10 课时精练(十) 正弦定理-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版2019）

课时精练(十)　正弦定理 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，B＝，A＝，则b＝(　　) A． B．3 C．2 D．6 A　[因为在△ABC中，a＝，B＝，A＝，所以由正弦定理可得b＝sin B＝＝．故选A．] 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a＝，则等于(　　) A． B． C． D．2 D　[A＝60°，a＝，由正弦定理可得，＝＝＝＝2，∴b＝2sin B，c＝2sin C，则＝2．故选D．] 3．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝，则三角形外接圆的半径为(　　) A． B．2 C．2 D．4 C　[在△ABC中，∵b＝2，A＝120°， 三角形的面积S＝＝bc·sin A＝c·，∴c＝2＝b， 故B＝(180°－A)＝30°． 再由正弦定理可得2R＝＝＝4， ∴三角形外接圆的半径R＝2， 故选C．] 4．在△ABC中，a，b分别为内角A，B所对的边，b＝5，B＝30°，若△ABC有两解，则a的取值范围是(　　) A．(2，5) B．(5，10) C．(2，2) D．(2，10) B　[因为三角形有两个解，所以满足b<a<， 所以5<a<10， 故选B．] 5．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是(　　) A．sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6 B．△ABC是钝角三角形 C．cos A＝ D．若c＝6，则△ABC的外接圆半径为 ACD　[因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可设(k>0)，解得所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，所以A正确．由上可知，c最大，所以△ABC中角C最大，又cos C＝＝＝>0，所以C为锐角，所以B错误．又cos A＝＝＝，所以C正确．设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得2R＝．又sin C＝＝，所以2R＝，解得R＝，所以D正确．故选ACD．] 6．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝4∶1∶1，AC＝，那么最大边长等于________． 解析：　因为△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝4∶1∶1，所以A＝＝，B＝，BC为最大边， 由正弦定理得＝＝＝2， 所以BC＝2sin A＝2sin ＝2×＝3． 答案：　3 7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sin Acos C＝3cos Asin C，则b的值为________． 解析：　在△ABC中，因为sin Acos C＝3cos Asin C，则由正弦定理及余弦定理的推论有a·＝3··c，化简并整理得2(a2－c2)＝b2． 又a2－c2＝2b，所以4b＝b2，解得b＝4或b＝0(舍去)． 答案：　4 8．在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取点D、E两点，沿DE折叠后A点可与BC上的P点重合，则AD长度的最小值为________． 解析：　设∠DPB＝α，AD＝x，0<x<1， 则BD＝1－x，DP＝AD＝x， 在三角形BDP中，由正弦定理可得＝， 即x＝， 当sin α＝1时，即DP垂直BC时，AD＝x最小，最小值为＝2－3． 答案：　2－3 9．如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD． (1)若sin∠BAC＝，求sin∠BCA； (2)若AD＝3AC，求AC． 解析：　(1)在△ABC中，由正弦定理得，＝，即＝，解得sin∠BCA＝． (2)设AC＝x，AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝＝2x，sin∠CAD＝＝． 在△ABC中，由余弦定理的推论得， cos∠BAC＝＝． 又∠BAC＋∠CAD＝， 所以cos∠BAC＝sin∠CAD，即＝， 整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－(舍去)，即AC＝3． 10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2B＝A＋C，向量m＝(3a，b)，n＝(2b，c)，m∥n． (1)求A； (2)若a＝2，求△ABC的面积． 解析：　(1)∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝． 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B， 即b2＝a2＋c2－ac．(*) ∵m∥n，∴2b2＝3ac，∴b2＝ac． 将b2＝ac代入到(*)中，得2a2－5ac＋2c2＝0， 解得a＝2c或c＝2a． 当a＝2c时，b＝c，cos A＝＝0， ∴A＝； 当c＝2a时，b＝a，cos A＝＝， ∴A＝． 综上，A＝或A＝． (2)由(1)，知B＝． 又a＝2，∴当A＝时，b＝，c＝1，S△ABC＝bc＝××1＝；当A＝时，b＝2，S△ABC＝ab＝×2×2＝2． 综上，△ABC的面积为或2． [能力提升] 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，下列说法不正确的有(　　) A．若A＝45°，b＝4，a＝4，则△ABC有两解 B．若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝2 C．a>b是sin A>sin B的充要条件 D．若acos A＝bcos B，则△ABC形状是等腰或直角三角形 A　[A选项，在△ABC中，若A＝45°，b＝4，a＝4，则B＝A＝45°，所以C＝90°，即△ABC只有一解，故A错；B选项，由sin C＝2sin A，得AB＝2BC，∵BC＝，∴AB＝2，故B正确；C选项，在△ABC中，若a>b，由正弦定理，可得sin A>sin B；反之也成立，所以a>b是sin A>sin B的充要条件，故C正确；D选项，由acos A＝bcos B，根据正弦定理，可得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，则A＝B或A＋B＝，故△ABC形状是等腰或直角三角形，故D正确．故选A．] 12．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C，3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为(　　 ) A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4 D　[∵A>B>C，∴a>b>c． 设a＝b＋1，c＝b－1，由3b＝20acos A得 3b＝20(b＋1)×． 化简，得7b2－27b－40＝0． 解得b＝5或b＝－(舍去)，∴a＝6，c＝4． ∴sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4．] 学科网（北京）股份有限公司 $$