20 课时精练(十八) 复数的概念-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版2019）

课时精练(十八)　复数的概念 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．下列命题： ①若z＝a＋bi，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数； ②若z＋z＝0，则z1＝z2＝0； ③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系． 其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 A　[在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值是否为实数加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z＋z＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视a＝0时，0·i＝0，故③也是错误的．] 2．已知a∈R，在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则(　　) A．a＝0或a＝2 B．a＝0 C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2 B　[因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0．] 3．已知z1＝(m2＋m＋2)＋(m2＋m－5)i，m∈R，z2＝4－3i，则“m＝1”是“z1＝z2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 A　[由z1＝z2，得， 解得m＝1或m＝－2， 所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件． 故选A．] 4．已知集合M＝{－1，4，(m2－2m－3)＋(m2－5m＋6)i}，N＝，若集合M中的所有元素之和大于集合N中的所有元素之积，则实数m＝(　　) A．2 B．2或3 C．3 D．2或－3 C　[由题意得，集合M中的元素(m2－2m－3)＋(m2－5m＋6)i为实数，则m2－5m＋6＝0，解得m＝2或m＝3．当m＝2时，M＝{－1，4，－3}，此时所有元素之和为0，而集合N中的所有元素之积为1，不符合题意；当m＝3时，M＝{－1，4，0}，所有元素之和为3，符合题意．故选C．] 5．若复数z＝ai2－bi(a，b∈R)是纯虚数，则一定有(　　) A．b＝0 B．a＝0且b≠0 C．a＝0或b＝0 D．ab≠0 B　[z＝ai2－bi＝－a－bi，由纯虚数的定义可得，a＝0且b≠0．] 6．若复数z＝(sin θ＋cos θ＋1)＋(sin θ－cos θ)i是纯虚数，则sin2 022θ＋cos2 022θ＝________． 解析：　由题意，复数z＝(sin θ＋cos θ＋1)＋(sin θ－cos θ)i是纯虚数， ∴，结合sin2θ＋cos2θ＝1， 解得或， 故sin2 022θ＋cos2 022θ＝1． 答案：　1 7．若不等式m2－(m2－2m)i＜9＋i成立．则实数m的值为________． 解析：　依题意可得 即 答案：　2 8．已知＝(x2－2x－3)i(x∈R)，则x＝__________． 解析：　因为x∈R，所以∈R，由复数相等的条件得解得x＝3． 答案：　3 9．实数m取怎样的值时，复数z＝m－3＋(m2－2m－15)i是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数？ 解析：　(1)若z为实数，则m2－2m－15＝0，此时m＝－3或m＝5． (2)若z为虚数，则m2－2m－15≠0，此时m≠－3且m≠5． (3)若z为纯虚数，则 此时m＝3． 10．实数k为何值时，复数z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零？ 解析：　由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i． (1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1． (2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1． (3)当时，z是纯虚数，解得k＝4． (4)当时，z＝0，解得k＝－1． [能力提升] 11．设复数z＝a＋bi(其中a，b∈R，i为虚数单位)，则“a＝0”是“z为纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 B　[若复数z＝a＋bi是纯虚数，则a＝0，b≠0，则a＝0不能推出z为纯虚数，z为纯虚数可以推出a＝0，故“a＝0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件．故选B．] 12．复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋4sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是(　　) A．[－1，8] B． C． D． A　[由复数相等的充要条件可得 化简得4－4cos2θ＝λ＋4sin θ， 由此可得λ＝－4cos2θ－4sin θ＋4 ＝－4(1－sin2θ)－4sin θ＋4 ＝4sin2θ－4sin θ＝4(sin θ－)2－1， ∵sin θ∈[－1，1]， ∴4sin2θ－4sin θ∈[－1，8]． 故选A．] 学科网（北京）股份有限公司 $$