精品解析：重庆第十八中学2024-2025学年九年级下学期数学期中考试卷

24-25学年度九下数学试卷 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中是无理数（ ） A. 3.1415926 B. C. D. 2. 如图，由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图像位于第二、四象限 B. 图像与坐标轴有公共点 C. 图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D. 图像经过点，则 4. 如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 9 5. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 （ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，在斜边上取中点，使得以点为圆心，长为半径的弧，刚好经过点、、，又以点为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点为正方形内部一点，连接、，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点落在的延长线上，的延长线交于点，连接交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 按顺序排列的8个单项式，，，，，，，中，任选个互不相邻的单项式（其中至少包含一个系数为1的单项式和一个系数为的单项式）相乘，计算得单项式M，然后在剩下的单项式中再任选若干个单项式相乘，计算得单项式N，最后计算，称此为“积差操作”．例如：当时，可选互不相邻的，，相乘，得，在剩下的单项式，，，，中可选，相乘，得，此时，．下列说法中正确的个数是（ ） ①存在“积差操作”，使得为五次二项式； ②共有3种“积差操作”，使得； ③共有12种“积差操作”，使得． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 成渝高铁是“十二五”国家重点铁路建设项目，2010年3月开工建设，2015年12月26日开通运营。该工程估算投资总额3980000万元，将数3980000用科学记数法表示为______． 12. 在一个不透明的布袋里装有个白球和个黄球，这些球除颜色不同其他没有任何区别．若从该布袋里任意摸出个球，摸出小球均为黄球的概率为___________． 13. 一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，则这个正多边形的边数为______． 14. 若关于的不等式组有且只有五个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为______． 15. 如图，内接于，直径交弦于点E，延长交过点C的切线于点F，连接．若， ，，则________，________． 16. 一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多，则称这样的四位数为“多益数”, 如: ，∵, ∴是“多益数”；又如：， ∵，∴不是“多益数”；现有一个“多益数”，千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为（，），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数 ，若 ，能被整除, 则__________；规定 ，若为完全平方数，则满足条件的“多益数”中，最大值与最小值的差是_________． 三、解答题：（本大题8个小题，17题16分，其余题目每小题10分，共86分） 17. （1）计算：； （2）计算：； （3）化简求值：，其中满足． 18. 小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思路如下：如图，在中，分别为的中点，连接，过点在的右边作，使得，延长交于点，然后通过证明和来证明三角形中位线定理，请完成下面的作图和填空． （1）用尺规完成以下基本作图：以点为顶点，在的右侧作，延长，交于点；(保留作图痕迹，不写作法，不下结论) （2）求证：，． 证明：∵为的中点， ∴， 又∵， ∴① ． 在和中， ， ∴， ∴③ ，， ∵为的中点， ∴， ∴④ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴⑤ ， ∴． 19. 某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98； 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：82，83，86，89，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 87 86 b 52.4 八年级 87 a 89 62.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级共有900人参赛，八年级共有850人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有多少人？ 20. 某水果店购进了一批苹果和水蜜桃，两种水果总重量为，苹果的进价是水蜜桃进价的倍，苹果的进货费用为元，水密桃的进货费用为元． （1）求苹果和水蜜桃的进价分别是多少元每千克； （2）该水果店将这批苹果全部按14元每千克的价格售出．由于水蜜桃不易保存，水果店将这批水蜜桃的按12元每千克的价格售出后，剩余的水蜜桃降价销售，并全部售出．如果这批苹果和水蜜桃的总利润不低于3700元，则水蜜桃降价销售的价格最少为多少元每千克？ 21. 如图1，在矩形中，点为中点，连接，，点沿着的方向运动，到点时停止运动，连接，设点运动的路程为，的面积为． （1）直接写出的解析式及自变量的取值范围； （2）在图2中画出的图象，并写出一条的性质； （3）反比例函数如图所示，请直接写出时，自变量的取值范围（结果保留1位小数，误差不超过）． 22. 寒假期间，小明和小红在处游玩，结束后相约去学校自习室，学校在点处，小明家在点处，小红家在点处，点在点的正东方向，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东北方向，且米，米． （1）求小明家到学校的距离的长度（结果保留根号）； （2）小明和小红同时从处出发，两人先各自回家取书包，再去学校自习室，小明步行的速度为米分，小红步行的速度为米分，请通过计算说明谁先到达学校自习室（两人取书包的时间忽略不计）．（参考数据：，，结果精确到十分位） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值． （3）在（2）的基础上将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，在新抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 24. 在等边中，于点D，点E是线段上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转到，连接． （1）如图1，，，求的面积： （2）如图2，以为边在右侧作等边，延长交的延长线于点H．若，求证：； （3）如图3，，点K为平面内一动点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接．点M是线段的中点，以点M为直角顶点，为直角边，在上方作，，连接，当线段取最大值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24-25学年度九下数学试卷 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中是无理数（ ） A. 3.1415926 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．可根据“无理数是无限不循环小数”进行排除选项即可． 【详解】解：3.1415926，是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无理数． 故选：C． 2. 如图，由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：这个几何体的俯视图是： 故选：B． 【点睛】本题考查了俯视图，熟练掌握俯视图的定义是解题关键． 3. 关于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图像位于第二、四象限 B. 图像与坐标轴有公共点 C. 图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D. 图像经过点，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质逐项排查即可解答． 【详解】解：A．的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意； B． 的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意； C． 的图像所在的每一个象限内，随的增大而减小，故该选项符合题意； D． 由的图像经过点，则，计算得或，故该选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，明确题意、正确利用反比例函数的性质是解答本题的关键． 4. 如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由题意可得，且相似比为，结合相似三角形的性质即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O， ∴，且相似比为， ∵的周长为4， ∴的周长为， 故选：B． 5. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的判定，首先要理解因式分解的概念，即把一个多项式转换为几个因式乘积的形式．因此，对于给定的选项，需要判断哪些选项展示的是因式分解，即从多项式形式变为几个多项式乘积的形式． 【详解】A选项：，这个等式左边是两个一次多项式的乘积，右边是一个二次多项式．这是一个典型的展开过程，不是因式分解．因此，A选项不是因式分解． B选项：，这个等式右边是一个完全平方公式加上一个常数，它不是一个多项式乘积的形式，所以B选项不是因式分解． C选项：，这个等式右边是乘以一个一次多项式再减去一个常数，这也不是一个多项式的乘积形式，因此C选项不是因式分解． D选项：，这个等式左边是一个二次多项式，右边是两个一次多项式的乘积．因此D选项是一个正确的因式分解． 故选：D． 6. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先计算出原式等于，再根，即可求解，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的值应在7和8之间， 故选：D． 7. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可以写出和的个数，然后即可发现和的变化特点，从而可以写出十二烷的化学式． 【详解】由图可得， 甲烷的化学式中的有1个，有（个， 乙烷的化学式中的有2个，有（个， 丙烷的化学式中的有3个，有（个， ， 十二烷的化学式中的有12个，有（个， 即十二烷的化学式为， 故选：C． 8. 如图，在中，，，在斜边上取中点，使得以点为圆心，长为半径的弧，刚好经过点、、，又以点为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，扇形面积，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明是等腰直角三角形，再运用勾股定理算出，结合三线合一得，，结合题意，分别算出，，，的值，再代入图中阴影部分的面积，进行计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在斜边上取中点，使得以点为圆心，长为半径的弧，刚好经过点、、，又以点为圆心，长为半径画弧， ∴， 则 ， ， ， 则图中阴影部分的面积， 故选：D． 9. 如图，在正方形中，点为正方形内部一点，连接、，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点落在的延长线上，的延长线交于点，连接交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作，交的延长线于点，先证明，得到，进而推出为直角三角形，利用，得到，设，进而得到，求出，证明，求出的长，再证明，得到，即可． 【详解】解：连接，过点作，交的延长线于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是添加辅助线构造全等和相似三角形． 10. 按顺序排列的8个单项式，，，，，，，中，任选个互不相邻的单项式（其中至少包含一个系数为1的单项式和一个系数为的单项式）相乘，计算得单项式M，然后在剩下的单项式中再任选若干个单项式相乘，计算得单项式N，最后计算，称此为“积差操作”．例如：当时，可选互不相邻的，，相乘，得，在剩下的单项式，，，，中可选，相乘，得，此时，．下列说法中正确的个数是（ ） ①存在“积差操作”，使得为五次二项式； ②共有3种“积差操作”，使得； ③共有12种“积差操作”，使得． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减乘除运算，新定义“积差操作”．根据已知条件和“积差操作”的定义，通过举例可知：说法①正确；通过举例可知：说法②不正确、说法③正确． 【详解】解：①存在“积差操作”，使得为五次二项式说法正确，如取、相乘得单项式，在剩下的单项式中任选5个单项式如：、、、、相乘得单项式，则是五次二项式； ②共有3种“积差操作”，使得说法错误，因为使得的“积差操作”有：、， 、， 、， 、共有4种； ③共有12种“积差操作”，使得说法正确，因为使得的“积差操作”有：、， 、， 、， 、， 、， 、， 、， 、， 、， 、 、， 、， 共12种， 综上所述，已知说法中正确的个数是2． 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 成渝高铁是“十二五”国家重点铁路建设项目，2010年3月开工建设，2015年12月26日开通运营。该工程估算投资总额3980000万元，将数3980000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：将数3980000用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 在一个不透明的布袋里装有个白球和个黄球，这些球除颜色不同其他没有任何区别．若从该布袋里任意摸出个球，摸出小球均为黄球的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是解题的关键． 根据题意，运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，个白球用表示，个黄球用表示， 共有20种等可能结果，其中两个小球均为黄色的结果有，共2种， ∴摸出小球均为黄球的概率为， 故答案为： ． 13. 一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，则这个正多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据“正多边形每个内角与它相邻外角的度数”之间的关系可求出其外角的度数，再根据“正多边形的每一个外角都相等且外角和是”进行 计算即可． 【详解】解：这个正多边形的外角为， 所以这个正多边形为， 即这个正多边形为正六边形，边数为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查正多边形，掌握正多边形的性质以及正多边形的每一个外角都相等且外角和是是正确解答的前提． 14. 若关于的不等式组有且只有五个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为______． 【答案】14 【解析】 【分析】由关于的不等式组可得，关于的分式方程可得，再根据不等式组有且只有五个整数解和分式方程的解为非负整数即可得到的值，进而求解． 【详解】解：解关于的不等式组，得， 关于的不等式组有且只有五个整数解， 可取6、5、4、3、2． 要取到2，且取不到， ， ， ， 解关于的分式方程，得， 关于的分式方程解为非负整数， ， ，且是2的整数倍， 又， ， 的取值为6、8， 的所有整数和为， 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法及分式方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法及分式方程的解法是解题的关键． 15. 如图，内接于，直径交弦于点E，延长交过点C的切线于点F，连接．若， ，，则________，________． 【答案】 ①. 9 ②. ## 【解析】 【分析】此题重点考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，作于点，由是的直径，与相切于点，得，则，可证明，进而证明，得，由，，求得，则，由，求得，则，求得，由，求得，则，所以，求得，再证明，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】连接，作于点，则， ∵是的直径，与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：9；． 16. 一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多，则称这样的四位数为“多益数”, 如: ，∵, ∴是“多益数”；又如：， ∵，∴不是“多益数”；现有一个“多益数”，千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为（，），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数 ，若 ，能被整除, 则__________；规定 ，若为完全平方数，则满足条件的“多益数”中，最大值与最小值的差是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算，，据此即可求得的值；进一步可知，结合的数值，分情况讨论：，，，，即可求得答案． 【详解】根据题意可知，． ，． 因为能被整除，所以． ∵，， ∴． 当时，． ∵， ∴． ∴． ∵为完全平方数， ∴． ∴（舍去）． 同理，当时，，，当时，，，当时，，， ∴满足条件的“多益数”中，最大值与最小值的差． 故答案为：　　 三、解答题：（本大题8个小题，17题16分，其余题目每小题10分，共86分） 17. （1）计算：； （2）计算：； （3）化简求值：，其中满足． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】 【分析】（1）先根据绝对值，零指数幂及负整数指数幂，特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可； （2）先算乘法，再合并同类项即可； （3）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出、的值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ； （3）原式 ， ，满足， ，， ，， 原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，绝对值，零指数幂及负整数指数幂，特殊角的三角函数值，完全平方公式，实数的运算，整式的混合运算，熟知以上运算法则是解题的关键． 18. 小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思路如下：如图，在中，分别为的中点，连接，过点在的右边作，使得，延长交于点，然后通过证明和来证明三角形中位线定理，请完成下面的作图和填空． （1）用尺规完成以下基本作图：以点为顶点，在的右侧作，延长，交于点；(保留作图痕迹，不写作法，不下结论) （2）求证：，． 证明：∵为的中点， ∴， 又∵， ∴① ． 在和中， ， ∴， ∴③ ，， ∵为的中点， ∴， ∴④ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴⑤ ， ∴． 【答案】（1） 解：如图所示， （2）①；②；③；④；⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作角等于已知角，平行四边形边的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解； （2）根据题意可证，再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98； 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：82，83，86，89，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 87 86 b 52.4 八年级 87 a 89 62.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级共有900人参赛，八年级共有850人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有多少人？ 【答案】（1）；； （2）七年级的成绩更好， 理由如下： ∵两个年级的平均数相同，而七年级的成绩的方差小于八年级的， ∴七年级的成绩更好； （3）估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有525人． 【解析】 【分析】本题考查了数据的统计与分析，熟练掌握平均数，众数，中位数，样本估计总体等知识是解题的关键． （1）八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有2名，故中位数在等级的5人中，根据中位数的计算方法即可得到的值；根据七年级名学生的竞赛成绩，利用众数的定义可得到的值；八年级名学生的竞赛成绩中，等级有3名，由此可得的值； （2）由于平均数相同，比较方差即可得到答案； （3）由样本中优秀人数的占比来估计总体中优秀人数的占比进行计算，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题可得：八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有名，等级中有5人， ∴八年级名学生的竞赛成绩的中位数为：， ∵七年级名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98；； ∴众数， ∵八年级名学生的竞赛成绩中，等级有2名，等级中有5人， ∴等级有3名， ∴等级所占的百分比为：， ∴， 故答案为：；；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题可得：（人） 答：估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有525人． 20. 某水果店购进了一批苹果和水蜜桃，两种水果总重量为，苹果的进价是水蜜桃进价的倍，苹果的进货费用为元，水密桃的进货费用为元． （1）求苹果和水蜜桃的进价分别是多少元每千克； （2）该水果店将这批苹果全部按14元每千克的价格售出．由于水蜜桃不易保存，水果店将这批水蜜桃的按12元每千克的价格售出后，剩余的水蜜桃降价销售，并全部售出．如果这批苹果和水蜜桃的总利润不低于3700元，则水蜜桃降价销售的价格最少为多少元每千克？ 【答案】（1）水蜜桃的进价是5元每千克，则苹果的进价是元每千克； （2）水蜜桃降价销售的价格最少为7元每千克． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设水蜜桃的进价是x元每千克，则苹果的进价是元每千克，根据两种水果总重量为列出方程，解方程并检验即可得到答案； （2）水蜜桃降价销售的价格为m元，根据这批苹果和水蜜桃的总利润不低于3700元列出不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设水蜜桃的进价是x元每千克，则苹果的进价是元每千克，则 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ， 答：水蜜桃的进价是5元每千克，则苹果的进价是元每千克； 【小问2详解】 解：水蜜桃降价销售的价格为m元， ， 解得， 答：水蜜桃降价销售的价格最少为7元每千克． 21. 如图1，在矩形中，点为中点，连接，，点沿着的方向运动，到点时停止运动，连接，设点运动的路程为，的面积为． （1）直接写出的解析式及自变量的取值范围； （2）在图2中画出的图象，并写出一条的性质； （3）反比例函数如图所示，请直接写出时，自变量的取值范围（结果保留1位小数，误差不超过）． 【答案】（1） （2） 如图所示： 性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大（答案不唯一）； （3）或 （答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）当点沿着的方向运动时，，则，从而得到；当点沿着的方向运动时，，过点作，如图所示，由列比例式求出即可由三角形面积公式求出的解析式及自变量的取值范围； （2）由（1）中求得的解析式及自变量的取值范围直接作图即可得到答案； （3）由（2）中所在图象，求出两个函数图象的交点横坐标，数形结合求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：当点沿着的方向运动时，设点运动的路程为， ， 在矩形中，，则， ； 当点沿着的方向运动时，设点运动的路程为， ， 过点作，如图所示： ， 在矩形中，，，，则，， ，即， 点为中点， ， 在中，，则由勾股定理可得， ，解得， ； 当点与点重合时，不存在，没有面积； 综上所述，； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：由（2）可知， 、的图象如下： 当时，函数图象在函数图象的上方， 过图象交点作轴的垂线，如图所示： 联立，则，即，解得， 或； 联立，则，即，解得， 或（负值舍去）； 当时，或． 【点睛】本题考查函数综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、求函数表达式、勾股定理、作函数图象、解一元二次方程、利用图象解不等式等知识，数形结合是解决问题的关键． 22. 寒假期间，小明和小红在处游玩，结束后相约去学校自习室，学校在点处，小明家在点处，小红家在点处，点在点的正东方向，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东北方向，且米，米． （1）求小明家到学校的距离的长度（结果保留根号）； （2）小明和小红同时从处出发，两人先各自回家取书包，再去学校自习室，小明步行的速度为米分，小红步行的速度为米分，请通过计算说明谁先到达学校自习室（两人取书包的时间忽略不计）．（参考数据：，，结果精确到十分位） 【答案】（1）米 （2）小红先到达学校自习室 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1），过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，进而解，求得，进而得出的长，解即可得出的长，即可求解； （2）分别计算两人的路程，进而根据路程除以速度，求得所用时间，比较大小，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，过点作于点， 依题意， ∴四边形是矩形， 又∵， ， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴米 【小问2详解】 解：在中， ∴， ∴ 小明步行的速度为米／分， ∴小明到达学校自习室需要分钟 米, 小红步行的速度为45米/分 所用时间为：分钟， ∴小红先到达学校自习室． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值． （3）在（2）的基础上将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，在新抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最小值为 （3）存在，点Q的横坐标为或． 【解析】 【分析】（1）对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，．由根与系数关系可得：，，得到，即可得到答案； （2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G．过点E作交y轴于点F．求出．得到．当时，点M坐标为，面积最大．得到的最小值为； （3）点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限，分情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：对于，令． ∴． ∴根据图象可知：点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为． 对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，． 由根与系数关系可得：， ∴． ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G． 过点E作交y轴于点F． 根据题意，为等腰直角三角形． 故直线相当于直线向下平移了4个单位长度，根据平移性质直线的解析式为：． ∴点G坐标为． ∵，， ． ∴． 当时，点M坐标为，面积最大． 此时点H与点E重合，点M与点G重合， 当点M坐标为时，为和为的中位线，点F坐标为，点N的轨迹在与射线平行的射线上． 作点C关于直线对称点，根据为等腰直角三角形，可得点坐标为． ∴． ∵， ∴四边形在平移时始终为平行四边形，． ∴． 对于，，． ∴． ∴的最小值为． 故面积最大时，的最小值为2． 【小问3详解】 根据题意，则，故抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线．相当于抛物线y先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．如图， 根据平移性质可得． 由（2）知． ，则． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴直线相当于直线向左平移了2个长度单位， ∴直线的解析式为． 如图，点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限： ①点是和新抛物线y′的交点，满足． 结合直线和新抛物线的解析式：． 解得或， 由于在第三象限，所以的横坐标为． ②作出点A关于的对称点，然后作轴，T为垂足，再连接交抛物线右侧于点． 这样根据轴对称的性质，． 设交于点R． ∵， ∴．， ∵，即， 把，，代入比例式解得： ． 在中， ． ∴点的坐标为． 设直线的解析式为：，代入点P和点的坐标得： ，解得． ∴直线的解析式为：y． 结合抛物线可得： ，解得或． 由于点在第四象限，所以的横坐标为：． 综合①②可得，点Q的横坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、函数的平移和对称等知识，分情况讨论是解题的关键． 24. 在等边中，于点D，点E是线段上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转到，连接． （1）如图1，，，求的面积： （2）如图2，以为边在右侧作等边，延长交的延长线于点H．若，求证：； （3）如图3，，点K为平面内一动点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接．点M是线段的中点，以点M为直角顶点，为直角边，在上方作，，连接，当线段取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：连接，过点G作于点P， ∵，， ∴， ∴， 同理（1）可得， ∴， ∵等边中，于点D， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作于点G，根据等边三角形的性质得到，求出，即可求出，根据旋转的性质易得，证明，推出，由正切的定义求出，得到，利用勾股定理求出，即可求出的面积； （2）连接，过点G作于点P，根据结合，求出，同理（1）可得，得到，由等边三角形的性质得到，进而得到，易证，得到，求出，证明是等边三角形，得到，根据等边三角形的性质证明，得到，，再求出，易证，得到，得到，即可证明结论； （3）在上取点，使得，连接，由翻折的性质得到为定值，即可得到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，由，求出，再证明是的中位线，得到，推出到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，证明，即可得到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，利用相似三角形的性质求出，结合图形得到当三点共线，且点O在线段上时，线段取最大值，此时最大值为，过点N作于点T，根据垂直平分线的性质，求出，进而求出，即可求出此时的面积． 【小问1详解】 解：过点E作于点G， ∵等边中，于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在上取点，使得，连接， 由翻折的性质得到为定值， ∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∵， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∵，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∴， ∴， 当三点共线，且点O在线段上时，线段取最大值， 此时最大值为， 过点N作于点T， 由（2）知垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴此时的面积为． 【点睛】本题考查旋转和对称的几何变换，涉及等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握瓜豆原理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $