精品解析：河南省郑州市中原区2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试题试卷

2024-2025学年九年级下学期第三次质量检测 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，比小的数是（　　） A. B. C. 4 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小进行求解即可． 【详解】解；∵， ∴， ∴四个数中比小的数是， 故选：B． 2. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：物理中经常使用的U型磁铁其左视图是B ． 3. 长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中 ，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选B． 4. 如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， 解得，， ∴点在第四象限， 故选：D 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 6. 如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 共有2种方法， 故选：B． 7. 如图是第九届亚洲冬季运动会正六边形纪念币的背面图案，小明将该图案做成转盘（转盘质地均匀），正六边形被分为六个全等的区域，每个区域上的图案不同，固定指针，转动转盘两次，任其自由停止（指针指向分界线时，不计，重转），则指针两次指向的图案相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用列表法或画树状图求概率，熟练掌握概率的意义和计算公式，利用列表法或画树状图求概率，是解决本题的关键． 利用列表法表示所有可能出现的结果情况，其中指针两次指向的图案相同的结果，进而求出概率． 【详解】解：记六个区域的图案分别为1，2，3，4，5，6，根据题意，列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由表格，可知共有36种等可能的结果，其中指针两次指向的图案相同的结果有6种， ∴， 故选：B． 8. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力 方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，根据重力竖直向下、摩擦力平行斜面，结合图形利用三角形外角定理即可求解． 【详解】解：如图所示： 重力 的方向竖直向下， 重力 与水平方向夹角为， ∵， ∴． 摩擦力的方向与斜面平行， ． 9. 如图，一个边长为的等边三角形的高与 的直径相等． 与 相切于点，与 相交于点 ，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、切线的性质、扇形面积计算等知识点，解题的关键是构造辅助线，求得扇形面积和三角形面积．利用等边三角形的边长，求出等边三角形的高，即可知道圆的半径，利用垂径定理构造条件，求出的面积和扇形的面积，利用扇形和三角形的面积差即可求得答案． 【详解】解：如解图所示．连接 ， ，过点 作于点 ，过点 作 于点 ， 在中，， ∴， ∵ 与 相切于点， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在中，，， ， ， ． 故选:D． 10. 如图，矩形 中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿 ，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则 的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键． 连接 ， 交于点 ，取 中点 ，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出 的轨迹，从而求出 的最大值． 【详解】解：连接 ， 交于点 ，取 中点 ，连接，如图所示： ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ， ∴在 中，， ∴， ∵ ， ， 在与中， ， ， ， ， 共线， ， 是 中点， ∴在中，， 的轨迹为以 为圆心，为半径即 为直径的圆弧． ∴ 的最大值为 的长，即． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简_______． 【答案】 【解析】 【分析】将分子用平方差公式展开再化简即可． 【详解】解：原式=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简，掌握平方差公式和分式化简是关键． 12. 关于的不等式组的整数解的和是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，解不等式组得不等式组的解集为，即可求解；能熟练解一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得： 不等式组的解集为， 不等式组的整数解有、， ， 故答案为：． 13. 某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下： 50.03 49.98 50.00 49.99 50.02 49.99 50.01 49.97 50.00 50.02 当一个工件的质量（单位：g）满足时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是___________. 【答案】160 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键． 先计算出10个工件中为一等品的频率，再乘以总数200即可求解． 【详解】解：10个工件中为一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02这8个， ∴这200个工件中一等品的个数为个， 故答案为：160． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点， 分别在轴， 轴上，点 为 的中点，连接 ．点为 上一点，连接，先以点为圆心，长为半径画弧，交 于点 ，再分别以点 ， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线交 于点．若， ，则点的坐标为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，垂直平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．证明得，结合点 为 的中点， 得，由勾股定理得，所以，连接，由于，所以，即，解出的值即可解答． 【详解】解：由作图可知，， ， 又，， ， ， 点 为 的中点， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 如图，连接， 设，则，， ， ， 即， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，正方形 的边长为，对角线相交于点 ，点 在的延长线上，，连接 ． （1）线段 的长为______； （2）若 为 的中点，则线段的长为______． 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，中位线定理，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键； （1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解， （2）作辅助线，构造中位线求解即可． 【详解】（1）四边形 是正方形， ， 在中，， ， ， ； （2）延长到点 ，使 ，连接 由 点向 作垂线，垂足为 ∵ 为 的中点， 为的中点， ∴为的中位线， 在中， ， ， 在中，， 为的中位线， ； 故答案为：2；. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算、整式的混合运算法则等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次幂化简，然后再合并同类二次根式即可解答； （2）直接运用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 综合与实践 【项目背景】 无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 【答案】任务1：40； 任务2：6； 任务3：①； 任务4：乙园的柑橘品质更优， 理由如下：甲园样本数据的一级率为：， 乙园样本数据的一级率为： ， ∵乙园样本数据的一级率高于甲园样本数据的一级率， ∴乙园的柑橘品质更优． 【解析】 【分析】题目主要考查统计表及频数分布直方图，平均数、中位数及众数的求法，根据图标获取相关信息是解题关键． 任务1：直接根据总数减去各部分的数据即可； 任务2：根据加权平均数的计算方法求解即可； 任务3：根据中位数、众数的定义及样本中的数据求解即可； 任务4：分别计算甲和乙的一级率，比较即可． 【详解】解：任务1：； 任务2：， 乙园样本数据的平均数为6； 任务3：①∵， ∴甲园样本数据的中位数在C组， ∵， ∴乙园样本数据的中位数在C组，故①正确； ②由样本数据频数直方图得，甲园样本数据的众数均在B组，乙园样本数据的众数均在C组，故②错误； ③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误； 故答案为：①； 任务4：略 18. 如图，已知平行四边形 ． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线 ．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）E为 上一点，设（1）中的平分线 交 于点F，连接，若 ，判断四边形 的形状，并说明理由． 【答案】（1） 即为所作： （2）菱形， 理由如下， 证明：如图，∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形 是菱形． 【解析】 【分析】（1）按照作角平分线的步骤即可作图； （2）先证明四边形 是平行四边形，然后证明，即可证明为菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，尺规作图，等腰三角形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 19. 九年级数学兴趣小组的同学利用所学知识测量路灯 的高度，如图，在路灯下竖直放置长为1米的标杆，测得此时的影长 为0.5米；在点处旋转标杆，观察标杆影长的变化规律，发现当标杆旋转到 的位置时，标杆的影长最大，此时，测得影长 为米，已知 ，图中所有点均在同一平面内，请根据以上数据求出路灯 的高度． 【答案】路灯 的高度为3米． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明 ，求得，再利用解直角三角形列方程，即可解答，证明 是解题的关键． 【详解】解：由题意，可知， ， ． ， ，即． 设，则， 在中，， ， ． ， 即，解得． （米），即路灯 的高度为3米． 20. 王老师想骑共享电动车，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知：A品牌电动车骑行，收费元，且；B品牌电动车骑行，收费元，且，A，B两种品牌电动车所收费用y与骑行时间x之间的函数图象如图所示． （1）写出点P表示的实际意义 ． （2）已知王老师家与学校的距离为 ，且王老师骑电动车的平均速度为，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由． （3）当 时，两种品牌共享电动车收费相差3元． 【答案】（1）当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费都为8元 （2）选择 品牌共享电动车会更省钱，理由见解析 （3）或35 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和函数图象是解题关键． （1）根据点的坐标为即可得交点表示的实际意义是当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费都为8元； （2）先求出王老师从家骑行到学校所需时间为，再结合函数图象可得当 时，，由此即可得； （3）先利用待定系数法求出当时，，再分三种情况：，和，分别建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为， ∴交点表示的实际意义是当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费都为8元， 故答案为：当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费都为8元． 【小问2详解】 解：选择 品牌共享电动车会更省钱．理由如下： ∵王老师家与学校的距离为 ，且王老师骑电动车的平均速度为， ∴王老师从家骑行到学校所需时间为， 观察函数图象可知，当 时，， 所以选择 品牌共享电动车会更省钱． 【小问3详解】 解：将和代入得：， 解得， 则当时，， 当时，令，即，解得，符合题设； 当时，令，即，解得 ，不符合题设，舍去； 当时，令，即，解得，符合题设； 综上，当为或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元， 故答案为：或35． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与 轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）设 为线段 上的一个动点（不与重合），过点 作 轴交反比例函数图象于点 ，当的面积最大时，求点 的坐标，并求出面积的最大值． 【答案】（1）， （2）或 （3），4 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式，二次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由点坐标可得反比例函数解析式，由反比例函数解析式可得点坐标，可得一次函数解析式； （2）运用数形结合思想，根据函数的两个交点坐标，即可作答． （3）根据题意，设，表示出即可求解． 【小问1详解】 ∵在反比例函数的图象上 ∴ ∴反比例函数的解析式为 ∵在反比例函数的图象上 ∴，解得： ∴ ∵在一次函数的图象上 ∴，解得 ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 根据图象可得不等式的解集为：或； 【小问3详解】 由（1）可知，， 设，则， ∴ ∴ ∴当 时，的面积最大为4， ∴． 22. 为了贯彻落实国家“把课间还给学生”的政策，某校积极开展丰富多样的课间活动，“台阶跳”是同学们喜欢的一种课间锻炼方式．如图， 是一段台阶的示意图，其中每阶台阶的高度为0.15米，宽度为0.3米．一位同学站在0处，面对台阶起跳，起跳的轨迹可以近似看成一条抛物线，通过测量可知该同学在跳出0.5米后达到最高点，此时距离地面的高度也为0.5米，以点 为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 米．（脚的长度忽略不计） （1）求该同学起跳轨迹的函数表达式； （2）该同学能否跳到第一阶台阶上，请说明理由； （3）若该同学想跳到第二阶台阶上，且起跳轨迹不变，则该同学至少应该向前移动多少米？（结果保留根号） 【答案】（1） ； （2） 该同学能跳到第一阶台阶上，理由如下： 当 时， ， 当 时， ． 该同学可以跳到第一阶台阶上． （3）米． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设顶点式，再把代入 进行计算，即可作答． （2）理解题意，把 和代入 进行计算，即可作答． （3）理解题意，当 时，代入 ，解得（较大的的值即为的长，另一个值已舍去）．作图且运用数形结合思想得移动距离 ，至少平移的距离为（米），即可作答． 【小问1详解】 解：由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设函数表达式为 ． 把代入，得 ， 解得， 该同学起跳轨迹的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意，令 ，即第二阶台阶的高为0.3米， 当 时，代入 ， 可得 ， 解得（较大的的值即为的长，另一个值已舍去）． 如图1， 移动距离 （米）， 至少平移的距离为（米）． 该同学至少应该向前移动米． 23. 综合与实践 如图，在 中，点D是斜边 上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造 ， ，连接， ． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当 时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于 对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当 时，请直接写出的长度． 【答案】（1）， （2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时， 的最小值为；②当 时，为或. 【解析】 【分析】（1）先证明，，，可得 ；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合 ，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形为正方形，如图，过作 于 ，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接 ，，，证明，可得在 上，且 为直径，则 ，过 作于 ，过 作于 ，求解正方形面积为,结合，再解方程可得答案. 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ； ∴ ，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是 ； （2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵ ， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴ ，都为等腰直角三角形； ∵点F与点C关于 对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， 如图，过作 于 ， ∵，， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时， 的最小值为； ②如图，∵，正方形，记正方形的中心为 ， ∴， 连接 ，，， ∴， ∴在 上，且 为直径， ∴ ， 过 作于 ，过 作于 ， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为, ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当 时，为或. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级下学期第三次质量检测 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，比小的数是（　　） A. B. C. 4 D. 1 2. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 6. 如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 7. 如图是第九届亚洲冬季运动会正六边形纪念币的背面图案，小明将该图案做成转盘（转盘质地均匀），正六边形被分为六个全等的区域，每个区域上的图案不同，固定指针，转动转盘两次，任其自由停止（指针指向分界线时，不计，重转），则指针两次指向的图案相同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力 方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一个边长为的等边三角形的高与 的直径相等． 与 相切于点，与 相交于点 ，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形 中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿 ，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则 的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简_______． 12. 关于的不等式组的整数解的和是___________． 13. 某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下： 50.03 49.98 50.00 49.99 50.02 49.99 50.01 49.97 50.00 50.02 当一个工件的质量（单位：g）满足时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是___________. 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点， 分别在轴， 轴上，点 为 的中点，连接 ．点为 上一点，连接，先以点为圆心，长为半径画弧，交 于点 ，再分别以点 ， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线交 于点．若， ，则点的坐标为____． 15. 如图，正方形 的边长为，对角线相交于点 ，点 在的延长线上，，连接 ． （1）线段 的长为______； （2）若 为 的中点，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 综合与实践 【项目背景】 无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 18. 如图，已知平行四边形 ． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线 ．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）E为 上一点，设（1）中的平分线 交于点F，连接，若 ，判断四边形的形状，并说明理由． 19. 九年级数学兴趣小组的同学利用所学知识测量路灯 的高度，如图，在路灯下竖直放置长为1米的标杆，测得此时的影长 为0.5米；在点处旋转标杆，观察标杆影长的变化规律，发现当标杆旋转到 的位置时，标杆的影长最大，此时，测得影长 为米，已知 ，图中所有点均在同一平面内，请根据以上数据求出路灯 的高度． 20. 王老师想骑共享电动车，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知：A品牌电动车骑行，收费元，且；B品牌电动车骑行，收费元，且，A，B两种品牌电动车所收费用y与骑行时间x之间的函数图象如图所示． （1）写出点P表示的实际意义 ． （2）已知王老师家与学校的距离为 ，且王老师骑电动车的平均速度为，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由． （3）当 时，两种品牌共享电动车收费相差3元． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与 轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）设 为线段 上的一个动点（不与重合），过点 作 轴交反比例函数图象于点 ，当的面积最大时，求点 的坐标，并求出面积的最大值． 22. 为了贯彻落实国家“把课间还给学生”的政策，某校积极开展丰富多样的课间活动，“台阶跳”是同学们喜欢的一种课间锻炼方式．如图， 是一段台阶的示意图，其中每阶台阶的高度为0.15米，宽度为0.3米．一位同学站在0处，面对台阶起跳，起跳的轨迹可以近似看成一条抛物线，通过测量可知该同学在跳出0.5米后达到最高点，此时距离地面的高度也为0.5米，以点 为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 米．（脚的长度忽略不计） （1）求该同学起跳轨迹的函数表达式； （2）该同学能否跳到第一阶台阶上，请说明理由； （3）若该同学想跳到第二阶台阶上，且起跳轨迹不变，则该同学至少应该向前移动多少米？（结果保留根号） 23. 综合与实践 如图，在 中，点D是斜边 上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造 ， ，连接， ． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当 时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于 对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当 时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $