42 课时精练(三十八) 用频率估计概率-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版2019）

课时精练(三十八)　用频率估计概率 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小 B．频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值 C．做n次随机试验，事件发生m次，则事件发生的频率就是事件的概率 D．频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值 ABD　[频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值，随某事件出现的次数而变化，概率指的是某一事件发生的可能程度，是个确定的理论值．故选ABD．] 2．下列叙述正确的是(　　) A．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 B．若事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1 C．频率是稳定的，概率是随机的 D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小 B　[对于A，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，因此A错误； 对于B，事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1，因此B正确； 对于C，频率是随机的，概率是稳定的，因此C错误； 对于D，5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性都为，因此D错误．故选B．] 3．数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2 021石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为(　　) A．222石 B．225石 C．230石 D．232石 B　[由题意，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，即夹谷占总的概率约为＝，所以2 021石米中夹谷约为2 021×≈225(石)．故选B．] 4．以下说法正确的是(　　) A．昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的 B．“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖 C．做10次抛硬币的试验，结果7次正面朝上，因此正面朝上的概率为 D．某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品 D　[A中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故A错误；B中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故B错误；C中正面朝上的频率为，概率仍为，故C错误；D中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件…次品，故D正确．] 5．某比赛为两运动员制定下列发球规则： 规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球； 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球． 上述规则对甲、乙公平的有(　　) A．规则一，规则二 B．规则一，规则三 C．规则二，规则三 D．规则一，规则二，规则三 B　[规则一：投掷一枚硬币，正面向上与反面向上是等可能事件，其发生的概率相等，均为，所以此规则对甲、乙公平． 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，两个球同色的概率为，不同色的概率为，所以此规则对甲、乙不公平． 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，两个球同色的概率为，不同色的概率为，所以此规则对甲、乙公平． 故选B．] 6．某家庭记录了使用了节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)，得到如下频数分布表： 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [0，0．1) [0．1，0．2) [0．2，0．3) [0．3，0．4) [0．4，0．5) [0．5，0．6) 频数 1 5 13 10 16 5 则该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．35 m3的概率为________． 解析：　由题意得，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0．35 m3的频率为＝0．48， 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0．35 m3的概率的估计值为0．48． 答案：　0．48 7．2020年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其他肉类．某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其他肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为________． 解析：　由题意，将买猪肉的人组成的集合设为A，买其他肉的人组成的集合设为B， 则韦恩图如下：A∩B中有30人，∁U(A∪B)中有10人，又不买猪肉的人有30位， ∴B∩∁UA中有20人，∴只买猪肉的人数为：100－10－20－30＝40， ∴这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为＝0．4． 答案：　0．4 8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是去年200例类似项目开发的实施结果． 投资成功 投资失败 192次 8次 则该公司一年后估计可获收益的平均数是____________元． 解析：　应先求出投资成功与失败的概率，再计算收益的平均数，设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为－5×50%，一年后公司成功的概率估计为＝，失败的概率估计为＝，所以一年后公司收益的平均数x＝(5×12%×－5×50%×)×10 000＝4 760(元)． 答案：　4 760 9．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理． (1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式． (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量n(单位：枝)，整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 ①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数； ②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率． 解析：　(1)当日需求量n≥17时，利润y＝85； 当日需求量n<17时，利润y＝10n－85； ∴利润y关于当天需求量n的函数解析式y＝(n∈N) (2)①这100天的日利润的平均数为＝76．4； ②当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝， 故当天的利润不少于75元的概率为P＝0．16＋0．16＋0．15＋0．13＋0．1＝0．7． 10．街头有人摆一种游戏，方法是投掷两枚骰子，如果两枚骰子投一次点数之和是2，3，4，10，11，12这六种情况，红方胜，而当两枚骰子点数之和是5，6，7，8，9时，白方胜，这种游戏对双方公平吗？若不公平，请说明哪方占便宜． 解析：　不公平．两枚骰子点数之和如表： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 其中点数之和是2，3，4，10，11，12这六种情况的共12种，概率是＝，两枚骰子点数之和是5，6，7，8，9的情况共24种，概率是＝．所以这种游戏不公平，白方比较占便宜． [能力提升] 11．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．若我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群运动员中服用过兴奋剂的百分率大约为________．(结果精确至0．01%) 解析：　因为掷硬币出现正面向上的概率为，我们估计大约有150名运动员回答第一个问题．又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150名运动员中大约有一半人，即75名运动员回答了“是”，另外5个回答“是”的运动员服用过兴奋剂．因此我们估计这群运动员中大约有≈3．33%的人服用过兴奋剂． 答案：　3．33% 12．下列说法： ①设有一批产品，其次品率为0．05，则从中任取200件，必有10件次品； ②抛100次硬币的试验，有51次出现正面．因此出现正面的概率是0．51； ③抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是； ④抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”“两枚都是反面朝上”“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大； ⑤有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响． 其中正确的有________． 解析：　①不正确，应该是：次品数在10件左右；②不正确，应该是：出现正面的频率为0．51；③正确；④不正确，抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”“两枚都是反面朝上”“恰好一枚硬币正面朝上”的概率分别为，，；⑤正确，因为摸奖的顺序对中奖率没有影响，每个人中奖的概率都是．综上，正确的是③⑤． 答案：　③⑤ 学科网（北京）股份有限公司 $$