专题01 平面向量及其应用（人教A版2019必修第二册）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题01 平面向量及其应用 题型概览 题型01平面向量的概念 题型02平面向量的运算 题型03平面向量基本定理及坐标表示 题型04平面向量的应用 ( 题型01 ) 平面向量的概念 1．（23-24高一下·陕西西安·期末）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，且、、、四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则非零向量与共线 C．在中，若，则点一定在角的平分线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 2．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为坐标原点，对于函数，称向㝵为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． (1)设函数，试求的互生向量； (2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间； (3)记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围． 3．（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（    ） A．与相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 4．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 5．（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ） A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； B．若，则与的长度相等且方向相同或相反； C．若，且与的方向相同，则 D．若，则与方向相同或相反 6．（23-24高一下·广东惠州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若为实数，则向量与方向相同 D．单位向量的模都相等 7．（23-24高一下·四川成都·期末）已知为共线向量，且，则 . ( 题型02 ) 平面向量的运算 8．（23-24高一下·江苏·期末）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知向量的夹角为，且，则 . 10．（23-24高一下·江苏无锡·期末）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（    ） A．正三角形的费马点是正三角形的中心 B．若P为的费马点, 且 ，则一定为正三角形 C．若三边长分别为，则该三角形的费马点到各顶点距离之和为 D．的内角A，B，C所对的边分别为a，b， c， ，若点P为的费马点，则 11．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是非零向量，，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)求. 12．（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，设Ox，Oy是平面内相交成（且角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记为.已知在斜坐标系xOy中，，. (1)证明：； (2)当时，，求； (3)当时，若向量，，已知，求函数的最值. 14．（23-24高一下·宁夏固原·期末）设，是非零向量，且，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．（23-24高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·河北保定·期末）已知向量的夹角为，且，则 ． 18．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 19．（23-24高一下·天津西青·期末）已知向量，设与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知点是的外心，，，，若，则（    ） A． B． C． D． ( 题型03 ) 平面向量基本定理及坐标表示 21．（23-24高一下·山西大同·期末）已知中，为上一点，且，垂足为，则 ． 22．（23-24高一下·江苏·阶段练习）下列四个命题为真命题的是（    ） A．若向量满足，，则 B．若向量，，则在上的投影向量为 C．若向量是与向量共线的单位向量，则 D．已知向量，，则的最大值为 23．（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）已知向量，. (1)若与的夹角为，求实数的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量坐标. 25．（23-24高一下·北京海淀·期末）已知向量，，则（   ） A．0 B． C． D． 26．（23-24高一下·江西宜春·期末）已知，，则正确的有（   ） A． B．与方向相反的单位向量是 C．与的夹角为 D．与平行 27．（23-24高一下·河南·期末）如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、. (1)求顶点的坐标； (2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由. 28．（23-24高一下·河北承德·期末）已知，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若三点共线，则 D．若，则∥ 29．（23-24高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中，是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一下·青海·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C．3 D．5 ( 题型04 ) 平面向量的应用 31．（23-24高一下·内蒙古·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 32．（16-17高一下·宁夏·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．在中，若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 33．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 34．（23-24高一下·江苏无锡·期末）三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M. (1)求角B的大小; (2)若，求的值； (3)若点G是三角形的重心，求 的最小值. 35．（23-24高一下·江西宜春·期末）在中，为上一点，，，. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，为锐角，求面积. 36．（23-24高一下·广西崇左·期末）已知是的重心，的面积是，则的最小值是 . 37．（23-24高一下·青海·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 38．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 39．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ． 40．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高一下·陕西西安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，已知． (1)求角B的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 42．（23-24高一下·四川绵阳·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足． (1)求B； (2)若，，求的面积； (3)求的取值范围． 43．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)从以下三个条件：①；②的面积为；③中选一个作为已知条件，求周长的取值范围. 44．（23-24高一下·广东广州·期末）已知a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，且． (1)求A的大小； (2)若，的面积为，求a，b； (3)求的取值范围． 45．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）“费马点”是由法国数学家费马提出的一个问题．该问题是：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答．当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当内有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且． (1)求A； (2)若，的面积为，求； (3)若，设点P为的费马点．求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量及其应用 题型概览 题型01平面向量的概念 题型02平面向量的运算 题型03平面向量基本定理及坐标表示 题型04平面向量的应用 ( 题型01 ) 平面向量的概念 1．（23-24高一下·陕西西安·期末）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，且、、、四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则非零向量与共线 C．在中，若，则点一定在角的平分线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 【答案】BC 【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量） 【分析】利用向量得定义、共线向量得概念判断A、B、D，利用单位向量得定义与加法得平行四边形法则判断与的角平分线的关系，即可判断C. 【详解】对于A，如果在线段上，，为线段的四等分点，满足，且，但、、、四点不能构成平行四边形，故A错误； 对于B，设为非零实数，且，则非零向量与共线，故B正确； 对于C，因为，分别为向量，方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线重合， 又，可得向量所在直线与的角平分线重合，所以点一定在角的平分线上，故C正确 对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量，故D错误. 故选：BC 2．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为坐标原点，对于函数，称向㝵为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． (1)设函数，试求的互生向量； (2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间； (3)记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求sinx型三角函数的单调性、辅助角公式、向量新定义 【分析】（1）利用诱导公式化简，接着结合互生向量定义即可得解. （2）求出并化简得到的解析式，再结合正弦函数的单调性以及变量范围求解即可得解. （3）分离参数得，将函数在上有四个零点 转化成 则函数与在上的图象有四个交点，利用三角函数性质数形结合作出函数图象，则由图象即可得解. 【详解】（1）因为，所以的互生向量. （2）由题意可得，所以， 令，解得， 因为，所以， 所以函数在上的严格增区间为. （3）由题，则， 若函数在上有四个零点，则在上有四个实数根， 则函数与在上的图象有四个交点， 因为， 所以， 则由三角函数性质作其函数图象如图所示， 由三角函数图象及性质可知k的取值范围为. 【点睛】思路点睛：分离参数和数形结合是解决函数零点问题基本方法，所以对于函数在上有四个零点求参数k，先分离参数得，从而将零点问题转化成函数与在上的图象有四个交点，再数形结合利用三角函数性质作出函数图象，由图象即可得解. 3．（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（    ） A．与相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 【答案】ABC 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、向量的模、零向量与单位向量 【分析】根据相等向量，共线向量的定义进行判断. 【详解】A选项，与为两个单位向量，它们模长相等，但方向不一定相同，A选项错误； B选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线， 当它们反向共线时，与不相等，B选项错误； C选项，两个单位向量的夹角为或，它们才共线，但这是不一定的，C选项错误； D选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线， 即或，D选项正确. 故选：ABC. 4．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平面向量的概念与表示、平行向量（共线向量） 【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 5．（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ） A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； B．若，则与的长度相等且方向相同或相反； C．若，且与的方向相同，则 D．若，则与方向相同或相反 【答案】C 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量、向量的模 【分析】考虑向量的起点位置可判断A；利用向量相等的定义可判断BC；考虑特殊向量可判断D. 【详解】对于A，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故A错误： 对于B，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故B错误； 对于C，因为，且与同向，由两向量相等的条件，可得，故C正确； 对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误. 故选：C． 6．（23-24高一下·广东惠州·期末）下列命题中正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量 C．若为实数，则向量与方向相同 D．单位向量的模都相等 【答案】D 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】对于A：根据向量以及零向量的定义分析判断；对于BC：举反例说明即可；对于D：根据单位向量的定义分析判断. 【详解】对于选项A：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A错误； 对于选项B：例如，是非零向量，可知是共线向量但不是相等向量，故B错误； 对于选项C：例如是非零向量，且，可知向量与方向相反，故C错误； 对于选项D：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D正确； 故选：D. 7．（23-24高一下·四川成都·期末）已知为共线向量，且，则 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据共线向量，求出 【详解】根据为共线向量，且, 则，解得. 故答案为：. ( 题型02 ) 平面向量的运算 8．（23-24高一下·江苏·期末）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量的定义，先由在方向上的投影向量为，可得，再根据在方向上的投影向量为运算求解即可. 【详解】因为在方向上的投影向量为，且， 可得，即， 又因为在方向上的投影向量为， 可得，即. 故选：D. 9．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知向量的夹角为，且，则 . 【答案】1 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、用定义求向量的数量积 【分析】先利用向量数量积运算法则计算出，从而得到模长. 【详解】 ， 故 故答案为：1 10．（23-24高一下·江苏无锡·期末）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（    ） A．正三角形的费马点是正三角形的中心 B．若P为的费马点, 且 ，则一定为正三角形 C．若三边长分别为，则该三角形的费马点到各顶点距离之和为 D．的内角A，B，C所对的边分别为a，b， c， ，若点P为的费马点，则 【答案】ABC 【知识点】三角形面积公式及其应用、平面向量共线定理证明点共线问题、用定义求向量的数量积、向量在几何中的其他应用 【分析】对A，根据正三角形中心的性质结合费马点定义易判断；对B，取的中点，由可得点是的重心，再结合条件可得点是的中心，得证；对C，利用三角形旋转，结合费马点定义，构造正三角形转化线段长求解；对D，由向量数量积定义，结合费马点定义和三角形等面积法列式求解. 【详解】对于A，如图是正三角形的中心，根据正三角形的性质易得，所以点是正三角形的费马点，故A正确； 对于B，如图，取的中点，则，因为， 所以，所以三点共线，且点是的重心， 又点是的费马点，则， 则，又，易得，同理可得， 所以所以点是的外心，所以点是的中心， 即是正三角形.故B正确； 对于C，如图，在中，，，，， 点是的费马点，将绕点顺时针旋转，得到， 易证，是正三角形， 则，，，且点共线， 所以，所以， 又， 即该三角形的费马点到各顶点距离之和为.故C正确； 对于D，由费马点定义可得， 设，，，， 由，可得， 整理得， 所以 ，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，解答D选项的关键在于利用三角形等面积法求出. 11．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是非零向量，，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知数量积求模、求投影向量、数量积的运算律 【分析】（1）根据条件得到，再利用投影向量的定义，即可求出结果； （2）利用（1）结果及数量积的运算律，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以，又，得到， 又，所以在方向上的投影向量为. （2）由（1）， 所以， 得到. 12．（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据给定条件，利用向量加法的平行四边形法则求解即得. 【详解】在中，，则. 故选：C 13．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，设Ox，Oy是平面内相交成（且角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记为.已知在斜坐标系xOy中，，. (1)证明：； (2)当时，，求； (3)当时，若向量，，已知，求函数的最值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)最小值，最大值 【知识点】已知数量积求模、用定义求向量的数量积 【分析】（1）将分别用的组合来表示，根据点乘的定义计算即可证明. （2）将用来表示，利用余弦定理可求的长度. （3）由（1）可得的解析式，利用化简以后利用三角函数的性质可得的最值. 【详解】（1）， ， . （2）， 如图，中 . （3）， 由（1）可得， 令，则， ， 当时，， 当时，. 14．（23-24高一下·宁夏固原·期末）设，是非零向量，且，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【知识点】平行向量（共线向量）、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量数量积的运算即可判断，；根据向量的运算性质和向量垂直的条件即可判断，. 【详解】对于，若，则，故不正确； 对于，设，的夹角为，所以， 若，则，所以，即，同向， 所以，故正确； 对于，若，则， 所以， 因为，，所以，故正确； 对于，设，的夹角为， 若，则， 所以， 所以，所以，故正确. 故选：. 15．（23-24高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义 【分析】延长交于点，延长交于点，转化为求的最值，根据数量积的几何意义可得的范围． 【详解】延长交于点，延长交于点， 如图所示： 根据正八边形的特征，可知， 又， 所以， ， 则的取值范围是. 故选：B. 16．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求投影向量 【分析】首先计算数量积，再代入投影向量公式，即可求解. 【详解】，， 则，， 故在方向上的投影向量为：. 故选：B 17．（23-24高一下·河北保定·期末）已知向量的夹角为，且，则 ． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算，得到，进而求得向量的大小，得到答案． 【详解】因为，可得， 又因为且向量的夹角为，所以， 可得，解得或， 因为，所以（舍去），所以． 故答案为：． 18．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、已知数量积求模、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】（1）利用向量共线定理得到方程组，解出即可； （2）根据向量数量积的运算律和定义计算即可； （3）根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可. 【详解】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 19．（23-24高一下·天津西青·期末）已知向量，设与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求投影向量 【分析】直接利用投影向量的计算公式进行计算即可. 【详解】由题意知，在上的投影向量为： . 故选：C. 20．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知点是的外心，，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量在几何中的其他应用、数量积的运算律 【分析】利用平面向量的线性运算建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，，，所以， 如图，作，连接，由题意得是外接圆的圆心， 所以，故是等腰三角形， 在中，，在中，由三线合一性质得是的中点， 所以， 同理可得，又， 所以， ， 解得，，故，故C正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是进行平面向量的线性运算，然后结合给定条件建立方程，得到所要求的参数值即可． ( 题型03 ) 平面向量基本定理及坐标表示 21．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知中，为上一点，且，垂足为，则 ． 【答案】/ 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】以为坐标原点，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，根据条件求出的坐标，即可求出结果. 【详解】 如图，以为坐标原点，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系， 因为，，所以，则， 又，过作于，易知，所以, 得到，设， 则，所以， 故答案为：. 22．（23-24高一下·江苏·阶段练习）下列四个命题为真命题的是（    ） A．若向量满足，，则 B．若向量，，则在上的投影向量为 C．若向量是与向量共线的单位向量，则 D．已知向量，，则的最大值为 【答案】BD 【知识点】求投影向量、坐标计算向量的模、平行向量（共线向量） 【分析】对于A，给出作为反例即可；对于B，根据投影向量的计算公式直接求解即可；对于C，与向量共线的单位向量为或，直接判断；对于D，利用向量减法、向量模长及辅助角公式即可求解. 【详解】对于A，若，则显然有，，但与没有限制条件，故未必成立，故A错误； 对于B，在上的投影向量为，故B正确； 对于C，与向量共线的单位向量为或，故C错误； 对于D，若向量，， 则， 其中， 当且仅当时，取得最大值，故D正确. 故选：BD. 23．（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量基本定理的应用、向量的线性运算的几何应用 【分析】设，根据平面向量的线性运算可得，结合平面向量基本定理可得，即可得结果. 【详解】由题意可设， 则， 又因为，且，不共线， 可得，解得，即， 所以，即. 故选：D. 24．（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）已知向量，. (1)若与的夹角为，求实数的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量坐标. 【答案】(1)或； (2). 【知识点】数量积的坐标表示、用定义求向量的数量积、利用向量垂直求参数、求投影向量 【分析】（1）根据数量积的定义和坐标运算即可求得； （2）根据求得，再根据投影向量的定义即可求得. 【详解】（1）因为，则，，， 若与的夹角为，则由， 可得：，解的：或， 则实数的取值为或. （2），因为，则， 则，可得：，，， 则在方向上的投影向量为：. 25．（23-24高一下·北京海淀·期末）已知向量，，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】根据向量坐标公式求夹角余弦值即可. 【详解】由题设. 故选：B 26．（23-24高一下·江西宜春·期末）已知，，则正确的有（   ） A． B．与方向相反的单位向量是 C．与的夹角为 D．与平行 【答案】AC 【知识点】平行向量（共线向量）、向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】对于A，直接求出，判断答案即可；对于B，先求出与同向的单位向量，再求得方向相反的单位向量即可判断；对于C，直接求出夹角的余弦值即可判断；对于D，由是否符合共线的坐标表示即可判断. 【详解】对于A，由，，则， 故选项A正确； 对于B，与同向的单位向量， 则与方向相反的单位向量是，故选项B错误； 对于C，设与的夹角为，则， 再由，则，故选项C正确； 对于D，由， 所以与不平行，故选项D错误. 故选：AC. 27．（23-24高一下·河南·期末）如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、. (1)求顶点的坐标； (2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）利用和平面向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解； （2）设，根据平面向量线性运算的坐标表示可得，结合向量的垂直表示建立方程，解之即可求解. 【详解】（1）设，又、、， ，. 又四边形是平行四边形，所以， ， 即解得 顶点A的坐标为. （2）存在. 由（1）可知，，，， 设，则. 又，， 解得，，即. 28．（23-24高一下·河北承德·期末）已知，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若三点共线，则 D．若，则∥ 【答案】BCD 【知识点】由坐标判断向量是否共线、由向量共线（平行）求参数、利用向量垂直求参数 【分析】对于A、B，根据垂直向量的数量积为零，建立方程，可得答案；对于C、D，根据平行向量的定理，建立方程组，可得答案. 【详解】对于A，，， 由，则，即，解得，故A错误； 对于B，由，则，， 由，则，故B正确； 对于C、D，，， 由共线，则，即， 可得，解得，故C、D正确； 故选：BCD. 29．（23-24高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中，是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，可得，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围. 【详解】正八边形的每个内角为， 延长交直线于点，延长交直线于点， ，则为等腰直角三角形， 且， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、， 设点，则，，， 所以，， 故选：B. 30．（23-24高一下·青海·期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【知识点】向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由向量的加减坐标运算与两向量垂直的坐标条件可得. 【详解】因为， 所以． 因为，所以， 即，解得． 故选：D. ( 题型04 ) 平面向量的应用 31．（23-24高一下·内蒙古·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）用正弦定理将边化为角，再利用展开化简即可求解； （2）由面积可得，由余弦定理可得，解方程即可求出，进而可求周长. 【详解】（1）由题意得， 因为， 所以， 得，得，因为，所以． （2）由，得． 由余弦定理，得， 得， 得， 所以的周长为． 32．（16-17高一下·宁夏·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．在中，若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：ABD 33．（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】平面向量基本定理的应用、数量积的坐标表示、向量在几何中的其他应用 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值； 解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 34．（23-24高一下·江苏无锡·期末）三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M. (1)求角B的大小; (2)若，求的值； (3)若点G是三角形的重心，求 的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、平面向量共线定理的推论、平面向量基本定理的应用、已知数量积求模 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，由三角函数值求角即得； （2）利用两组三点共线，列出向量方程，由平面向量基本定理即可求得的值； （3）结合图形和条件将化简成，通过两边取平方，将化为，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得，整理得， 故， 因为，所以. （2）如图， 由题意可得， 因为三点共线，故可设 ， 又因三点共线，故， 所以，故. （3）因为 所以， 因为，所以， 于是，两边平方化简得： ，当且仅当时取等号， 所以，即. 所以的最小值为. 35．（23-24高一下·江西宜春·期末）在中，为上一点，，，. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，为锐角，求面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理求外接圆半径、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用余弦定理求得，再利用正弦定理即可得解. （2）利用三角函数的平方关系与余弦定理求得所需要线段长，再利用正弦定理与三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由余弦定理 ，解得； 又，解得； 外接圆的半径为； （2）因为，为锐角， 则； 设，则， 在中，， 由余弦定理得，解得； 所以； 由正弦定理，即，解得； 所以， 即的面积为. 36．（23-24高一下·广西崇左·期末）已知是的重心，的面积是，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、三角形面积公式及其应用、向量加法的运算律 【分析】根据三角形重心得出，结合面积公式计算得解，应用向量关系平方计算应用基本不等式计算即可. 【详解】如图，取的中点，连接. 设的内角的对边分别为. 因为是的重心，所以在线段上，且. 因为的面积是，所以，解得. 因为是的中点，所以，所以，即， 当且仅当时，等号成立，则. 因为是的中点，所以，所以. 故答案为： 37．（23-24高一下·青海·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)10 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式即可求解； （2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出的值，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以 即． 因为，所以， 所以，因为，所以． （2）由（1）可知，则． 因为的面积为，所以，解得 由余弦定理得， 则． 故的周长为． 38．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用同角的三角函数的基本关系可求得，利用正弦定理可求解. 【详解】由，可得，又， 所以，解得， 又因为，，所以，所以， 由正弦定理可得，所以，解得. 故选：A. 39．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】先由已知条件结合余弦定理和求出，再由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，由，得为锐角， 而，解得， 由及余弦定理，得， 解得，当且仅当时取等号， 因此，所以面积的最大值为. 故答案为：. 40．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】由三角形内角和定理及两角和的余弦、正弦公式，得,在锐角三角形中，可得.由锐角中，可得角B的范围，可得的范围，再由正弦定理可得的范围. 【详解】在中，可得 因为,可得 整理可得：， 整理可得，在锐角中，可得，可得.则，可得. 由正弦定理可得，. 因为，所以，可得，可得 故选：B. 41．（23-24高一下·陕西西安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，已知． (1)求角B的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得. （2）利用三角形面积公式及余弦定理求解即得. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 而，则， 由，得，，于是，又， 所以. （2）由，且的面积为，得，即，解得， 由余弦定理得， 所以的周长为. 42．（23-24高一下·四川绵阳·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足． (1)求B； (2)若，，求的面积； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简后利用余弦定理可求出角B； （2）利用余弦定理求出，再由三角形面积公式可求得结果；、 （3）利用正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形得，令，然后利用二次函数的性质可求其范围. 【详解】（1）， 由正弦定理，得，． 由余弦定理，得， ，． （2）在中，，，． 由余弦定理，得， 即，解得（舍）或． 的面积为． （3）由（1）知． ． 令，， ，． ， 当时，取得最小值，最小值为． 当时，取得最大值，最大值为． 的取值范围是． 43．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)从以下三个条件：①；②的面积为；③中选一个作为已知条件，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求得答案； （2）若选①，则利用正弦定理表示出，然后表示出的周长，利用三角函数恒等变换公式化简变形可求出其范围；若选②，由的面积可求出，利用余弦定理表示出，然后表示出的周长，利用基本不等式可求出其范围；对于③，利用正弦定理表示出，然后表示出，利用三角函数恒等变换公式化简可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 整理得：， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）若选①，，， 由正弦定理得，则， 所以的周长， ， 因为，所以，， 所以，即周长的取值范围是. 若选②，的面积为，所以，所以. 由余弦定理， 所以， 所以. 所以的周长为 ， 当且仅当时，“=”成立， 又由几何图形可知，的周长可以趋于无穷大， 所以的周长范围是. 若选③，若，由正弦定理，得，. 因为 ， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以的周长范围是. 44．（23-24高一下·广东广州·期末）已知a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，且． (1)求A的大小； (2)若，的面积为，求a，b； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)． 【知识点】三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得答案； （2）由求出，再由余弦定理可得答案； （3）利用两角和的正弦展开式可得，设，由的范围求出的范围，再由余弦定理得，可得，利用配方法可得答案. 【详解】（1）由正弦定理得 ， 因为， 所以， 即， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以， 故，解得； （2）因为，所以， 即，所以， 又因为，即， 所以； （3）因为， 所以， 设，因为，所以， 由（1）知，由余弦定理， 得，， ， ， 当时，取最小值；时，取最大值． 所以的取值范围是． 45．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）“费马点”是由法国数学家费马提出的一个问题．该问题是：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答．当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当内有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且． (1)求A； (2)若，的面积为，求； (3)若，设点P为的费马点．求． 【答案】(1) (2) (3)-2 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、用定义求向量的数量积 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用余弦定理结合面积公式求解； （3）利用费马点的性质等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案． 【详解】（1）已知中． 即， 故，由正弦定理可得， 由余弦定理得，又，所以； （2）因为，所以， 由（1）知， 所以，则， 则； （3）由（1）知，所以的三个角都小于120°， 则由费马点定义可知：， 设，，，由， 得， 整理得， 则 ． 【点睛】关键点点睛：由面积分割关系得. 40 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $$