16 课时精练(十五) 两角和与差的正切公式-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版2019）

课时精练(十五)　两角和与差的正切公式 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝(　　) A． B．－ C． D．－ B　[tan(α＋β)＝＝＝－．] 2．等于(　　) A． B．1 C． D．－1 B　[原式＝＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1．故选B．] 3．已知α、β为锐角，sin α＝，tan(β－α)＝，则tan β＝(　　) A． B． C．3 D． A　[∵α、β为锐角，sin α＝，tan(β－α)＝， ∴cos α＝＝，tan α＝＝， 则tan β＝tan[(β－α)＋α]＝＝＝，故选A．] 4．△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则tan∠BAC＝(　　) A． B．－ C．2 D．－2 D　[△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC， 如图所示， 设AD＝x，则BD＝x，DC＝3x， 所以AB＝x，AC＝x， ∴tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝3， ∴tan∠BAC＝tan(∠BAD＋∠CAD)＝＝＝－2． 故选D．] 5．若α＋β＝，则tan αtan β－tan α－tan β的值为(　　) A． B．1 C．－1 D．－ A　[因为α＋β＝， 所以tan(α＋β)＝＝tan ＝－， 整理可得tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)． 所以tan αtan β－tan α－tan β ＝tan αtan β－(tan α＋tan β) ＝tan αtan β＋－tan αtan β＝．] 6．＝________． 解析：　原式＝ ＝＝． 答案：　 7．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为________． 解析：　tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝＝－． 答案：　－ 8．已知－<α<β<，且αβ≠0，1－4tan αtan β＝，则tan(α＋β)的最大值是________． 解析：　因为1－4tan αtan β＝＝＝1＋tan2β， 所以tan β＝－4tan α． 又－<α<β<，αβ≠0， 所以－<α<0<β<，且tan α<0， 所以tan(α＋β)＝＝ ＝ ≤＝， 当且仅当tan α＝－时取等号， 故tan(α＋β)的最大值是． 答案：　 9．已知cos α＝，cos β＝，其中α，β都是锐角，求： (1)sin(α－β)的值； (2)tan(α－β)的值． 解析：　(1)因为α，β都是锐角， 所以sin α＝＝， sin β＝＝， 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝×－×＝． (2)因为tan α＝＝2，tan β＝＝， 所以tan(α－β)＝＝＝． 10．如图，在平面直角坐标系xOy上，点A(1，0)，点B在单位圆上，∠AOB＝θ(0<θ<π)． (1)若点B(－，)，求tan(θ＋)的值； (2)若＋＝，·＝，求cos(－θ)． 解析：　(1)由点B(－，)，∠AOB＝θ(0<θ<π)，得sin θ＝，cos θ＝－， ∴tan θ＝－， ∴tan(θ＋)＝＝＝－． (2)∵＋＝，＝(1，0)， ＝(cos θ，sin θ)， ∴＝(1＋cos θ，sin θ)， 又∵·＝， ∴·＝cos θ＋cos2θ＋sin2θ＝cos θ＋1＝， 解得cos θ＝， ∵0<θ<π， ∴sin θ＝＝． ∴cos(－θ)＝coscos θ＋sinsin θ ＝×＋×＝． [能力提升] 11．(多选)在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是(　　) A．tan(A＋B)＝－ B．tan A＝tan B C．cos B＝sin A D．tan A·tan B＝ BCD　[∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°， ∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝，∴A错； ∵tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝， ∴tan A·tan B＝①，∴D正确； 又tan A＋tan B＝②，由①②联立解得 tan A＝tan B＝，所以cos B＝sin A，故BC正确．故选BCD．] 12．在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高．如图为室内5人制足球场示意图，设球场(矩形)长BC大约为40米，宽AB大约为20米，球门长PQ大约为4米．在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上某点M处射门(假设球贴地直线运行)，为使得张角∠PMQ最大，则BM大约为(精确到1米)(　　) A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 C　[设∠PMB＝α，∠QMB＝β，BM＝x， 则tan α＝＝，tan β＝＝， 则tan∠PMQ＝tan(β－α)＝＝＝≤＝， 当且仅当x＝，即BM＝x＝4≈10时取等号． 故选C．] 学科网（北京）股份有限公司 $$