18 课时精练(十七) 简单的三角恒等变换-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版2019）

课时精练(十七)　简单的三角恒等变换 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．若α∈(0，π)，且sin α＋2cos α＝2，则tan 等于(　　) A．3 B．2 C． D． C　[∵α∈(0，π)，∴ ∈． ∵sin α＋2cos α＝2，∴cos α＝1－sin α． ∴tan ＝＝＝．] 2．函数f(x)＝2sin2x＋sin 2x的最小正周期为(　　) A． B． C．π D．2π C　[函数f(x)＝2sin2x＋sin 2x＝1－cos 2x＋sin 2x＝sin＋1，则该函数的最小正周期为＝π，故选C．] 3．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于(　　) A．－ B．－ C． D． D　[∵α，β∈(0，π)，∴sin α＋sin β>0， ∴cos β－cos α>0， ∴cos β>cos α． ∵在(0，π)上，y＝cos x是减函数，∴β<α，∴0<α－β<π．由原式可知， 2sin cos ＝(－2sin sin )， ∴tan ＝，∴＝，∴α－β＝．] 4．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝，c＝，则有(　　) A．a>b>c B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a B　[a＝cos 6°－sin 6° ＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b＝＝tan(2×22．5°)＝tan 45°＝＝sin 30°， c＝＝cos 25°＝sin 75°， 所以a<b<c． 故选B．] 5．函数y＝＋2cos2 x－1(x∈)的值域为(　　) A．[－，1] B．[－1，] C．[－，] D．[－1，1] B　[y＝＋2cos2 x－1 ＝＋cos 2x ＝＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x ＝sin(2x＋)． 又x∈，则(2x＋)∈， 所以sin(2x＋)∈， 所以所求函数的值域为． 故选B．] 6．化简：＝________． 解析：　原式＝＝2cos α． 答案：　2cos α 7．设α为第四象限角，且＝，且tan 2α＝________． 解析：　＝ ＝＝cos 2α＋2cos2α ＝cos 2α＋1＋cos 2α＝2cos 2α＋1＝， 所以cos 2α＝， 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－＝－，tan 2α＝－． 答案：　－ 8．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为(，－)，∠AOC＝α，若|BC|＝1，则cos2－sin·cos－的值为________． 解析：　∵点B的坐标为(，－)， ∴OB＝OC＝1，设∠AOB＝θ， ∴sin(2π－θ)＝－，cos(2π－θ)＝， 即sin θ＝，cos θ＝， ∵∠AOC＝α，BC＝1， ∴θ＋α＝， 则α＝－θ， ∴cos2－sincos － ＝cos α－sin α＝cos(α＋) ＝cos(－θ)＝sin θ＝． 答案：　 9．已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π． (1)求ω的值； (2)将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间上的最小值． 解析：　(1)f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx＝sin ωxcos ωx＋＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＝sin＋． ∵ω>0，依题意得＝π，∴ω＝1． (2)由(1)知f(x)＝sin＋． 由题意知，g(x)＝f(2x)＝sin＋． 当0≤x≤时，≤4x＋≤， ∴≤sin≤1， ∴1≤g(x)≤． 故函数y＝g(x)在区间上的最小值为1． 10．已知函数f(x)＝sin2x－sin xcos x＋，g(x)＝mcos(x＋)－m＋2． (1)若对任意x1，x2∈[0，π]，均有f(x1)≥g(x2)，求m的取值范围； (2)若对任意x∈[0，π]，均有f(x)≥g(x)，求m的取值范围． 解析：　(1)f(x)＝sin2x－sin xcos x＋＝－sin 2x＋＝1－sin(2x＋)， 由x1∈[0，π]，f(x1)∈[0，2]， 又x2∈[0，π]，当m≥0时，g(x2)∈[－2m＋2，－m＋2]， 要使f(x1)≥g(x2)恒成立，只需0≥－m＋2， 解得m≥4， 当m<0时，g(x2)∈， 要使f(x1)≥g(x2)恒成立，只需0≥－2m＋2，解得m≥1，与m<0矛盾， 综上，m的取值范围是[4，＋∞)． (2)由(1)得，f(x)＝1－sin(2x＋) ＝1＋cos(2x＋)＝2cos2(x＋)， 要使f(x)≥g(x)恒成立，只需2cos2(x＋)≥mcos(x＋)－m＋2， 则m≤2， 因为x∈[0，π]，所以cos(x＋)∈， 所以只需m≥2恒成立，即m≥3， 则所求m的取值范围为[3，＋∞)． [能力提升] 11．已知函数f(x)＝sin ωx＋acos ωx(a>0且ω>0)，周期T<2π，f()＝，且f(x)在x＝处取得最大值，则ω的最小值为(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 C　[f(x)＝sin ωx＋acos ωx＝sin(ωx＋φ)，其中tan φ＝a， ∵f(x)在x＝处取得最大值， ∴ω＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ－ω，k∈Z， ∴tan φ＝tan(＋2kπ－ω)＝tan(－ω)＝＝a，(k∈Z)，① ∵f()＝sin(ω＋φ) ＝sin(ω＋＋2kπ－ω) ＝cosω＝，k∈Z， ∴cosω＝，② ②÷①得sinω＝·， ∴sin2＋cos2＝＋＝1， 即a4－2a2－3＝0，解得a＝，a＝－(舍去)， 由①得tan＝＝tan(＋kπ)，k∈Z， ∵cos>0， ∴在第一象限， ∴取＝tan(＋2kπ)，k∈Z， 由T＝<2π，即ω>1， ∴＝＋2kπ，k∈Z， ∴ω＝12k＋1，k∈Z， 要使ω最小，则k＝1， 即ωmin＝13，故选C．] 12．已知函数f(x)＝log2(＋x)－＋2，x∈R，若θ∈使关于θ的不等式f(2sin θ·cos θ)＋f(4－2sin θ－2cos θ－m)<2成立，则实数m的范围为________． 解析：　令g(x)＝f(x)－1＝log2(＋x)－＋1， 则g(－x)＝f(－x)－1＝log2(－x)－＋1， 而g(x)＋g(－x)＝log21＋2－－＝0， 所以g(x)是奇函数，而y＝log2(＋x)在R上单调递增，y＝－＋1在R上单调递增， 所以g(x)是R上的单调递增函数且为奇函数， 而f(2sin θ·cos θ)＋f(4－2sin θ－2cos θ－m)<2可变形成f(2sin θ·cos θ)－1<1－f(4－2sin θ－2cos θ－m)， 即g(2sin θ·cos θ)<－g(4－2sin θ－2cos θ－m)＝g(2sin θ＋2cos θ＋m－4)， 由g(x)是R上的单调递增函数，则θ∈使关于θ的不等式2sin θ·cos θ<2sin θ＋2cos θ＋m－4成立， 即－m<2(sin θ＋cos θ)－2sin θ·cos θ－4， 设t＝sin θ＋cos θ＝sin(θ＋)，θ∈， 则t∈[1，]，2sin θ·cos θ＝t2－1， 令h(t)＝2t－(t2－1)－4＝－t2＋2t－3＝－(t－1)2－2，t∈[1，]，则h(t)的最大值为－2， 所以－m<－2，即m>2． 综上所述：实数m的范围为m>2． 答案：　(2，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$