12 课时精练(十二) 平面向量的应用举例-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版2019）

课时精练(十二)　平面向量的应用举例 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于(　　) A．(－2，－2) B．(2，－2) C．(－1，2) D．(－2，2) D　[因为F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(7，－3)，所以F1＋F2＋F3＝(－2，－1)＋(－3，2)＋(7，－3)＝(2，－2)，要想使该物体保持平衡，只需F4 ＝－(2，－2)＝(－2，2)，故选D．] 2．河水的流速为5 m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为(　　) A．13 m/s B．12 m/s C．17 m/s D．15 m/s A　[设河水的流速|v2|＝5 m/s， 静水速度与河水速度的合速度| v |＝12 m/s， 小船的静水速度为v 1， 为了使船航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向， 即静水速度v 1斜向上游方向， 河水速度| v 2|＝5 m/s平行于河岸， 静水速度与河水速度的合速度| v |＝12 m/s指向对岸， 所以静水速度| v 1|＝＝＝13(m/s)．故选A．] 3．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 A　[∵(－)·(＋－2)＝0， ∴·(＋)＝0， ∴⊥(＋)， ∴△ABC的中线和底边垂直， ∴△ABC是等腰三角形．故选A．] 4．已知O是△ABC所在平面上一点，满足||2＋||2＝||2＋||2，则点O(　　) A．在与边AB垂直的直线上 B．在角A的平分线所在直线上 C．在边AB的中线所在直线上 D．以上选项都不对 A　[设＝a，＝b，＝c，则＝－＝c－b，＝－＝a－c，又||2＋||2＝||2＋||2，∴|a|2＋|c－b|2＝|b|2＋|a－c|2，化简可得b·c＝a·c，即(b－a)·c＝0，即·＝0，∴⊥，AB⊥OC，故选A．] 5．已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则O是△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 C　[由2＋2＝2＋2， 得2－2＝2－2， 即2－2＝2－2，故(－)·(＋)＝(－)·(＋)， 故·(＋)＝(＋)·， ∴·(＋－－)＝0， 又＝－，＝－， ∴·(＋＋－＋－)＝0， ∴·＝0，即CO⊥AB， 同理·＝0，·＝0，即OB⊥AC，OA⊥BC，所以O是△ABC的垂心．故选C．] 6．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|2＋3|的最小值为________． 解析：　以，为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 设C(0，a)，P(0，b)，B(1，a)，A(2，0)，0≤b≤a， 则2＋3＝2(2，－b)＋3(1，a－b) ＝(7，3a－5b)， 所以|2＋3|＝ ≥7， 当b＝时取得最小值7． 答案：　7 7．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________． 解析：　由题意知，圆C的半径为，且|AB|＝，可得∠ACB＝60°， 所以·＝－·＝－||·||·cos ∠ACB＝－××＝－． 答案：　－ 8．小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h． 解析：　如图，设小船实际航行速度为v 0，则v 0＝v 1＋v 2，设船在静水中的速度为| v 1|＝10 km/h，河水的流速为| v 2|＝10 km/h, 因为v 1⊥v 2，所以|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，得(10)2＋102＝|v0|2， 所以|v0|＝20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h． 答案：　20 9．在风速为75(－) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向． 解析：　设向量a表示风速，b表示无风时飞机的航行速度，c表示有风时飞机的航行速度，则c＝a＋b． 如图，作向量＝a，＝b，＝c，则四边形OACB为平行四边形， 过C，B分别作OA的垂线，交AO的延长线于D，E两点， 由已知得，||＝75(－)，||＝150，∠COD＝45°， 在Rt△COD中，OD＝OCcos 45°＝75，CD＝75， 又ED＝BC＝OA＝75(－)， ∴OE＝OD＋ED＝75，又BE＝CD＝75， ∴在Rt△OEB中，OB＝＝150，sin ∠BOE＝＝， ∴||＝150，∠BOE＝30°， 故没有风时飞机的航速为150 km/h，航向为西偏北30°． 10．(1)已知向量a，b满足|a|＝，b＝(1，2)，且a∥b，求a的坐标； (2)已知A(－1，－4)，B(5，2)，C(3，4)，判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角． 解析：　(1)设a＝(x，y)，则x2＋y2＝5， 又a∥b，所以2x－y＝0， 联立解得或 于是a＝(1，2)或a＝(－1，－2)． (2)△ABC是直角三角形，∠B为直角． 证明如下： ∵＝(－1，－4)－(5，2)＝(－6，－6)，＝(3，4)－(5，2)＝(－2，2)， ∴·＝－6×(－2)＋(－6)×2＝0， ∴⊥，即△ABC为直角三角形，∠B为直角． [能力提升] 11．已知△ABC，若对任意m∈R，|－m|≥||恒成立，则△ABC为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定 C　[在直线AB上取一点D，使得m＝，则－m＝－＝，∴||≥||．∵对于任意m∈R，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC⊥AD，即AC⊥AB，∴△ABC为直角三角形．故选C．] 12．△ABC中，⊥，M是BC中点，O是线段AM上任意一点，且||＝||＝2，则·＋·的最小值为(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 C　[在直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，则BC＝2，因为M为BC的中点，所以AM＝．设||＝x(0≤x≤)， 则·＋·＝·(＋) ＝2· ＝－2||·|| ＝－2x(－x)＝2(x2－x) ＝2－1， 所以当x＝，即||＝时，原式取得最小值为－1．故选C．] 学科网（北京）股份有限公司 $$