19 单元检测卷(二) 三角恒等变换-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版2019）

单元检测卷(二)　三角恒等变换 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，则α－β＝(　　) A．－ B． C．－ D． C　[∵sin α＝，cos β＝，且α，β均为锐角， ∴cos α＝＝，sin β＝＝． ∵sin α<sin β，∴0<α<β<， ∴－<α－β<0． 又sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－， ∴α－β＝－．故选C．] 2．若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ等于(　　 ) A． B． C． D． D　[因为θ∈，所以2θ∈，cos 2θ≤0，所以cos 2θ＝－＝－．又因为cos 2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，sin θ＝．故选D．] 3．已知x∈(0，π)，cos＝－，则cos(x－)＝(　　) A． B． C． D． A　[因为x∈(0，π)，cos ＝－． 所以sin＝＝． 则cos＝cos ＝coscos ＋sin sin ＝(－)×＋×＝．] 4．若tan θ＝2，则＝(　　) A．－ B． C． D． B　[＝ ＝＝cos θ(sin θ－cos θ) ＝＝＝＝． 故选B．] 5．化简： (3π<α<4π)的结果为(　　) A．2sin B．－2sin C．2cos D．－2cos C　[∵3π<α<4π，∴<<2π， <<π，<<，∴cos >0， cos <0，cos >0． ∴＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2cos ，故选C．] 6．已知sin－2sin 3xcos＝，则cos＝(　　) A． B．－ C． D．－ B　[因为sin＝sin ＝sin 3xcos＋cos 3xsin， 所以sin－2sin 3xcos ＝－sin 3xcos＋cos 3xsin＝， 整理得－sin＝，即sin＝－， 所以cos＝cos ＝－cos＝2sin2－1＝－，故选B．] 7．已知－<α－β<，sin α＋2cos β＝1，cos α－2sin β＝，则sin＝(　　) A． B． C． D． A　[∵sin α＋2cos β＝1，cos α－2sin β＝， 两式平方相加可得sin2α＋cos2α＋4sin2β＋4cos2β＋4cos βsin α－4sin βcos α＝3， ∴5＋4sin(α－β)＝3，即sin(α－β)＝－． ∵－<α－β<， ∴α－β＝－，将α＝β－代入sin α＋2cos β＝1可得sin(β－)＋2cos β＝1，∴sin β＋cos β＝1，sin(β＋)＝1，则sin(β＋)＝，故选A．] 8．若Sn＝sin ＋sin ＋…＋sin (n∈N*)，则在S1，S2，S3，…，S100中，正数的个数是(　　) A．86 B．72 C．16 D．100 A　[因为f(x)＝sin 的最小正周期为T＝14，又sin >0，sin >0，…，sin >0，sin ＝0，所以在S1，S2，…，S14中有12个是正数，故在S1，S2，…，S100中有7×12＋2＝86个正数，故选A．] 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分) 9．下列化简正确的是(　　) A．cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝ B．sin 15°sin 30°sin 75°＝ C．＝－ D．cos215°－sin215°＝ CD　[cos 82°sin 52°－sin 82°cos 52°＝sin(52°－82°)＝sin (－30°)＝－sin 30°＝－，故A错误； sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故B错误； ＝tan(48°＋72°)＝tan 120°＝－，故C正确； cos215°－sin215°＝cos 30°＝，故D正确．故选CD．] 10．已知向量a＝(，1)，b＝(cos α，sin α)，α∈，则下列结论正确的有(　　) A．|b|＝1 B．若a∥b，则tan α＝ C．a·b的最大值为2 D．|a－b|的最大值为3 AC　[对于A，|b|＝＝1，A正确； 对于B，若a∥b，则sin α－cos α＝0，∴tan α＝，B错误； 对于C，a·b＝cos α＋sin α＝2sin(α＋)，最大值为2，C正确； 对于D，|a－b|＝ ＝＝， 因为α∈，所以α＋∈， 则sin ∈，则|a－b|max＝＝，D错误，故选AC．] 11．若sin α＋cos α＝，则(　　) A．cos(α＋)＝ B．3tan2α＋8tan α＝－11 C．sin(α＋)＝－ D．3tan2α＋8tan α＝－12 BC　[因为sin α＋cos α＝2sin(α＋)＝2cos(α－)＝， 所以sin(α＋)＝cos(α－)＝， 则cos(α＋π)＝－cos(α－)＝－，sin(α＋π)＝－sin(α＋)＝－，故A错，C正确； 因为sin α＋cos α＝，即有(sin α＋cos α)2＝， 所以4sin2α＋12cos2α＋8sin αcos α＝1＝sin2α＋cos2α， 则3sin2α＋11cos2α＋8sin αcos α＝0， 所以 ＝＝0， 故3tan2α＋8tan α＝－11，所以B正确，D错．故选BC．] 12．已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x，下列命题正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)在区间上为增函数 C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴 D．函数f(x)的图象可由函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到 BC　[f(x)＝sin 2x－＝sin(2x－)－，显然A错；当x∈时，2x－∈，函数f(x)为增函数，故B正确；令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝π＋，k∈Z，显然x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故C正确；f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位得到y＝sin＝sin的图象，故D错．] 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知α，β都是锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝，则sin β＝________． 解析：　∵α，β都是锐角，∴α＋β∈(0，π)， 又sin α＝，cos(α＋β)＝， ∴cos α＝，sin(α＋β)＝， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝×－×＝． 答案：　 14．已知sin α＋cos α＝，则sin(2α＋)＝________． 解析：　因为sin α＋cos α＝， 故可得sin(α＋)＝， 则sin＝sin ＝－cos ＝2sin2－1＝2×－1 ＝－． 答案：　－ 15．已知sin(α＋)＝，则sin(2α＋)＝________． 解析：　sin＝sin＝cos(2α＋)＝1－2sin2(α＋)＝1－2×＝－． 答案：　－ 16．已知sin＝，α∈，则tan＝________． 解析：　∵α∈，∴α＋∈， ∴cos＝－＝－， 则tan＝＝－， tan＝tan ＝＝＝－7． 答案：　－7 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在①tan α＝4，②7sin 2α＝2sin α，③cos ＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题． 已知α∈，β∈，cos(α＋β)＝－，________，求cos β． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解析：　方案一：选条件①． 因为tan α＝4，所以＝4． 由平方关系sin2α＋cos2 α＝1， 解得或 因为α∈，所以 因为cos(α＋β)＝－，且sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1， 所以sin2(α＋β)＝． 因为α∈，β∈，所以0<α＋β<π， 所以sin(α＋β)＝． 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝． 方案二：选条件②． 因为7sin 2α＝2sin α，所以14sin αcos α＝2sin α， 因为α∈，所以sin α>0，所以cos α＝． 由平方关系sin2α＋cos2α＝1，解得sin2α＝． 因为α∈． 所以sin α＝．以下同方案一． 方案三：选条件③． 因为cos＝，所以cos α＝2cos2－1＝． 由平方关系sin2α＋cos2 α＝1，解得sin2α＝． 因为α∈，所以sin α＝． 以下同方案一． 18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋sin2x－cos 2x－． (1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值； (3)若θ为锐角，f＝，求cos θ的值． 解析：　(1)由f(x)＝sin 2x＋(1－cos 2x)－cos 2x－ ＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－)． 令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 故函数f(x)的减区间为，k∈Z． (2)由－≤x≤，得－≤2x－≤， 所以－1≤sin≤，－2≤f(x)≤1． 故函数f(x)在区间上的最大值为1，最小值为－2． (3)由f＝2sin＝，可得sin(θ－)＝． 由0<θ<，可得－<θ－<， 又由sin>0，可得0<θ－<， 则cos(θ－)＝＝． 所以cos θ＝cos ＝[cos－sin] ＝×＝． 19．(本小题满分12分)已知α∈(0，)，β∈(0，)，且cos(α－β)－cos(α＋β)＝，tan＋＝． (1)求cos 2β的值； (2)求tan(α＋β)的值． 解析：　(1)cos(α－β)－cos(α＋β)＝2sin αsin β＝，所以sin αsin β＝， tan＋＝＋＝＝＝，所以sin α＝，则sin β＝， 所以cos 2β＝1－2sin2β＝－． (2)因为α∈(0，)，β∈(0，)，所以cos α＝＝，tan α＝，cos β＝＝，tan β＝． 所以tan(α＋β)＝＝＝． 20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0，0<φ<π)，x∈R的最大值是1，其图象经过点M． (1)求f(x)的解析式； (2)已知α，β∈(0，)，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值． 解析：　(1)依题意知 A＝1，又图象经过点M， ∴f＝sin＝， 再由<＋φ<得＋φ＝，即φ＝， 因此f＝sin＝cos x． (2)∵f＝cos α＝，f＝cos β＝， 且α，β∈． ∴sin α＝，sin β＝． 则f＝cos＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝． 21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos x·sin(x＋)－sin2x＋sin x·cos x＋1． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的最大值及最小值； (3)写出函数f(x)的单调递增区间． 解析：　(1)f(x)＝2cos x·(sin x＋cos x)－sin2x＋sin x·cos x＋1 ＝2sin x·cos x＋(cos2x－sin2x)＋1＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin(2x＋)＋1， 则函数f(x)的最小正周期T＝＝π． (2)∵－1≤sin(2x＋)≤1， ∴－1≤2sin(2x＋)＋1≤3， ∴当2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值3， ∴当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取最小值－1． (3)令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， ∴函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)． 22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos xsin(x＋)－2cos2x＋，x∈R． (1)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为h(x)．若关于x的方程2[h(x)]2＋mh(x)＋1＝0在区间上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围． 解析：　(1)∵f＝2cos x·(sin x＋cos x)－2cos2x＋ ＝sin xcos x－cos2x＋ ＝sin 2x－cos 2x ＝sin， 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 得－＋kπ≤x≤＋kπ， 又因为x∈， 所以f(x)的单调递增区间为和． (2)将f(x)的图象向左平移个单位后， 得h(x)＝sin 2x， 又因为x∈，则2x∈， h(x)＝sin 2x的函数值从0递增到1，又从1递减到0． 令t＝h(x)，则t∈[0，1]， 依题意得2t2＋mt＋1＝0在t∈[0，1)上仅有一个实根． 令H(t)＝2t2＋mt＋1，因为H(0)＝1>0， 则需H(1)＝2＋m＋1<0或 解得m<－3或m＝－2． 所以实数m的取值范围为{m|m<－3，或m＝－2}． 学科网（北京）股份有限公司 $$