2 课时精练(二) 向量的加法运算-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版2019）

课时精练(二)　向量的加法运算 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．(多选)下列等式中正确的是(　　) A．a＋0＝a B．a＋b＝b＋a C．|a＋b|＝|a|＋|b| D．＝＋＋ ABD　[当a与b方向不同时，|a＋b|≠|a|＋|b|．故选ABD．] 2．已知点D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列等式中错误的是(　　) A．＋＝ B．＋＋＝0 C．＋＝ D．＋＝ D　[由题意，根据向量的加法运算法则，可得＋＝，故A正确；由＋＋＝＋＝0，故B正确；根据平行四边形法则，可得＋＝＝，故C正确，D不正确．故选D．] 3．已知下列各式：①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋．其中结果为零向量的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 C　[＋＋＝0，＋＋＋＝＋＋＋＝0，＋＋＋＝＋，故选C．] 4．下列说法： ①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同； ②△ABC中，必有＋＋＝0； ③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点． 其中正确说法的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　[①错误，若a＋b＝0，其方向是任意的；②正确；③错误，A，B，C三点共线时也可满足．] 5．如图，在平行四边形ABCD中，下列计算不正确的是(　　) A．＋＋＝ B．＋＋＝ C．＋＋＝ D．＋＋＝0 B　[由向量加法的三角形法则可知＋＋＝＋＋＝＋＝，故A正确；＋＋＝＋＝≠，故B不正确；＋＋＝＋＝，故C正确；＋＋＝＋＋＝＋＝0，故D正确．故选B．] 6．化简：(＋)＋(＋)＋＝________． 解析：　原式＝＋＋＋＋＝． 答案：　 7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，则|＋|＝________． 解析：　如图所示，设菱形对角线的交点为O．＋＝＋＝． ∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形． 又∵AB＝2，∴OB＝1． 在Rt△AOB中，||＝＝， ∴||＝2||＝2，即|＋|＝2． 答案：　2 8．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，则|a＋b|＝________． 解析：　如图，因为||＝||＝3，所以四边形OACB为菱形． 连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D． 因为∠AOB＝60°，所以AB＝||＝3， 所以在Rt△BDC中，CD＝， 所以||＝|a＋b|＝×2＝3． 答案：　3 9．化简：(1)＋＋； (2)＋＋＋＋； (3)＋＋； (4)(＋)＋＋． 解析：　(1)＋＋＝＋＋＝＋＝； (2)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0； (3)＋＋＝＋＋＝＋＝0； (4)方法一：(＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝． 方法二：(＋)＋＋＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋0． 方法三：(＋)＋＋＝(＋＋)＋＝＋＝． 10．为了调运急需物资，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h． (1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水的速度方向间的夹角表示)． 解析：　(1)作出向量如图所示： 其中表示江水速度，表示船速，表示船实际航行速度． (2)∵AB⊥AC，＝＋，∴四边形ABDC是矩形， ∴||＝＝10．tan ∠DAC＝＝，∴∠DAC＝60°． ∴船实际航行的速度为10 km/h，实际航行方向与江水速度方向夹角为60°． [能力提升] 11．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________ km，a＋b的方向是________． 解析：　如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则||＝8 km，∠BAC＝45°． 答案：　8　北偏东45° 12．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F在对角线BD上，并且BE＝FD．求证：四边形AECF是平行四边形． 证明：　由已知可设＝＝a，＝＝b， 则＝＋＝a＋b，＝＋＝b＋a． 又因为a＋b＝b＋a，所以＝， 因此AE綊FC，从而可知四边形AECF是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$