山东省滨州市2024-2025学年高二下学期期末模拟数学试题二

山东省滨州市2024-2025学年高二下学期期末模拟数学试题二 一、单选题 1．已知集合，，则． A． B． C． D． 2．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 3．已知函数则“”是“在上单调递增”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．若函数定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．函数满足当时，，则的大致图象是（    ） A． B． C． D． 6．已知实数，满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 7．受世界金融危机的影响，某出口企业为打开国内市场，计划在个候选城市中建个直销店，且在同一个城市建直销店的个数不超过个，则该企业建直销店的方案种数为（    ） A． B． C． D． 8．给出下列命题：①“”是“方程”有实根”的充要条件；②若“”为真，则“”为真；③若函数值域为，则； ④命题“若，则”为真命题.其中正确的是 A．① ③ B．① ④ C．② ④ D．③ ④ 二、多选题 9．已知函数（，），则下列说法正确的是（    ） A．函数图象关于轴对称 B．函数的图像关于中心对称 C．当时，函数在上单调递增 D．当时，函数有最大值，且最大值为 10．的展开式中各二项式系数和为512，下列结论错误的（    ） A．展开式的所有项系数和为1 B．展开式中含项的系数为128 C．第5项和第6项的二项式系数相等 D．展开式中常数项是第6项 11．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为和都是奇函数，，则下列说法正确的是（    ） A．关于点对称 B． C． D． 三、填空题 12．设实数满足，则 .（用表示） 13．甲袋中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球为1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球2个.从袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，则另一个标号也是1的概率为 ． 14．已知函数.若方程在区间有三个不等实根，实数的取值范围为 . 四、解答题 15．某市为了解中学教师学习强国的情况，调查了高中、初中各5所学校，根据教师学习强国人数的统计数据（单位：人），画出如下茎叶图（其中一个数字被污损）.并从学习强国的教师中随机抽取了4人，统计了其学习强国的周平均时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并绘制了如下对照表： 表（i） 表（ii） 年龄 20 30 40 50 周平均学校强国时间 2.5 3 4 4.5 （1）若所调查的5所初中与5所高中学习强国的平均人数相同，求茎叶图中被污损的数字； （2）根据表（ii）中提供的数据，用最小二乘法求出周平均学习强国时间关于年龄的回归直线方程，并根据求出的回归方程，预测年龄为52岁的教师周平均学习强国的时间. 参考公式：，. 16．已知函数，． （1）若函数在内单调，求的取值范围； （2）若函数存在两个极值点，，求的取值范围． 17．某校高二数学兴趣小组为了了解学生的解题水平，设计了一个考查方案：每个学生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，限时独立完成，规定：至少正确解答出其中2道题方可通过，6道备选题中，学生甲恰有4道题能正确解答；学生乙每道题正确解答的概率都是，且每道题正确解答与否互不影响. (1)分别求甲、乙两位学生正确解答题目个数的概率分布列（列出分布列表）； (2)试从甲、乙两位学生正确解答题目个数的数学期望及两人通过考查的概率分析比较两位考生的解题能力. 18．设函数 （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围； （Ⅲ）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件. 19．已知，设函数，为的导函数，且恒成立. (1)求实数的取值范围； (2)设的零点为，的极小值点为，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C B D A B AD ABD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】首先求出N集合，然后与M集合求并集. 【详解】 化解得： 故选D 【点睛】本题考查集合运算和指数幂不等式解法；解指数幂不等式，主要应用指数函数单调性，在解题中，尽量统一底，然后利用指数函数单调性确定幂的大小. 2．C 【分析】根据正态分布对称性相关知识求解. 【详解】因为服从正态分布，， 所以， 所以. 故选：C 3．C 【分析】求出分段函数在上单调递增的条件，再利用充分条件和必要条件的定义判断结论. 【详解】函数在上单调递增， 则有，解得， 时不一定满足，不能得到在上单调递增； 在上单调递增时，有，一定成立， 所以“”是“在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：C. 4．C 【分析】根据抽象函数性质列不等式，解得结果. 【详解】因为函数定义域为， 所以 故定义域为 故选：C 【点睛】本题考查抽象函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．B 【分析】根据，得到判断. 【详解】因为， 所以 所以， 故选：B 6．D 【分析】利用三角换元把转化为关于的函数关系后可得取值范围. 【详解】令，则， 因，故，当且仅当时取最大值，当时取最小值，故选D. 【点睛】二元等式条件下的二元函数的范围问题，应利用换元或消元的方法把二元函数变为一元函数，再利用函数的手段计算函数的值域，注意尽量不要使用基本不等式，因为基本不等式往往只能求最大值或最小值. 7．A 【分析】由题意可分三种情况，一是选4个城市，每个建一个直销店，二是选3个城市，一个城市建两个直销店，其余两个建一个直销店，三是选2个城市，每个城市建两个直销店，进而即得. 【详解】由题意可分三种情况，一是选4个城市，每个建一个直销店，有种， 二是选3个城市，一个城市建两个直销店，其余两个建一个直销店， 有种， 三是选2个城市，每个城市建两个直销店， 有种， 所以该企业建直销店的方案种数为. 故选：A 8．B 【解析】根据充要条件的概念，复合命题的真假，对数函数的性质，正切函数的性质分别判断各个命题． 【详解】①方程有实根的充要条件是，即，①正确； ②若为真，则中只要有一个为真即可，若一真一假，则为假，②错误； ③函数值域为，则，即或，③错误； ④若，则，因此④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查命题的真假判断，解题时需对各个命题进行判断，注意各个命题所用数学知识的应用，本题属于中档题． 9．AD 【分析】根据函数奇偶性可判断A,B,由复合函数的单调性可判断C,D. 【详解】的定义域为，当时，则，故是偶函数，因此图象关于轴对称，故A正确，B错误， 当时，，令，则， 当时，单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性可知:在上单调递减，在上单调递增，故C错误， 当时，当时， 由于单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递增，在上单调递减，故当时，取最大值，且最大值为， 当时，由于是偶函数，故最大值为，故D正确， 故选：AD 10．ABD 【分析】利用二项式系数的性质求出，并求出展开式的通项，再逐项判断即可得解. 【详解】依题意，，解得， 二项式展开式的通项， 对于A，当时，得展开式的所有项系数和为，A错误； 对于B，由，即，得，展开式中含项的系数为，B错误； 对于C，展开式共10项，则第5项和第6项的二项式系数相等，C正确； 对于D，由，即，得展开式中常数项是第7项，D错误. 故选：ABD 11．ABD 【分析】根据函数的图象变换判断A的真假，根据函数图象的对称性，结合换元思想判断B的真假；结合函数的周期性及特殊点的函数值，可判断CD的真假. 【详解】对于A：把的图象向左平移1个单位，可得的图象， 又为奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B：由为奇函数，则， 又为的导函数，所以，即，则， 又为奇函数，所以，即， 由上得，故，故， 即，即是奇函数，故B正确； 对于C：由于， 故，即，故4是的一个周期， 又，即，所以为周期为4的周期函数， 因为，令可得，即， 所以，故C错误； 对于D：因为是上的奇函数，故，结合得， ， 故，故D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：（1）若函数为奇函数，则，两边求导，可得，所以为偶函数.即奇函数的导函数为偶函数； （2）若函数为偶函数，则，两边求导，可得，所以为奇函数.即偶函数的导函数为奇函数. 12． 【解析】直接由对数的运算性质计算得答案. 【详解】解：∵实数满足， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了对数的运算性质，是基础题. 13． 【分析】根据古典概型及条件概率公式即可得到答案. 【详解】记“一个标号是”为事件,“另一个标号也是”为事件， 所以. 故答案为：. 14． 【分析】分区间讨论，去掉绝对值，画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出a的取值范围． 【详解】当时，， 当时，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 作出函数在区间上的图象如图： 设直线，要使在区间上有个不等实根， 即直线与函数的图象在区间上有个交点， 由图象可知或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 15．（1）8；（2），4.69小时. 【分析】（1）设被污损的数字为a，根据平均数相同列出方程即可求解； (2)求出回归系数，可得回归方程，再预测年龄为52岁的教师周平均学习强国的时间. 【详解】（1）设被污损的数字为a， 则， 解得. （2）由表中数据，计算得，， ，， ∴周平均学校强国时间关于年龄回归直线方程； 当时，， 即预测年龄为52岁的教师周均学习强国的时间为4.69小时. 【点睛】本题主要考查了茎叶图，利用茎叶图求平均值的应用，线性回归方程的求法，考查计算能力，属于中档题. 16．（1）；（2）. 【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为恒成立，求出的范围即可； （2）求出的解析式，令，，根据函数的单调性求出的范围，从而求出问题的答案． 【详解】（1）， 由题意得恒成立， 即恒成立，而， ； （2）由题意知在内有2个不等实根，，则， 且，，不妨设，则， ， 令，， 则， 显然，，故，递增， 而，时，， 故，， ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题． 17．(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】(1)设甲、乙两位学生正确解答题目个数分别为，求出随机变量的所有取值并计算相应概率从而得到概率分布列； ( 2）计算甲乙两位学生正确解答题目个数的数学期望以及通过率可作出评价． 【详解】（1）设甲、乙两位学生正确解答题目个数分别为，则的取值分别为1、2、3， 的取值分别为0、1、2、3， ，，， 所以甲学生正确解答题目个数的概率分布列: 1 2 3 由题意可知， , ,, 所以乙学生正确解答题目个数的概率分布列: 0 1 2 3 （2），， ，， 所以 从甲、乙两位学生正确解答题目个数的数学期望分析,两人水平相当；从通过率分析,甲通过的可能性大，因此可以判断甲学生解题能力较强. 18．（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）见解析. 【详解】试题分析：（Ⅰ）求函数f（x）的导数，根据，求切线方程； （Ⅱ）根据导函数判断函数f（x）的单调性，由函数有三个不同零点，求c的取值范围； （Ⅲ）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数. 试题解析：（Ⅰ）由，得． 因为，， 所以曲线在点处的切线方程为． （Ⅱ）当时，， 所以． 令，得，解得或． 与在区间上的情况如下： 所以，当且时，存在，， ，使得． 由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点． （Ⅲ）当时，，， 此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点． 当时，只有一个零点，记作． 当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递增． 所以不可能有三个不同零点． 综上所述，若函数有三个不同零点，则必有． 故是有三个不同零点的必要条件． 当，时，，只有两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件． 因此是有三个不同零点的必要而不充分条件． 【考点】利用导数研究曲线的切线；函数的零点 【名师点睛】1.证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明． 2.求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值． 3.方程根的问题可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论． 4.高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键． 19．(1) (2)见解析 【分析】（1）由函数解析式求导，根据分离变量整理不等式，构造新函数，利用导数求新函数的最值，可得答案； （2）根据零点与极小值点的定义，整理与的等量关系，利用函数的单调性，比较其大小，根据（1）求得的的取值范围，结合不等式的性质，可得答案. 【详解】（1）由函数，则， 即不等式，代入可得， 由，则不等式整理可得， 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，则，解得. （2）因为函数的零点为，所以，则，解得， 由（1）知，令，则， 令，则， 故函数在上单调递增，所以， 由（1）可知，，故存在，使得， 所以当时，，，函数单调递减； 当时，，，函数单调递增. 所以是函数的极小值点，即是的极小值点，因此， 则，，又， 由，所以，所以， 又由（1）知，所以，所以， 又因为，所以，因为函数， 因为函数在上单调递增，所以，则. 由，则，即，可得， 由，则，即， 故. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省滨州市2024-2025学年高二下学期期末模拟数学试题二 一、单选题 1．已知集合，，则． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出N集合，然后与M集合求并集. 【详解】 化解得： 故选D 【点睛】本题考查集合运算和指数幂不等式解法；解指数幂不等式，主要应用指数函数单调性，在解题中，尽量统一底，然后利用指数函数单调性确定幂的大小. 2．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【分析】根据正态分布对称性相关知识求解. 【详解】因为服从正态分布，， 所以， 所以. 故选：C 3．已知函数则“”是“在上单调递增”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出分段函数在上单调递增的条件，再利用充分条件和必要条件的定义判断结论. 【详解】函数在上单调递增， 则有，解得， 时不一定满足，不能得到在上单调递增； 在上单调递增时，有，一定成立， 所以“”是“在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：C. 4．若函数定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数性质列不等式，解得结果. 【详解】因为函数定义域为， 所以 故定义域为 故选：C 【点睛】本题考查抽象函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．函数满足当时，，则的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到判断. 【详解】因为， 所以 所以， 故选：B 6．已知实数，满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角换元把转化为关于的函数关系后可得取值范围. 【详解】令，则， 因，故，当且仅当时取最大值，当时取最小值，故选D. 【点睛】二元等式条件下的二元函数的范围问题，应利用换元或消元的方法把二元函数变为一元函数，再利用函数的手段计算函数的值域，注意尽量不要使用基本不等式，因为基本不等式往往只能求最大值或最小值. 7．受世界金融危机的影响，某出口企业为打开国内市场，计划在个候选城市中建个直销店，且在同一个城市建直销店的个数不超过个，则该企业建直销店的方案种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可分三种情况，一是选4个城市，每个建一个直销店，二是选3个城市，一个城市建两个直销店，其余两个建一个直销店，三是选2个城市，每个城市建两个直销店，进而即得. 【详解】由题意可分三种情况，一是选4个城市，每个建一个直销店，有种， 二是选3个城市，一个城市建两个直销店，其余两个建一个直销店， 有种， 三是选2个城市，每个城市建两个直销店， 有种， 所以该企业建直销店的方案种数为. 故选：A 8．给出下列命题：①“”是“方程”有实根”的充要条件；②若“”为真，则“”为真；③若函数值域为，则； ④命题“若，则”为真命题.其中正确的是 A．① ③ B．① ④ C．② ④ D．③ ④ 【答案】B 【解析】根据充要条件的概念，复合命题的真假，对数函数的性质，正切函数的性质分别判断各个命题． 【详解】①方程有实根的充要条件是，即，①正确； ②若为真，则中只要有一个为真即可，若一真一假，则为假，②错误； ③函数值域为，则，即或，③错误； ④若，则，因此④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查命题的真假判断，解题时需对各个命题进行判断，注意各个命题所用数学知识的应用，本题属于中档题． 二、多选题 9．已知函数（，），则下列说法正确的是（    ） A．函数图象关于轴对称 B．函数的图像关于中心对称 C．当时，函数在上单调递增 D．当时，函数有最大值，且最大值为 【答案】AD 【分析】根据函数奇偶性可判断A,B,由复合函数的单调性可判断C,D. 【详解】的定义域为，当时，则，故是偶函数，因此图象关于轴对称，故A正确，B错误， 当时，，令，则， 当时，单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性可知:在上单调递减，在上单调递增，故C错误， 当时，当时， 由于单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递增，在上单调递减，故当时，取最大值，且最大值为， 当时，由于是偶函数，故最大值为，故D正确， 故选：AD 10．的展开式中各二项式系数和为512，下列结论错误的（    ） A．展开式的所有项系数和为1 B．展开式中含项的系数为128 C．第5项和第6项的二项式系数相等 D．展开式中常数项是第6项 【答案】ABD 【分析】利用二项式系数的性质求出，并求出展开式的通项，再逐项判断即可得解. 【详解】依题意，，解得， 二项式展开式的通项， 对于A，当时，得展开式的所有项系数和为，A错误； 对于B，由，即，得，展开式中含项的系数为，B错误； 对于C，展开式共10项，则第5项和第6项的二项式系数相等，C正确； 对于D，由，即，得展开式中常数项是第7项，D错误. 故选：ABD 11．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为和都是奇函数，，则下列说法正确的是（    ） A．关于点对称 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的图象变换判断A的真假，根据函数图象的对称性，结合换元思想判断B的真假；结合函数的周期性及特殊点的函数值，可判断CD的真假. 【详解】对于A：把的图象向左平移1个单位，可得的图象， 又为奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B：由为奇函数，则， 又为的导函数，所以，即，则， 又为奇函数，所以，即， 由上得，故，故， 即，即是奇函数，故B正确； 对于C：由于， 故，即，故4是的一个周期， 又，即，所以为周期为4的周期函数， 因为，令可得，即， 所以，故C错误； 对于D：因为是上的奇函数，故，结合得， ， 故，故D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：（1）若函数为奇函数，则，两边求导，可得，所以为偶函数.即奇函数的导函数为偶函数； （2）若函数为偶函数，则，两边求导，可得，所以为奇函数.即偶函数的导函数为奇函数. 三、填空题 12．设实数满足，则 .（用表示） 【答案】 【解析】直接由对数的运算性质计算得答案. 【详解】解：∵实数满足， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了对数的运算性质，是基础题. 13．甲袋中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球为1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球2个.从袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，则另一个标号也是1的概率为 ． 【答案】 【分析】根据古典概型及条件概率公式即可得到答案. 【详解】记“一个标号是”为事件,“另一个标号也是”为事件， 所以. 故答案为：. 14．已知函数.若方程在区间有三个不等实根，实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分区间讨论，去掉绝对值，画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出a的取值范围． 【详解】当时，， 当时，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 作出函数在区间上的图象如图： 设直线，要使在区间上有个不等实根， 即直线与函数的图象在区间上有个交点， 由图象可知或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．某市为了解中学教师学习强国的情况，调查了高中、初中各5所学校，根据教师学习强国人数的统计数据（单位：人），画出如下茎叶图（其中一个数字被污损）.并从学习强国的教师中随机抽取了4人，统计了其学习强国的周平均时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并绘制了如下对照表： 表（i） 表（ii） 年龄 20 30 40 50 周平均学校强国时间 2.5 3 4 4.5 （1）若所调查的5所初中与5所高中学习强国的平均人数相同，求茎叶图中被污损的数字； （2）根据表（ii）中提供的数据，用最小二乘法求出周平均学习强国时间关于年龄的回归直线方程，并根据求出的回归方程，预测年龄为52岁的教师周平均学习强国的时间. 参考公式：，. 【答案】（1）8；（2），4.69小时. 【分析】（1）设被污损的数字为a，根据平均数相同列出方程即可求解； (2)求出回归系数，可得回归方程，再预测年龄为52岁的教师周平均学习强国的时间. 【详解】（1）设被污损的数字为a， 则， 解得. （2）由表中数据，计算得，， ，， ∴周平均学校强国时间关于年龄回归直线方程； 当时，， 即预测年龄为52岁的教师周均学习强国的时间为4.69小时. 【点睛】本题主要考查了茎叶图，利用茎叶图求平均值的应用，线性回归方程的求法，考查计算能力，属于中档题. 16．已知函数，． （1）若函数在内单调，求的取值范围； （2）若函数存在两个极值点，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为恒成立，求出的范围即可； （2）求出的解析式，令，，根据函数的单调性求出的范围，从而求出问题的答案． 【详解】（1）， 由题意得恒成立， 即恒成立，而， ； （2）由题意知在内有2个不等实根，，则， 且，，不妨设，则， ， 令，， 则， 显然，，故，递增， 而，时，， 故，， ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题． 17．某校高二数学兴趣小组为了了解学生的解题水平，设计了一个考查方案：每个学生从6道备选题中一次性随机抽取3道题，限时独立完成，规定：至少正确解答出其中2道题方可通过，6道备选题中，学生甲恰有4道题能正确解答；学生乙每道题正确解答的概率都是，且每道题正确解答与否互不影响. (1)分别求甲、乙两位学生正确解答题目个数的概率分布列（列出分布列表）； (2)试从甲、乙两位学生正确解答题目个数的数学期望及两人通过考查的概率分析比较两位考生的解题能力. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】(1)设甲、乙两位学生正确解答题目个数分别为，求出随机变量的所有取值并计算相应概率从而得到概率分布列； ( 2）计算甲乙两位学生正确解答题目个数的数学期望以及通过率可作出评价． 【详解】（1）设甲、乙两位学生正确解答题目个数分别为，则的取值分别为1、2、3， 的取值分别为0、1、2、3， ，，， 所以甲学生正确解答题目个数的概率分布列: 1 2 3 由题意可知， , ,, 所以乙学生正确解答题目个数的概率分布列: 0 1 2 3 （2），， ，， 所以 从甲、乙两位学生正确解答题目个数的数学期望分析,两人水平相当；从通过率分析,甲通过的可能性大，因此可以判断甲学生解题能力较强. 18．设函数 （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围； （Ⅲ）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件. 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）见解析. 【详解】试题分析：（Ⅰ）求函数f（x）的导数，根据，求切线方程； （Ⅱ）根据导函数判断函数f（x）的单调性，由函数有三个不同零点，求c的取值范围； （Ⅲ）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数. 试题解析：（Ⅰ）由，得． 因为，， 所以曲线在点处的切线方程为． （Ⅱ）当时，， 所以． 令，得，解得或． 与在区间上的情况如下： 所以，当且时，存在，， ，使得． 由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点． （Ⅲ）当时，，， 此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点． 当时，只有一个零点，记作． 当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递增． 所以不可能有三个不同零点． 综上所述，若函数有三个不同零点，则必有． 故是有三个不同零点的必要条件． 当，时，，只有两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件． 因此是有三个不同零点的必要而不充分条件． 【考点】利用导数研究曲线的切线；函数的零点 【名师点睛】1.证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明． 2.求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值． 3.方程根的问题可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论． 4.高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键． 19．已知，设函数，为的导函数，且恒成立. (1)求实数的取值范围； (2)设的零点为，的极小值点为，证明：. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由函数解析式求导，根据分离变量整理不等式，构造新函数，利用导数求新函数的最值，可得答案； （2）根据零点与极小值点的定义，整理与的等量关系，利用函数的单调性，比较其大小，根据（1）求得的的取值范围，结合不等式的性质，可得答案. 【详解】（1）由函数，则， 即不等式，代入可得， 由，则不等式整理可得， 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，则，解得. （2）因为函数的零点为，所以，则，解得， 由（1）知，令，则， 令，则， 故函数在上单调递增，所以， 由（1）可知，，故存在，使得， 所以当时，，，函数单调递减； 当时，，，函数单调递增. 所以是函数的极小值点，即是的极小值点，因此， 则，，又， 由，所以，所以， 又由（1）知，所以，所以， 又因为，所以，因为函数， 因为函数在上单调递增，所以，则. 由，则，即，可得， 由，则，即， 故. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$