2025年中考数学二轮专题练习----猜想证明类

2025中考数学二轮专题练习 猜想证明类 1.如图,在锐角中,,高线、相交于点. (1)判断与的数量关系并说明理由; (2)如图,将沿线段对折,点落在上的点,与相交于点,当时,判断与的数量关系并说明理由. 2.如图,在中,,,为边的一点,为边上一点,连接,交于点且,平分交于点. (1)求证:; (2)延长交于,连接,过点作交的延长线于点,求证:; (3)在(2)问的条件下,当时,若,求的长. 3.如图,抛物线与轴交于,两点,交轴于点,是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为. (1)求抛物线的表达式; (2)如图1,连接,交线段于点,若,求的值. (3)如图2,已知抛物线的对称轴交轴于点,与直线,分别交于、两点.试问是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由. 4.在中,的平分线交边于点D. (1)如图1,求证:为等腰三角形; (2)如图2,若的平分线交边于点E,在上截取,连接,求证:; (3)如图3,若外角的平分线交延长线于点E,请你探究(2)中的结论是否仍然成立?若不成立,请写出正确的结论,并说明理由. 5.如图1, ABC是等边三角形,点D在 ABC的内部,连接AD,将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60 ,得到线段AE,连接BD,DE,CE. (1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明; (2)延长ED交直线BC于点F. ①如图2,当点F与点B重合时,直接用等式表示线段AE,BE和CE的数量关系为_; ②如图3,当点F为线段BC中点,且ED=EC时,猜想∠BAD的度数,并说明理由. 6.如图,矩形ABCD中,,点E、F、G、H,分别是BC、CD、AD、AB上的动点(顶点除外),若; (1)在图1中,点E,F,G,H分别是BC,CD,AD,AB上的中点. ①判断四边形EFGH的形状,并证明; ②若四边形EFGH是正方形,求BC的长; (2)在图2中,已知,判断四边形EFGH的周长是否会随着点G的变化而变化,如不变化,求出其周长,若会变化,说明理由; 7.在数学活动课上,老师出示了以下两个问题,请你解答老师提出的问题: (1)如图①,在中,,垂足为E,F是CD边上一点,连接EF,BF,若,试判断DF与CF的数量关系,并加以证明. (2)如图②,若F是边CD上一点,连接BF,将沿着边BF所在的直线折叠,点C的对应点为,连接并延长交AB于点G,若,试判断DF与CF的数量关系,并加以证明. 8.如图,在和中,,,. (1)当点D在上时,如图①,线段有怎样的数量关系和位置关系?写出结论并说明理由; (2)将图①中的的位置改变一下,如图②,其他条件不变,则线段又有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由. 9.如图(1),,,点P在线段上以的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段上由点B向点D运动,它们运动的时间为t(s) (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当时,与是否全等,请说明理由; (2)在(1)的前提条件下,判断此时线段和线段的位置关系,并证明; (3)如图(2),将图(1)中的“”改为“”,其他条件不变.设点Q的运动速度为,是否存在实数x,使得与以B、P、Q为顶点的三角形全等?若存在,求出相应的x、t的值:若不存在,请说明理由. 10.如图,在正方形中,是边上一动点(不与点,重合),连接,点关于直线的对称点为,连接并延长交直线于点,是中点,连接. (1)求的度数; (2)连接,请用等式表示,,三条线段之间的数量关系,并证明; (3)若正方形的边长为,请直接写出的面积最大值. 11.如图,在菱形中,点分别在边上,. (1)求证:; (2)为中点,交于点,,垂足为. ①求证:; ②用等式表示线段,与之间的数量关系,并给予证明. 12.综合与探究 问题情境 如图1,在正方形中,,点E为线段上的一个动点,连接,以为边,在右上方作正方形,连接. 探索发现 (1)猜想与的数量关系,并说明理由. 猜想证明 (2)如图2,在图1的基础上连接,交于点H,连接.猜想的形状,并说明理由. 拓展延伸 (3)若点E为射线上的一个动点,连接与射线交于点H,连接,其他条件不变.当点H落在的平分线上时,请直接写出的值. 13.如图1,点在上,,. (1)求证:; (2)如图2,,平分,与的平分线交于点,若比大,求的度数. (3)在(1)的结论下,保持(2)中所求的的度数不变,如图3,平分,平分,作,则的度数是否改变?若不变,请求值;若改变,请说明理由. 14.在正方形中,点E在直线上,连接. (1)如图1,当点E在线段上,过点E作交延长线于F时,求证:. (2)如图2,当点E在线段的延长线上,F在延长线上时,过E作交延长线于G,连接、交于点P,若P为中点,求与的数量关系. (3)如图3,若点E在线段上,且,M为线段上一动点,过M作交于N,连接,,求的最小值= . 15.如图①,是等边三角形,点D在的内部,连接,将线段绕点A按逆时针方向旋转,得到线段,连接. (1)判断线段与的数量关系,并给出证明; (2)延长交直线于点F. ①如图②,当点F与点B重合时,线段和的数量关系为_; ②如图③,当点F为线段的中点,且时,猜想的度数,并说明理由. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 《2025中考数学二轮专题练习-猜想证明类》参考答案 1.(1),理由见解析 (2),理由见解析 【分析】(1)如图1,证明,可得; (2)根据平行线的性质和折叠的性质得:,则,同理得:,所以,由(1)得:,可得是等腰直角三角形,所以. 【详解】(1)解:,理由是: 如图1,,, , , 是等腰直角三角形, , , , 在和中, , , ; (2),理由是: 如图2,由折叠得:, , , , , 同理得:, , , , , 由(1)得:, , 是等腰直角三角形, . 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识,(2)中解题的关键是证明是关键,有难度. 2.(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】(1)根据证明,则; (2)先证明,得,再证明,即可得出结论; (3)过点作,垂足为,求出,得出,根据直角三角形的性质可得出答案. 【详解】(1)证明:, , 平分, , , 在和中, , , ; (2), , 在和中, , , , ,, , , ,, . (3)过点作,垂足为, 设,则,, , , 解得, , , 由得:, , 在中,,, 在中,, . 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定,平行线的性质,等腰三角形的性质及等腰直角三角形的性质,勾股定理,含30度角的直角三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 3.(1) (2)或2 (3)为定值, 【分析】(1)利用待定系数法,将两点坐标代入解析式求解即可; (2)构造相似三角形和,利用直线的解析式求出点坐标以及点关于的代数式,利用相似三角形的性质列方程求解即可; (3)通过辅助线构造直角三角形并用含有的代数式表示出和,再分别用两个三角函数表示,代入中,最后化简即可. 【详解】(1)抛物线与轴交于,两点 ∴, 解得: ∴抛物线的表达式为:. (2)如图1,过点作轴,交的延长线于点,过点作轴交于点.则, ∴ 令,则, ∴ ∵直线过点和 设直线: ∴直线的解析式为:. ∵,轴 ∴当时,, ∴ 设,则 ∴ ∵ ∴, 解得,. ∴当或2时,. (3)为定值, 理由如下: 如图2,过点作轴交轴于点. ∵,,对称轴是 ∴ 设 则,, 在中, , ∴, 在中, , ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查二次函数,相似三角形的判定及性质以及三角函数,熟练掌握待定系数法求解析式,相似三角形的判定和性质以及运用三角函数解直角边是解决本题的关键. 4.(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)探究(2)中的结论不成立,正确结论:,理由见详解 【分析】(1)先根据三角形内角和得:,由角平分线及已知角可得,即可证明为等腰三角形; (2)由(1)证的条件还有已知条件可以证明即可得到,,即可得结论; (3)通过已知条件,推出线段关系,即,,然后即可得以证明. 【详解】(1)证明:在中,, . 平分, , , 即, 为等腰三角形 (2)证明:由(1)得:为等腰三角形, , . 平分, , 又, , , . , , (3)解:探究(2)中的结论不成立,正确结论:,理由是: 如图3,在上截取,连接, , , . 平分, , , . , , . 【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定方法和等腰三角形的定义及性质,解题关键是掌握等腰三角形的定义和性质运用,根据“等边对等角”计算角度. 5.(1),理由见解析 (2)①;②,理由见解析 【分析】(1)利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到,再由全等三角形的性质求解; (2)①根据线段绕点A按逆时针方向旋转得到得到是等边三角形, 由等边三角形的性质和(1)的结论来求解;②过点A作于点G,连接AF,根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到,,进而得到,进而求出,结合,ED=EC得到,再用等腰直角三角形的性质求解. 【详解】(1)解:. 证明:∵是等边三角形, ∴,. ∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到, ∴,, ∴, ∴, 即. 在和中 , ∴, ∴; (2)解:① 理由:∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到, ∴是等边三角形, ∴, 由(1)得, ∴; ②过点A作于点G,连接AF,如下图. ∵是等边三角形,, ∴, ∴. ∵是等边三角形,点F为线段BC中点, ∴,,, ∴, ∴,, ∴, 即, ∴, ∴. ∵,, ∴, 即是等腰直角三角形, ∴. 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形,相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,理解相关知识是解答关键. 6.(1)①菱形,证明见解析;②4 (2)周长不会变化, 【分析】(1)①根据题意先进行判断,再利用矩形的性质证明全等从而证明四边形的四条边都相等即可求证;②根据正方形的性质求解即可; (2)通过延长GH交CB的延长线于点N,延长GF交BC的延长线于点M,如图(见详解),证明,,求出MN的长度,再证明 ,得到,过点G作于点K之后即可利用勾股定理求出四边形EFGH的周长. 【详解】(1)解:①四边形EFGH是菱形,理由如下: ∵四边形ABCD是矩形,点E,F,G,H分别是BC,CD,AD,AB上的中点, ∴,, 且, ∴, ∴, ∴四边形EFGH是菱形. ②若四边形EFGH是正方形,则; (2)解:四边形EFGH的周长不会随着DG的变化而变化; 如图,延长GH交CB的延长线于点N,延长GF交BC的延长线于点M. ∵,, ∴. 且,, ∴. ∴,, 同理:,. ∴. ∵,, ∴. ∴. 过点G作于点K,则, ∴, ∴四边形EFGH的周长为. 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定与全等三角形的判定以及勾股定理,是一道几何综合题,熟练掌握相关性质并能灵活应用添加恰当的辅助线是解题的关键. 7.(1),理由见解析 (2),理由见解析 【分析】(1)延长AD,BF相交于点M,根据等边对等角可得,由垂直及等量代换可得,再由等角对等边及等量代换得出,根据平行四边形的性质及全等三角形的判定可得,由全等三角形的性质即可证明; (2)延长DG,CB相交于点N,根据平行四边形的性质及全等三角形的判定定理可得,由全等三角形的性质及等量代换得出,由翻折的性质可得,,,根据等边对等角得出,利用等量代换得出,根据等角对等边及等量代换即可证明. 【详解】(1),证明如下: 如图,延长AD,BF相交于点M, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴,, ∴, ∴, ∴, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴, ∴, 在和中, , ∴, ∴; (2),证明如下: 如图所示:延长DG,CB相交于点N, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴,, ∴ 在和中, , ∴, ∴, ∴, ∵折叠到, ∴, ∴,,, ∴, ∴, ∵,, ∴, ∴, ∴. 【点睛】题目主要考查平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,平行线的性质等,理解题意,作出相应辅助线,综合运用这些知识点是解题关键. 8.(1),,理由见解析 (2),,理由见解析 【分析】(1)延长与交于点F,证出,可得,且,即可解答; (2)延长交于点F,交于点H,可以证明,可得,利用三角形的内角和为180 ,即可得到最终结果; 本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质,本题中准确作出辅助线求证三角形全等是解题的关键. 【详解】(1)解:, 理由如下: 如图①,延长与交于点F 在和中, ,,, , ,∠. , . . . (2), 理由如下: , , 即 在和中, ,,, ,. 如图②,延长交于点F,交于点H. 在和中, ,, . 9.(1)与全等,见解析 (2),见解析 (3)存在,当或时,与全等 【分析】本题是全等三角形综合题,考查的是全等三角形的判定与性质,掌握一线三等角的全等模型是解题的关键. (1)利用定理证明; (2)根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系即可; (3)分两种情况,根据全等三角形的性质列式计算. 【详解】(1)解:与全等,理由如下: 由题意可得:当时,, , , , , , , ∵,,, ; (2), 证明:, , , , , , ; (3)解:由题意得: ,, , , ①若, 则, , 解得,, , 则; ②若, 则, 则, 解得,, , 则, 故当或时,与全等. 10.(1)45 (2),见解析 (3) 【分析】(1)证明和,可得; (2)作辅助线,构建全等三角形,证明,得,从而得是等腰直角三角形,可得结论; (3)先作高线,确定的面积中底边为定值2,根据高的大小确定面积的大小,当在上时,最大,其的面积最大,并求此时的面积. 【详解】(1)解:由对称得:,, 在正方形中,,, , 是的中点, ,, ; (2)结论:, 证明:如图,作交的延长线于, , 在正方形中,,, , 由(1)可知:, , , , , 在和中, , , , ; (3). 理由如下:如图,过作于,则, 中,, ,即为定值, 当最大时,的面积最大, 连接,交于,当在上时,最大,此时与重合, ,, , . 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题. 11.(1)证明见解析 (2)①证明见解析;②,证明见解析 【分析】(1)先根据菱形的性质可得,,再证出是等边三角形,根据等边三角形的性质可得,然后证出,根据全等三角形的性质即可得证; (2)①连接,先证出是等边三角形,根据等边三角形的性质可得,再证出,根据相似三角形的性质可得,然后根据相似三角形的判定即可得证; ②延长,交于点,先证出,再证出,根据相似三角形的性质可得,从而可得,然后在中,解直角三角形可得,最后根据和等量代换即可得. 【详解】(1)证明:∵四边形是菱形, ∴,, ∵, ∴是等边三角形, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, 又∵,, ∴, ∴, 在和中, , ∴, ∴. (2)证明:①如图,连接, 由(1)已证:, ∴, ∵, ∴是等边三角形, ∵为中点, ∴, ∴, ∵, ∴, 在和中, , ∴, ∴, ∴, 在和中, , ∴. ②,证明如下: 如图,延长,交于点, ∵四边形是菱形,, ∴, ∵, ∴, 由上已证:, ∵, ∴, ∴,即, 由上已证:, ∴, ∴, 又∵,, ∴, 在和中, , ∴, ∴, ∴, 在中,, ∵, ∴, ∴. 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识,综合性强,较难的是题(2)②,通过作辅助线,构造直角三角形和相似三角形是解题关键. 12.(1),理由见解析;(2)是等腰直角三角形,理由见解析;(3) 【分析】(1)先根据正方形的性质可得,再证出,根据全等三角形的性质即可得; (2)过点作的平行线,交的延长线于点,先证出点在同一条直线上,再根据平行线的性质可得,,然后证出,根据全等三角形的性质可得,最后根据等腰直角三角形的性质即可得; (3)分两种情况:①当点在线段上时,过点作于点,过点作于点,过点作,交延长线于点,连接,先证出,,再根据等腰三角形的性质可得,根据角平分线的性质定理可得,然后设,则,解直角三角形可得,从而可得,利用三角形的面积公式计算即可得;②当点在的延长线上时,过点作,交延长线于点,同理可得,根据平行线的判定可得,则此时点不可能落在的平分线上,由此即可得. 【详解】解:(1),理由如下: ∵四边形和四边形都是正方形, ∴, ∴,即, 在和中, , ∴, ∴. (2)是等腰直角三角形,理由如下: 如图,过点作的平行线,交的延长线于点, ∵四边形和四边形都是正方形, ∴, 由(1)已证:, ∴,, ∴, ∴点在同一条直线上, ∵, ∴,, ∴是等腰直角三角形,且, ∴, 在和中, , ∴, ∴, 又∵, ∴,, ∴是等腰直角三角形. (3)①如图,当点在线段上时,过点作于点,过点作于点,过点作,交延长线于点,连接, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, 在和中, , ∴, ∴, ∵, ∴, ∴,即, ∴, ∴是等腰直角三角形,且, ∴, ∵平分, ∴, 由正方形的性质可知,正方形的对角线互相垂直且平分, ∴, 由(2)已证:, ∴, ∴,, ∴,(等腰三角形的三线合一), 又∵,, ∴是等腰直角三角形,且, ∴, ∴,即平分, ∴(角平分线的性质定理), 设,则, 在中,, ∴, ∴, 即的值为; ②如图,当点在的延长线上时,过点作,交延长线于点, 同理可证:, ∴, ∵, ∴, ∴,即, ∴, ∴是等腰直角三角形,且, ∴, ∴, ∴此时点不可能落在的平分线上, 综上,的值为. 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、角平分线的性质定理等知识,较难的是题(3),正确分两种情况讨论,通过作辅助线,构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键. 13.(1)见解析 (2) (3)不变,见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质,解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质. (1)如图1,延长交于点,根据,,可得,所以,可得,又,进而可得结论; (2)如图2,作,,根据,可得,根据平行线的性质得角之间的关系,再根据比大,列出等式即可求的度数; (3)如图3,过点作,设直线和直线相交于点,根据平行线的性质和角平分线定义可求的度数. 【详解】(1)证明:如图1,延长交于点, ,, , , , , , ; (2)解:如图2,作,, , , ,, 平分, , , , , , , 平分, , , , , 设, , 比大, , 解得 的度数为; (3)解:的度数不变,理由如下: 如图3,过点作,设直线和直线相交于点, 平分,平分, , , ,, , , , , 由(2)可知:, , , , , , . 14.(1)见解析 (2) (3) 【分析】(1)点E作于点H,作于点I,利用证明,从而得证; (2)过点E作于J,点J在的延长线上,利用正方形的性质得到,,再由是等腰直角三角形得到,,再证明是等腰直角三角形,得到,继而得到,,再利用勾股定理得到,再根据得到,再根据P为中点得到; (3)先证明是等腰直角三角形,故, 要求的最小值,只需找到A点关于对称的对称点Q,则的长度就是的最小值,利用勾股定理求出,再乘以2就是的最小值. 【详解】(1)解:过点E作于点H,作于点I, 在正方形中,平分,, ∴ 又∵,为公共边, ∴与两个全等的等腰直角三角形, ∴四边形是正方形, ∴ ∵,即, ∴, ∴,即 ∵,,, ∴ ∴ (2)与的数量关系是:,理由如下: 过点E作于J,点J在的延长线上. ∵四边形是正方形, ∴ , , ∴ 又∵, ∴是等腰直角三角形, , ∵, ∴, 又∵, ∴是等腰直角三角形, ∴, ∴,, ∴ 又∵ ∴ 又∵P为中点,即 ∴ ∴与的数量关系是: (3)依题意连接,,过点E作于点H,作于点I, 由(1)得四边形是正方形, ∴ 又∵,即 ∴,即, ∵,,, ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形, ∴ ∴ 在的延长线上截取,垂直平分, ∴, 则,其最小值是的长度, ∵四边形是正方形, ∴是等腰直角三角形, 又∵, ∴,, ∵四边形是正方形, ∴是等腰直角三角形, ∴ ∴ 在中,, ∴ ∴ ∴ 故答案为:. 【点睛】本题考查正方形的性质,等腰直角三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,最短路径问题等知识,掌握正方形的性质和全等三角形的判定是解题的关键. 15.(1) (2) 【解析】略 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$