4 课时精练(四) 向量的数乘-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版2019）

课时精练(四)　向量的数乘 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D A　[∵＝－5a＋6b，＝7a－2b，∴＝＋＝2a＋4b，又＝a＋2b，所以＝2，即∥，而，有公共点B，∴A，B，D三点共线，A选项正确；＝－4a＋8b，显然，，两两不共线，选项B，C，D都不正确．故选A．] 2．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ－μ＝(　　) A．－ B． C．1 D．－1 D　[由＝＋＝＋ ＝－＋(＋)＝－＋， 所以λ＝－，μ＝，即λ－μ＝－1，故选D．] 3．(多选)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中不正确的是(　　) A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a ACD　[对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，故A不正确；而λ2>0，故a与λ2a的方向相同，B正确；对于C，|－λa|＝|λ||a|，由于|λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定，故C错误；对于D，|λ|·a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小，故D错误．故选ACD．] 4．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝(　　) A． a＋ b B． a＋ b C． a＋ b D． a＋ b B　[由题得＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，即＝＋，解得＝＋，即＝ a＋ b．故选B．] 5．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半”，这就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心和重心，下列四个选项中结论不正确的是(　　) A．＝2 B．＋＋＝0 C．＝＋＋ D．＝＝ D　[如图：根据欧拉线定理可知，点O，H，G共线，且GH＝2OG． 对于A，因为GH＝2OG，所以＝2，故A正确；对于B，取BC的中点为D，则＋＋＝＋2＝0，故B正确；对于C，＝3＝3(－)＝3(－)＝2－3＝2(＋)－3＝2－＝＋＋，故C正确；对于D，＝＝显然不正确．故选D．] 6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ的值为________． 解析：　方法一：由＝2，得－＝2(－)，即＝＋，所以λ＝． 方法二：由D是AB边上一点知，A，B，D三点共线． 又＝＋λ，所以＋λ＝1，因此λ＝． 答案：　 7．若＝(a＋5b)，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则共线的三点是________． 解析：　∵＝＋＝a＋5b，∴＝，又和有公共点B，则A，B，D三点共线． 答案：　A，B，D 8．已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________． 解析：　因为＋＋＝，所以＝－－＝＋＋＝2，所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，所以△PBC与△ABC的面积之比为2∶3． 答案：　2∶3 9．设两个不共线的向量e1，e2，若a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，是否存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？ 解析：　d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2) ＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2， 要使d与c共线，则存在实数k，使得d＝kc(c≠0)， 即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝2ke1－9ke2， ∴(2λ＋2μ－2k)e1＝(－9k＋3λ－3μ)e2， 又e1，e2是两个不共线的向量， ∴解得λ＝－2μ． 故存在实数λ和μ，使得d与c共线，此时λ＝－2μ． 10．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，设＝a，＝b． (1)试用a和b表示； (2)若点P满足＝a＋λb，且B，D，P三点共线，求实数λ的值． 解析：　(1)∵＝－，＝－，又AB＝2CD，故＝2， ∴－＝2(－)， 化为＝－＋2＝－b＋2a． (2)∵B，D，P三点共线， ∴＝k＋(1－k)， ∵＝－，＝2， ∴＝＋， 又＝a＋λb＝＋λ ＝＋λ(－)， ∴＝＋λ(－) ＝－＋(＋λ)， 又∵，不共线， ∴解得λ＝． [能力提升] 11．△ABC中，D为AC上的一点，满足＝．若P为BD上的一点，满足＝m＋n(m>0，n>0)，则＋的最小值为________． 解析：　由已知＝＋＝(m－1)＋n， 又＝， 所以＝＋＝－m－n＋＝－m＋(－n)， 因为B，P，D三点共线，，不共线， 所以存在λ使得＝λ，即 得m＋4n＝1， 又m>0，n>0， 所以＋＝(m＋4n)(＋)＝8＋＋≥8＋2 ＝16， 当且仅当m＝4n即m＝，n＝时，取等号， 即＋的最小值为16． 答案：　16 12．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，连接AE．若动点P从点A出发，按如下路线运动：A→B→C→D→E→A→D，其中＝λ＋μ， (1)当点P为BC的中点时，求λ＋μ的值； (2)满足λ＋μ＝1的点P有几个？ 解析：　(1)连接AC， 因为点P为BC的中点， 所以＝＋，① 因为DE＝CD，所以＝2， 所以＝＋＝＋2＝－2， 因为＝λ＋μ， 所以＝(λ－2μ)＋μ，② 因为，不共线， 由①②可得得 所以λ＋μ＝2． (2)若λ＋μ＝1，则λ＝1－μ， 因为＝λ＋μ， 所以＝(1－μ)＋μ， 所以－＝μ(－)，所以＝μ， 所以B，P，E三点共线， 所以动点P运动至点B，E以及BE与边AD的交点时满足条件， 即满足λ＋μ＝1的点P有3个． 学科网（北京）股份有限公司 $$