专题03 概率初步（续）成对数据的统计分析(十大题型+优选提升题)（沪教版2020选择性必修，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题03 概率初步（续） 成对数据的统计分析 题型概览 题型01条件概率 题型02全概率公式 题型03随机变量及其分布 题型04期望 题型05方差 题型06 常用分布 题型07 成对数据的相关分析 题型08 一元线性回归分析 题型09 2×2列联表 题型10 解答题 ( 题型01 ) 条件概率 1．（23-24高二下·上海·期末）已知一个二胎家庭中有一个男孩，则这个家庭中有女孩的概率为 ． 2．（22-23高二下·上海黄浦·期末）三颗骰子各掷一次，观察掷得的点数.记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个2点”，则 . 3．（23-24高三上·上海普陀·期末）某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为、、，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为、、，结果今天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率为 ． ( 题型02 )全概率公式 4．（23-24高二下·上海·期末）设甲、乙两个地区爆发了某种流行病，且两个地区感染此病的比例分别为 、  ，若从这两个地区中任选一个地区选择一个人，则此人感染此疾病的概率是 ． 5．（23-24高二上·上海·期末）某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 . 6．（24-25高二上·上海·期末）上师大附中闵分-宝分高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛.规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军.通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下：则甲夺冠的概率为（   ） 甲 乙 丙 丁 甲 0.3 0.3 0.7 乙 0.7 0.6 0.3 丙 0.7 0.4 0.4 丁 0.3 0.7 0.6 A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25 ( 题型03 ) 随机变量及其分布 7．（24-25高三·上海·课堂例题）设是一个随机变量，其分布为，则实数 ． 8．（24-25高三·上海·随堂练习）已知随机变量X分布如下：，它是均匀分布，则为 ． 9．（22-23高二下·上海金山·期末）设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． ( 题型04 ) 期望 10．（22-23高二下·上海金山·期末）掷一颗骰子，则掷得点数的期望是 ． 11．（23-24高三上·上海宝山·期末）已知随机变量的分布为，则 . 12．（21-22高二下·上海杨浦·期末）已知随机变量的分布为，则（    ） A． B． C． D．无法确定 13．（21-22高二下·上海黄浦·期末）已知随机变量的分布为如表所示，则 ． ( 题型0 5 ) 方差 14．（22-23高二下·上海黄浦·期末）已知随机变量X服从二项分布，且，则 . 15．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量的分布为，且随机变量，则 . 16．（21-22高二下·上海奉贤·期末）已知一个随机变量的分布为，且，则 . ( 题型0 6 ) 常用分布 17．（21-22高二下·上海杨浦·期末）已知随机变量服从二项分布，且（），则 . 18．（23-24高二下·上海·期末）设随机变量服从二项分布若随机变量的方差则 19．（23-24高二下·上海·期末）一批种子，如果每1粒种子发芽的概率均为，那么播下5粒种子，发芽种子数量的方差是 ． 20．（21-22高二下·上海杨浦·期末）袋中有大小､质地完全相同8个球，其中黑球5个､红球3个，从中任取3个球，则红球个数不超过1的概率为 . 21．（24-25高二上·上海·期末）已知随机变量，且，则 . 22．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则 . 23．（23-24高二下·上海·期末）下列说法中正确的是 ①设随机变量服X从二项分布，则； ②已知随机变量X服从正态分布且，则； ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则； ④． 24．（24-25高三上·上海·期末）a、 b、 n均为正整数， A袋子中有a个白球，b个黑球 (大小质地均相同)，从中依次有放回的摸出n个球，记摸出球中白球的数目为X；B袋子中有a张数字卡牌，b张字母卡牌(大小质地均相同)，从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y .下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 7 ) 成对数据的相关分析 25．（22-23高二下·上海金山·期末）如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（    ） A．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C．两种证券的收益有同向变动的倾向 D．两种证券的收益有反向变动的倾向 26．（24-25高三·上海·随堂练习）对四组不同的数据进行统计，获得如题图所示的散点图，则样本相关系数从小到大依次为 ． ( 题型0 8 ) 一元线性回归分析 27．（25-26高三上·上海·期末）贵州六马盛产“蜂糖李”，其以果大味甜闻名当地.某电商以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，大力推进绿色发展，现需订购一批苗木，苗木长度与售价如下表.由表可知苗木长度与售价/元之间存在线性相关关系，回归方程为.当苗木长度为120cm时，估计价格为 元. 10 20 30 40 50 60 /元 2 6 10 14 16 18 28．（22-23高二下·上海松江·期末）某蛋糕店对某新品种蛋糕进行试销，根据试销情况，得到销售单价（单位：元/个）与每天的销量（单位：个）的数据，如下表所示.已知该新品种蛋糕的销量关于销售单价的经验回归方程为，则 . 单价（元/个） 销量/个 29．（23-24高三下·上海浦东新·期中）通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图.若去掉图中右下方的点后，下列说法正确的是（    ） A．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关 B．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变 C．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 30．（23-24高二下·上海·期末）为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见表）：若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（    ） 1 2 3 4 5 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A． B．去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 C．当时，的预测值为2.2 D．与的样本是负相关 ( 题型0 9 ) 2×2列联表 31．（21-22高二下·上海黄浦·期末）某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低有关系的可信度（    ） 参考数据如下：，. A．低于 B．低于 C．高于 D．高于 32．（23-24高二下·上海·期末）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”．某销售网点为了调查是否购买该款盲盒与性别的关系，得到如下列联表： 女生 男生 总计 购买 40 20 60 未购买 70 70 140 总计 110 90 200 则认为 （填有或没有）的把握认为改款盲盒与性别有关．（） 33．（21-22高二下·上海浦东新·期末）为了考查某种病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下2×2列联表： 感染 未感染 总计 服用 10 40 50 未服用 20 30 50 总计 30 70 100 附：，其中. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 根据以上数据，得到的结论正确的是（    ） A．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“小白鼠是否被感染与有没有服用疫苗有关” B．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“小白鼠是否被感染与有没有服用疫苗无关” C．有95%的把握认为“小白鼠是否被感染与有没有服用疫苗有关” D．有95%的把握认为“小白鼠是否被感染与有没有服用疫苗无关” ( 题型 10 ) 解答题 34．（23-24高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 35．（23-24高二下·上海·期末）党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入（单位：万元）与年份代码（见下表）具有线性相关关系，计算得，，． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到； (2)求出关于的线性回归方程． 参考公式： 相关系数，，． 36．（23-24高二下·上海松江·期末）某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示频率分布直方图： 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 女 60 总计 (1)若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？ (2)为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出免单总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数） 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 37．（24-25高二上·上海·期末）某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、 乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会； ②依次参加游戏. ③若一个游戏胜利，可以参加下一个游戏； 若游戏失败，继续进行该游戏； 若轮到游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加游戏，直到4次机会全部用完. ④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元； 参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金500元； 不管参加哪一个游戏，失败均无奖金. 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是乙参加每一个游戏获胜的概率都是甲、 乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下：    (1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏? 并说明理由. (2)在（1）的基础上，解答下列两问： （i）求该运动员能参加游戏的概率. （ii）设4次游戏结束后有种不同的奖金额，记：为该运动员最终获得的奖金额，为获得元奖金对应的概率，定义最终获得奖金的期望为求该运动员最终获得奖金的期望. 一、填空题 1．（23-24高二下·上海·期末）老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是 . 参考数据：若，则，， ①若乘坐线路，前一定能到家； ②乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ③乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ④若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过. 2．（23-24高二下·上海·期末）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 二、单选题 3．（23-24高二上·上海·期末）已知，随机变量、相互独立，随机变量的分布为，的分布为，则当在内增大时（    ） A．减小，增大 B．减小，减小 C．增大，增大 D．增大，减小 4．（21-22高二下·上海闵行·期末）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，定义X的信息熵． 命题1：若，则随着n的增大而增大； 命题2：若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，则． 则以下结论正确的是（    ） A．命题1正确，命题2错误 B．命题1错误，命题2正确 C．两个命题都错误 D．两个命题都正确 三、解答题 5．（23-24高二下·上海·期末）已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图． (1)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个， ①求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量 ②求抽到的一级果个数的数学期望； (2)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式并求出当为何值时，最大？ 6．（21-22高二下·上海浦东新·期末）迎接冬季奥运会期间，某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试.统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[40，100]内，统计相应分数段的人数如下表： 分数段 学生人数 累计总人数 10人 10人 40人 50人 50人 100人 60人 160人 30人 190人 10人 200人 (1)根据上面的学生成绩频率分布表，作出学生成绩频率分布的直方图.并估计这200名学生的平均成绩（同一组中的数据用该区间的中点值为代表）； (2)在这200名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了10人，再从这10人中随机抽取3人，记X为3人中成绩在的人数，求X的分布列和数学期望； (3)规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级.以样本估计总体，用频率代替概率.从所有参加考试的同学中随机抽取10人，其中获得B等级的人数恰为人的概率为P，当k为何值时P的值最大？ 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 概率初步（续） 成对数据的统计分析 题型概览 题型01条件概率 题型02全概率公式 题型03随机变量及其分布 题型04期望 题型05方差 题型06 常用分布 题型07 成对数据的相关分析 题型08 一元线性回归分析 题型09 2×2列联表 题型10 解答题 ( 题型01 ) 条件概率 1．（23-24高二下·上海·期末）已知一个二胎家庭中有一个男孩，则这个家庭中有女孩的概率为 ． 【答案】 【分析】根据列举法及古典概型的计算公式求得和，然后再由条件概率的定义即可求解. 【解析】一个家庭中有两个小孩只有四种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， 记事件为“其中一个是男孩”，事件为“其中一个是女孩”， 则事件包含(男，女)，(女，男)，(男，男)，三种情况， 事件包含(男，女)，(女，男)，(女，女)，三种情况， 事件包含(男，女)，(女，男)，两种情况， 于是可知，, 则. 故答案为：. 2．（22-23高二下·上海黄浦·期末）三颗骰子各掷一次，观察掷得的点数.记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个2点”，则 . 【答案】 【分析】先分别计算事件和事件的情况数，在根据条件概率的定义计算. 【解析】根据条件概率的定义，的含义为在事件发生的前提下，事件发生的概率， 事件的情况数为， 对于事件，因为“三个点数都不相同”，则只有一个2点，故有种情况， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高三上·上海普陀·期末）某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为、、，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为、、，结果今天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率为 ． 【答案】 【分析】设小明迟到为事件，小明自驾为事件，求出，，利用条件概率公式计算即可求出结果. 【解析】设小明迟到为事件，小明自驾为事件， 则，， 所以在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为. 故答案为：. ( 题型02 )全概率公式 4．（23-24高二下·上海·期末）设甲、乙两个地区爆发了某种流行病，且两个地区感染此病的比例分别为 、  ，若从这两个地区中任选一个地区选择一个人，则此人感染此疾病的概率是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【解析】设事件分别表示“此人来自甲地区和乙地区”；事件表示“感染此疾病”， ，， 因此 故答案为： 5．（23-24高二上·上海·期末）某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 . 【答案】 【分析】求出第一次取到0个、1个、2个新球的概率，再结合条件概率及全概率公式列式计算即得. 【解析】用表示第一次取到个新球的事件，用表示第二次训练时恰好取到1个新球的事件， 则，且两两互斥，， ， 因此， 所以第二次训练时恰好取到1个新球的概率为. 故答案为： 6．（24-25高二上·上海·期末）上师大附中闵分-宝分高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛.规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军.通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下：则甲夺冠的概率为（   ） 甲 乙 丙 丁 甲 0.3 0.3 0.7 乙 0.7 0.6 0.3 丙 0.7 0.4 0.4 丁 0.3 0.7 0.6 A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25 【答案】B 【分析】分丙、丁的输赢情况，结合独立事件的乘法公式与全概率公式即可得解. 【解析】设为甲赢乙的概率，为甲赢丙的概率，为甲赢丁的概率， 分别为丙赢丁和丁赢丙的概率，为甲夺冠的概率， 则. 故选：B. ( 题型03 ) 随机变量及其分布 7．（24-25高三·上海·课堂例题）设是一个随机变量，其分布为，则实数 ． 【答案】 【分析】由概率大于等于0小于等于1，可以得到的范围；根据概率之和为1，可以计算出的值. 【解析】依题意：，解得. 故答案为：. 8．（24-25高三·上海·随堂练习）已知随机变量X分布如下：，它是均匀分布，则为 ． 【答案】 【分析】由均匀分布可知，，求解即可. 【解析】随机变量X分布是均匀分布，所以， ，． 故答案为： 9．（22-23高二下·上海金山·期末）设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由离散型随机变量的分布列性质求出，然后求解即可. 【解析】因为随机变量X的分布列， 所以，解得：， . 故选：B. ( 题型04 ) 期望 10．（22-23高二下·上海金山·期末）掷一颗骰子，则掷得点数的期望是 ． 【答案】 【分析】掷一颗骰子，设掷得点数为，则的可能取值有：、、、、、，分析可得出，进而可求得的值. 【解析】掷一颗骰子，设掷得点数为，则的可能取值有：、、、、、， 则， 因此，. 故答案为：. 11．（23-24高三上·上海宝山·期末）已知随机变量的分布为，则 . 【答案】7.64 【分析】根据期望的计算公式以及性质即可求解. 【解析】由题意可得, 所以, 故答案为：7.64 12．（21-22高二下·上海杨浦·期末）已知随机变量的分布为，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先由概率和为1求得，再根据期望公式求解即可. 【解析】由题，，所以， 所以， 故选：C 13．（21-22高二下·上海黄浦·期末）已知随机变量的分布为如表所示，则 ． 【答案】 【分析】根据概率和为1计算得到，再根据公式计算数学期望即可. 【解析】， 故. 故答案为： ( 题型05 ) 方差 14．（22-23高二下·上海黄浦·期末）已知随机变量X服从二项分布，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据二项分布的期望公式，求得，得到，结合方差的公式，即可求解. 【解析】由题意知，随机变量服从二项分布， 因为，可得，解得，即， 所以. 故答案为：. 15．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量的分布为，且随机变量，则 . 【答案】29 【分析】由数学期望和方差的公式求出，，再由方差的的性质即可求出. 【解析】因为随机变量的分布为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：29. 16．（21-22高二下·上海奉贤·期末）已知一个随机变量的分布为，且，则 . 【答案】0.4/ 【分析】根据和分布列的性质求得的值,再利用方差的公式即可求解. 【解析】由题意得 ,解得, 故答案为:0.4 ( 题型06 ) 常用分布 17．（21-22高二下·上海杨浦·期末）已知随机变量服从二项分布，且（），则 . 【答案】 【分析】由二项分布的期望和方差公式求出，，再根据期望的性质求出，最后根据方差的性质计算可得； 【解析】解：因为，所以， 又， 即，解得， 所以. 故答案为： 18．（23-24高二下·上海·期末）设随机变量服从二项分布若随机变量的方差则 【答案】 【分析】利用二项分布的方差公式求出，再利用二项分布概率公式求值即可. 【解析】依题意，，解得， 所以. 故答案为： 19．（23-24高二下·上海·期末）一批种子，如果每1粒种子发芽的概率均为，那么播下5粒种子，发芽种子数量的方差是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式计算即得. 【解析】每1粒种子发芽的概率为，发芽种子数量， 所以发芽种子数量的方差是. 故答案为： 20．（21-22高二下·上海杨浦·期末）袋中有大小､质地完全相同8个球，其中黑球5个､红球3个，从中任取3个球，则红球个数不超过1的概率为 . 【答案】 【分析】由题意得，所求为红球1个或没有红球的概率，根据概率公式，即可得答案. 【解析】由题意得，所求为红球1个或没有红球的概率， 所以. 故答案为： 21．（24-25高二上·上海·期末）已知随机变量，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据正态曲线的对称性求解即可. 【解析】根据正态曲线的对称性，时， 若，则， 于是. 故答案为： 22．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【解析】因为且， 所以， 所以. 故答案为： 23．（23-24高二下·上海·期末）下列说法中正确的是 ①设随机变量服X从二项分布，则； ②已知随机变量X服从正态分布且，则； ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则； ④． 【答案】①②③ 【分析】根据二项分布的概率公式判断①； 根据正态分布的性质判断②； 根据条件概率判断③； 根据期望与方差的性质判断④. 【解析】随机变量服从二项分布，则，故①正确； 随机变量服从正态分布且，则，故②正确； 事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则，所以，故③正确； ，故④错误. 故答案为：①②③. 24．（24-25高三上·上海·期末）a、 b、 n均为正整数， A袋子中有a个白球，b个黑球 (大小质地均相同)，从中依次有放回的摸出n个球，记摸出球中白球的数目为X；B袋子中有a张数字卡牌，b张字母卡牌(大小质地均相同)，从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y .下列选项中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，依据二项分布写出分布列，计算期望，，故可判断C正确；对于选项ABD，可通过取特殊值验证是错误的. 【解析】若有放回的摸出n个球，每次摸到白球的概率为，且各次试验的结果是独立的，故，，其中. 期望，方差. 若一次性摸出n张卡牌，随机变量的可能取值有、、， 则，， 由结论（苏教版2019第121页）：当时，，得， 故，选项C正确； 特别地，取，，其中. 的分布为， 0 1 2 期望，方差 随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，， . 显然；；. 故ABD不正确. 故选：C. ( 题型07 ) 成对数据的相关分析 25．（22-23高二下·上海金山·期末）如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（    ） A．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C．两种证券的收益有同向变动的倾向 D．两种证券的收益有反向变动的倾向 【答案】C 【分析】根据正相关的定义可得出结论. 【解析】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数， 那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，C对，ABD错. 故选：C. 26．（24-25高三·上海·随堂练习）对四组不同的数据进行统计，获得如题图所示的散点图，则样本相关系数从小到大依次为 ． 【答案】 【分析】根据散点图直接观察比较即可. 【解析】由散点图可知图（1）与图（3）中的两个变量是正相关，故，． 图（2）与图（4）中的两个变量是负相关，故，． 又图（1）与图（2）中的样本点集中在一条直线附近，所以其相关系数的绝对值越接近1． 故答案为：． ( 题型08 ) 一元线性回归分析 27．（25-26高三上·上海·期末）贵州六马盛产“蜂糖李”，其以果大味甜闻名当地.某电商以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，大力推进绿色发展，现需订购一批苗木，苗木长度与售价如下表.由表可知苗木长度与售价/元之间存在线性相关关系，回归方程为.当苗木长度为120cm时，估计价格为 元. 10 20 30 40 50 60 /元 2 6 10 14 16 18 【答案】36.5 【分析】利用表格信息求出，由回归方程经过点求得，即得回归方程，代入的值即得价格估计值. 【解析】由表格可得，， 因回归方程必过， 则得，，解得，，即， 故当时，元. 故答案为：36.5. 28．（22-23高二下·上海松江·期末）某蛋糕店对某新品种蛋糕进行试销，根据试销情况，得到销售单价（单位：元/个）与每天的销量（单位：个）的数据，如下表所示.已知该新品种蛋糕的销量关于销售单价的经验回归方程为，则 . 单价（元/个） 销量/个 【答案】 【分析】根据经验回归方程必过样本点中心，代入数值后，即可求解. 【解析】由题意可得，， 则. 故答案为：185 29．（23-24高三下·上海浦东新·期中）通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图.若去掉图中右下方的点后，下列说法正确的是（    ） A．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关 B．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变 C．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 【答案】D 【分析】根据相关系数的概念逐一判断. 【解析】对于A：去掉图中右下方的点后，根据图象，两个变量还是负相关，A错误； 对于BCD：去掉图中右下方的点后，相对来说数据会集中，相关程度会更高， 但因为是负相关，相关系数会更接近线性相关系数会变小，故D正确，BC错误. 故选：D. 30．（23-24高二下·上海·期末）为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见表）：若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（    ） 1 2 3 4 5 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A． B．去掉样本点后，与的样本相关系数不会改变 C．当时，的预测值为2.2 D．与的样本是负相关 【答案】B 【分析】由表格数据求出样本点的中心坐标，代入可得的值由此即可判断A，由相关系数公式即可判断B，根据回归方程代入计算即可判断C，由的正负即可判断D. 【解析】，所以样本点的中心坐标为， 将它代入得，，解得，故A错误； 由相关系数公式可知，去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变，故B正确； 当时，y的预测值为，故C错误； 因为，所以与的样本是正相关，故D错误. 故选：B ( 题型09 ) 2×2列联表 31．（21-22高二下·上海黄浦·期末）某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低有关系的可信度（    ） 参考数据如下：，. A．低于 B．低于 C．高于 D．高于 【答案】C 【分析】根据临界值表求得正确答案. 【解析】由于， 而， 所以可信度高于. 故选：C 32．（23-24高二下·上海·期末）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”．某销售网点为了调查是否购买该款盲盒与性别的关系，得到如下列联表： 女生 男生 总计 购买 40 20 60 未购买 70 70 140 总计 110 90 200 则认为 （填有或没有）的把握认为改款盲盒与性别有关．（） 【答案】有 【分析】根据列联表数据和的计算公式求出即可根据小概率值的独立性检验得到结论. 【解析】零假设为改款盲盒与性别无关联. 由列联表数据计算得， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，故有的把握认为改款盲盒与性别有关. 故答案为：有. 33．（21-22高二下·上海浦东新·期末）为了考查某种病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下2×2列联表： 感染 未感染 总计 服用 10 40 50 未服用 20 30 50 总计 30 70 100 附：，其中. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 根据以上数据，得到的结论正确的是（    ） A．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“小白鼠是否被感染与有没有服用疫苗有关” B．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“小白鼠是否被感染与有没有服用疫苗无关” C．有95%的把握认为“小白鼠是否被感染与有没有服用疫苗有关” D．有95%的把握认为“小白鼠是否被感染与有没有服用疫苗无关” 【答案】C 【分析】根据给定的列联表，计算出的观测值，再与临界值比对作答. 【解析】依题意，， 显然有， 所以有95%的把握认为“小白鼠是否被感染与有没有服用疫苗有关”，选项A，B，D不正确，C正确. 故选：C ( 题型10 ) 解答题 34．（23-24高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 【答案】(1) (2)分布列见解析；， (3)；2 【分析】（1）根据对立事件的概率求法，即可求得答案； （2）确定X的取值，求出每个值相应的概率，可得分布列，继而求得期望和方差； （3）确定与的关系式，从而构造数列求出的表达式，结合题意可得需满足，讨论n的奇偶性，即可求得答案. 【解析】（1）由题意可得3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率为； （2）由题意知X的可能取值为， 则，， ， ， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故； . （3）由题意得， 则， 则，即得， 又，故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足，即， 即，即， 当n为偶数时，上式显然不成立， 故当n为奇数时，有， 当时，成立； 当时，成立； 当时，，即不成立； 又随n的增大而减小，故时，均不成立； 则只有在第1天和第3天时有， 故在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数为2. 【点睛】关键点睛：本题综合考查了概率知识和数列的应用问题，有一定难度，解答的关键在于第三问，解答时要能确定，进而根据数列知识求得的表达式，即可求解. 35．（23-24高二下·上海·期末）党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入（单位：万元）与年份代码（见下表）具有线性相关关系，计算得，，． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到； (2)求出关于的线性回归方程． 参考公式： 相关系数，，． 【答案】(1)，与具有较高的线性相关程度 (2) 【分析】（1）根据题意求得，利用相关系数公式求得相关系数，比较可得结论； （2）利用回归方程的系数公式求得，继而求得，即可求得与的回归方程． 【解析】（1）由表数据可得的平均数， 所以， 所以相关系数， 由，所以与具有较高的线性相关程度； （2）依题意可得， ， ， 所以， 所以关于的线性回归方程为． 36．（23-24高二下·上海松江·期末）某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示频率分布直方图： 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 女 60 总计 (1)若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？ (2)为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出免单总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数） 附： 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)40；80；有关 (2)分布列见解析，1933 【分析】（1）先完善列联表，再求卡方,即可作出判断；（2）先用分层抽样，然后用超几何分布的概率公式计算，即可得分布列与期望. 【解析】（1）消费金额不低于800元的人数为：人， 则活跃客户共有60人，所以，， 列联表如下 活跃客户 非活跃客户 总计 男 20 80 100 女 40 60 100 总计 60 140 200 计算， 因此有的把握与性别有关． （2）从“活跃客户”中用分层抽样，抽出消费900元：人，消费1100元：人， 从中抽取2人免单总金额的取值有：， 则，，， 所以的分布列为： 即. 37．（24-25高二上·上海·期末）某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、 乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会； ②依次参加游戏. ③若一个游戏胜利，可以参加下一个游戏； 若游戏失败，继续进行该游戏； 若轮到游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加游戏，直到4次机会全部用完. ④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元； 参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金500元； 不管参加哪一个游戏，失败均无奖金. 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是乙参加每一个游戏获胜的概率都是甲、 乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下：    (1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏? 并说明理由. (2)在（1）的基础上，解答下列两问： （i）求该运动员能参加游戏的概率. （ii）设4次游戏结束后有种不同的奖金额，记：为该运动员最终获得的奖金额，为获得元奖金对应的概率，定义最终获得奖金的期望为求该运动员最终获得奖金的期望. 【答案】(1)甲运动员，理由见解析； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）结合频率分布直方图，结合中位数的意义判断甲乙中位数的大小即可得结论； （2）（i）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算即可； （ii）按游戏共使用次数，求出的值及对应的概率，再根据期望公式求解即可. 【解析】（1）解：甲运动员的成绩位于的频率为0.3，则其中位数大于80， 而乙运动员成绩位于的频率为0.6，则其中位数小于80， 所以：甲运动员参加第二阶段游戏； （2）解：(i)若甲能参加游戏，则游戏至多共使用3次机会， ①游戏共使用2次机会，则概率； ②游戏共使用3次机会，则概率； 所以甲能参加游戏的概率为； (ii)因为甲参加每一个游戏获胜的概率都是， 所以参加完4次游戏后的每个结果发生的概率都为， ①游戏使用4次机会，则或； ②游戏使用3次机会，游戏使用1次机会，则或； ③游戏使用2次机会，游戏使用2次机会，则或； ④游戏使用2次机会，游戏使用1次机会，则或； ⑤游戏使用1次机会，游戏使用3次机会，则或； ⑥游戏使用1次机会，游戏使用2次机会，则或； ⑦游戏使用1次机会，游戏使用1次机会，则或或； 其中有两种情况：参加游戏第一次成功，第二次失败和第一次失败，第二次成功， 所以当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以 . 一、填空题 1．（23-24高二下·上海·期末）老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是 . 参考数据：若，则，， ①若乘坐线路，前一定能到家； ②乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ③乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ④若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过. 【答案】①② 【分析】利用正态分布曲线的对称性及正态分布的概率，对四个选项逐个分析判断即可. 【解析】对于①，因为， 即乘坐线路能到家的概率为， 所以乘坐线路，前不一定能到家，所以①错误； 对于②，乘坐线路A在前到家的概率为 ， 乘坐线路在前到家的概率为 ， 所以乘坐线路A和乘坐线路在前到家的可能性一样，所以②错误； 对于③，乘坐线路A在前到家的概率为， 乘坐线路在前到家的概率为 ， 所以乘坐线路比乘坐线路A在前到家的可能性更大，故③正确； 对于④，乘坐线路A，则在前到家的概率为 ，所以④正确. 故答案为：①② 2．（23-24高二下·上海·期末）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 【答案】 【分析】先确定样本点总数，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望. 【解析】对于维坐标，其中.即有两种选择， 故共有种选择，即维“立方体”的顶点个数是个顶点； 当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足， 则满足的个数为. 所以. 故分布列为： 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于确定当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，再由求出概率. 二、单选题 3．（23-24高二上·上海·期末）已知，随机变量、相互独立，随机变量的分布为，的分布为，则当在内增大时（    ） A．减小，增大 B．减小，减小 C．增大，增大 D．增大，减小 【答案】C 【分析】利用数学期望和方差的性质直接求解. 【解析】由题意可得：，， 所以. 所以当在内增大时，增大. ；. 所以. 所以当在内增大时，增大. 故选：C 4．（21-22高二下·上海闵行·期末）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，定义X的信息熵． 命题1：若，则随着n的增大而增大； 命题2：若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，则． 则以下结论正确的是（    ） A．命题1正确，命题2错误 B．命题1错误，命题2正确 C．两个命题都错误 D．两个命题都正确 【答案】A 【分析】根据信息熵公式，利用对数的运算性质及对数函数的单调性判断命题1；由已知公式得到关于的展开式，应用作差法及对数的性质判断的大小判断命题2. 【解析】若，则，故随着n的增大而增大，命题1正确； ，则， 而，， ， 所以，故，命题2错误； 故选：A 三、解答题 5．（23-24高二下·上海·期末）已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图． (1)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个， ①求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量 ②求抽到的一级果个数的数学期望； (2)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式并求出当为何值时，最大？ 【答案】(1)①一级果4个，二级果3个，三级果2个；②； (2)当时，最大 【分析】（1）①求出果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比，从而求出一级果，二级果，三级果的数量； ②求出的可能取值和对应的概率，得到数学期望； （2）得到，从而得到不等式组，求出当时，最大. 【解析】（1）①果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比为， 故这9个脐橙中一级果数量为个，二级果个，三级果个； ②的可能取值为， 故，，， ， 故 （2）一级果的频率为， 用频率代替概率，故， 故， 令， 故， 解得， 又，故， 故当时，最大. 6．（21-22高二下·上海浦东新·期末）迎接冬季奥运会期间，某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试.统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间[40，100]内，统计相应分数段的人数如下表： 分数段 学生人数 累计总人数 10人 10人 40人 50人 50人 100人 60人 160人 30人 190人 10人 200人 (1)根据上面的学生成绩频率分布表，作出学生成绩频率分布的直方图.并估计这200名学生的平均成绩（同一组中的数据用该区间的中点值为代表）； (2)在这200名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了10人，再从这10人中随机抽取3人，记X为3人中成绩在的人数，求X的分布列和数学期望； (3)规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级.以样本估计总体，用频率代替概率.从所有参加考试的同学中随机抽取10人，其中获得B等级的人数恰为人的概率为P，当k为何值时P的值最大？ 【答案】(1)频率分布直方图见解析，平均成绩约为69.5分； (2)分布列见解析，期望为； (3)4. 【分析】（1）根据给定数表，作出学生成绩频率分布的直方图，并求出200名学生的平均成绩作答. （2）求出10人中成绩在，，的人数，再求出X的可能值，并计算各个值对应的概率，列出分布列，求出期望作答. （3）利用二项分布的概率公式及不等式法求解作答. 【解析】（1）依题意，学生成绩频率分布的直方图如图， （分）， 所以这200名学生的平均成绩约为69.5分. （2）由数表知，成绩在，，内的人数分别为60，30，10， 利用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了10人， 则成绩在的人数为，成绩在的人数为，成绩在的人数为， X的可能值为0，1，2，3， ，，，， X的分布列为： X 0 1 2 3 P X的期望为. （3）由数表知，成绩为B等级的频率为，因此，从全体学生中任抽1人，成绩为B等级的概率是， 则有，，令最大， 则，即， 整理得：，解得，而，即， 所以当时，其概率最大. 15 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$