唯一零点，则. 23．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数，求的单调区间； (3)若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)的单调减区间为，单调增区间为 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）根据导数运算及导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的正负求解的单调区间； （3）分离参数，然后根据导数求解函数最大值，即可得出的取值范围． 【详解】（1）由得，，，， 所以在点处的切线方程为； （2），， ，令，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为； （3）由题可知，， 所以，， 设，， 则，令，解得， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 又，即， 所以. 24．（22-23高二上·陕西西安·期末）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【知识点】求已知函数的极值 【分析】利用导函数直接求解单调区间，即可得到极小值. 【详解】由题知函数的定义域为， 则. 令，得（舍去）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数的极小值为. 故选：A 25．（22-23高二下·黑龙江七台河·期中）已知函数满足，且当时，，设，，，则的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】根据条件判断出在上是增函数，进而利用单调性即可求出结果. 【详解】，，因为， 故在上是增函数，，， 即． 故答案为：. 26．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)证明时，； (3)若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2)证明见解析 (3) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导即可得到函数的单调区间； （2）令，即可得到，原不等式化为，再结合函数的单调性，即可化为，然后构造函数，求导即可证明； （3）根据题意，由（2）中的结论可得符合题意，然后证明当时，不符合题意，即可得到结果. 【详解】（1）， 当时，；当时，， 的增区间为，减区间为． （2）令， 当时，；当时，， 当时，，即， 原不等式等价于， 为上的减函数，， 只需证明，即， 令， 当时，，当时，， 原不等式成立． （3）当时，由（2）知,又， ， 原不等式在上恒成立． 当时，令． ， 在内必有零点，设为，则， ， ，而， 综上所述实数的取值范围是． 27．（23-24高二下·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值可以是（   ） A．0.39 B． C．0.42 D． 【答案】BCD 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出导函数，根据恒成立确定出的范围，即可得． 【详解】. 当，时，，所以对恒成立， 设，则且， 则解得. 故选：BCD． 28．（23-24高二下·湖南·期末）已知函数. (1)若是的极大值点，求的值； (2)用表示中的最大值，设函数，试讨论零点的个数. 注：若，当时，，当时，. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1）求得，根据，求得，此时，结合导数求得函数的单调性，结合函数极值点的定义，进行验证，即可求解； （2）当时，得到，得出，此时无零点；当时，求得的值，结合和两种情况讨论，得出结论；当时，转化为函数零点个数等于零点个数，转化为，令函数，利用导数求得函数的单调性与最小值，进而得到结论. 【详解】（1）解：由函数，可得， 因为是的极大值点，则，解得， 当时，可得， 当时，，令，则， 所以在上单调递减，则，即， 此时在上单调递增； 当时，令，可得，则， 故即单调递减， 又因为，所以当时，单调递减， 所以，当时，是的极大值点，符合题意. （2）（I）由函数， 当时，，，此时无零点； （II）当时，可得， ①若，即时，， 此时不是的零点； ②若，即时，， 此时是的零点； （III）当时，，零点个数等于零点个数， 显然是的一个零点； 当时，可转化为， 令，则， 由（1）知，， 所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 且当时，，当时，， 可得，函数的图象所示： ①当或或时，有1个零点； ②当或时，有2个零点； ③当时，无零点. 综合（I）（II）（III）得： 当或时，有2个零点； 当或或时，有3个零点； 当或时，有4个零点. 【点睛】方法技巧：利用导数研究函数的零点个数，以及函数零点个数求参数的取值范围问题的求解： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围； 2、分离参数法，先分离参数，构造新函数，直接把问题转化为函数的单调性与最值问题，从而求出参数的取值范围； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 29．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】利用导数判断单调性，再判断奇偶性，即可求解不等式. 【详解】由得， 所以函数是R上的增函数， 又由得函数是奇函数， 则由得， 所以， 解得. 故答案为：. 30．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为． 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求出，求导得到，利用导函数几何意义得到切线方程； （2）求导，解不等式得到单调区间. 【详解】（1）∵，∴， 且，∴， ∴函数在点处的切线方程为，即． （2）∵的定义域为R， ∴由（1）得． 令，解得， ∴当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$