专题01 导数及其应用(十大题型+优选提升题)（沪教版2020选择性必修，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题01 导数及其应用 题型概览 题型01导数定义中极限的简单计算 题型02导数的运算 题型03 求驻点、极值点 题型04求函数严格单调区间 题型05 求参问题综合 题型06利用导数解不等式问题 题型07其他问题 题型08 零点问题 题型09 选择压轴题 题型10 解答题 ( 题型01 ) 导数定义中极限的简单计算 1．（23-24高二下·上海宝山·期末） ． 2．（23-24高一下·上海·期末）若，则 . ( 题型02 ) 导数的运算 3．（22-23高二下·上海长宁·期末）下列求导计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海·期末）设，函数的导函数为，则 . 5．（23-24高二下·上海·期末）设表示在处的导数值， 已知，则 ( 题型03 ) 求驻点、极值点 6．（23-24高二下·上海·期末）函数 的驻点为 ． 7．（23-24高二下·上海浦东新·期末）函数的驻点是 ． 8．（23-24高二下·上海浦东新·期末）函数的极值点的个数是 ． 9．（23-24高二下·上海宝山·期末）设，则函数的极大值点为 ． ( 题型04 ) 求函数严格单调区间 10．（22-23高二下·上海松江·期末）函数的严格增区间为 . 11．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，，则该函数的严格增区间是 . ( 题型0 5 ) 求参问题综合 12．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，若是函数的驻点，则实数 13．（23-24高二下·上海·期末）“”是“函数是增函数”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 14．（23-24高三上·上海普陀·期末）函数，如果为奇函数，则的取值范围为 15．（23-24高二下·上海青浦·期末）若函数在区间上是严格单调函数，则实数的取值范围为 ． 16．（22-23高二下·上海松江·期末）函数在上不单调，则实数k的取值范围是 . 17．（24-25高二上·上海·期末）已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ． 18．（23-24高二下·上海·期末）若不等式对任意成立，则的取值范围是 ． ( 题型0 6 ) 利用导数解不等式问题 19．（22-23高二下·上海·期末）已知函数，则不等式的解集为 . 20．（21-22高二下·上海杨浦·期末）设，若，则x的取值范围是 . 21．（23-24高二下·上海·期末）设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等的解集是 ． ( 题型0 7 ) 其他问题 22．（22-23高二下·上海静安·期末）已知曲线上一点，则在点处的切线方程为 . 23．（23-24高二上·上海闵行·期末）已知，是的导函数.则当时，函数的值域是 . 24．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为 可使爆破体积最大．    25．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知，，，，则 ； . 26．（21-22高二下·上海杨浦·期末）已知，将函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线C.若对于每一个.曲线C都是一个函数的图像，则的最大值为 . 27．（22-23高二下·上海普陀·期末）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列所有真命题的序号为 ．    ①函数在区间上严格减；   ②函数在区间上严格增； ③函数在处取得极小值；   ④函数在处取得极小值． 28．（21-22高二下·上海闵行·期末）已知函数，，若存在三个互不相等的实数m、n、p，使得，则实数a的取值范围是 ． ( 题型0 8 ) 零点问题 29．（23-24高二下·上海·期末）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点，关于原点对称，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．（21-22高二下·上海普陀·期末）已知函数有两个零点，对于下列结论：①；②；则（    ） A．①②均对 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对 ( 题型0 9 ) 选择压轴题 31．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知数列满足，有如下两个命题： 命题：“是严格减数列”的充要条件是“存在使得对任意，都有”； 命题：“是严格增数列”的充要条件是“存在使得对任意，都有”． 则下列说法中正确的是（    ） A．是真命题，是假命题 B．是假命题，是真命题 C．和都是真命题 D．和都是假命题 32．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ） 命题①：方程至多只有一个实数根； 命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有． A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 ( 题型 10 ) 解答题 33．（23-24高二下·上海·期末）设，已知函数． (1)若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间； (2)若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围． 34．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数在上严格增，求实数的取值范围. 35．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线的斜率； (2)当时，讨论的单调性． 36．（23-24高二下·上海·期末）设函数 ，其中 ． 且 在 与 处 的切线分别为 ． (1)若 与 平行，求 的值． (2)记（1）中 的值为 ． 当 时，记 与 轴围成的三角形面积为 ． 当 取到最小值 时，求 的值． 37．（24-25高二上·上海闵行·期末）现有一张长为，宽为的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为的正方形，高为，体积为. (1)写出关于的函数关系式，并写出的范围； (2)要使得无盖长方体铁盒的容积最大，对应的为多少？并求出的最大值. 38．（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数. (1)曲线在点处的切线过点，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若不等式恒成立，求整数的最大值. 39．（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)求证：. (2)若对任意恒成立，求的最小值. (3)求证：的图象恒在直线上方. 一、填空题 1．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知函数存在4个零点，则实数的取值范围是 . 2．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，若在区间上存在个不同的数，使得成立，则的取值集合是 . 二、单选题 3．（23-24高一下·上海·期末）设.函数在处取得极大值3，则以下说法中正确的数量为（    ）个. ①； ②对任意的，曲线在点处的切线一定与曲线有两个公共点； ③若关于的方程有三个不同的根，且这三个根构成等差数列，则. A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设函数在区间I上有导函数，且在区间I上恒成立，对任意的，有．对于各项均不相同的数列，，，下列结论正确的是（    ） A．数列与均是严格增数列 B．数列与均是严格减数列 C．数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列 D．数列与均既不是严格增数列也不是严格减数列 三、解答题 5．（23-24高二下·上海奉贤·期末）对于相同定义域D内的函数和，若存在常数k，b使得和都成立，则称直线为函数与的一条分界线. (1)判断与在定义域上是否存在一条分界线，请简要说明理由； (2)若直线是与函数的一条分界线，求实数的b取值范围； (3)试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请证明，并求直线；若不存在，请说明理由. 6．（24-25高三上·上海浦东新·期末）过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”． (1)设，判断点是否为的“类点”，并说明理由； (2)设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值； (3)设，证明：轴上不存在的“类点”． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 导数及其应用 题型概览 题型01导数定义中极限的简单计算 题型02导数的运算 题型03 求驻点、极值点 题型04求函数严格单调区间 题型05 求参问题综合 题型06利用导数解不等式问题 题型07其他问题 题型08 零点问题 题型09 选择压轴题 题型10 解答题 ( 题型01 ) 导数定义中极限的简单计算 1．（23-24高二下·上海宝山·期末） ． 【答案】 【分析】根据导数的定义，以及求导公式，即可求解. 【解析】设，， . 故答案为： 2．（23-24高一下·上海·期末）若，则 . 【答案】 【分析】利用导数的定义求解即得. 【解析】依题意，. 故答案为： ( 题型02 ) 导数的运算 3．（22-23高二下·上海长宁·期末）下列求导计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数的运算法则及复合函数的求导公式依次分析选项，综合可得答案． 【解析】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误． 故选：B． 4．（23-24高一下·上海·期末）设，函数的导函数为，则 . 【答案】0 【分析】求出函数的导数，代入计算即可. 【解析】，，因此，. 故答案为：. 5．（23-24高二下·上海·期末）设表示在处的导数值， 已知，则 【答案】/ 【分析】先对函数求导，然后将代入导函数可求出. 【解析】由，得 ， 令，则，解得， 故答案为： ( 题型03 ) 求驻点、极值点 6．（23-24高二下·上海·期末）函数 的驻点为 ． 【答案】1 【分析】求出函数的导数，再求出驻点即可. 【解析】函数，求导得， 由，得或（舍去），所以函数的驻点为1. 故答案为：1. 7．（23-24高二下·上海浦东新·期末）函数的驻点是 ． 【答案】 【分析】求导，根据导数即可求解. 【解析】，令，解得， 故答案为：. 8．（23-24高二下·上海浦东新·期末）函数的极值点的个数是 ． 【答案】0 【分析】利用导数求函数单调区间，判断极值点的个数. 【解析】函数定义域为， 由，函数在和都单调递增，没有极值点， 函数的极值点的个数为0. 故答案为：0. 9．（23-24高二下·上海宝山·期末）设，则函数的极大值点为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，对函数求导，利用导函数研究函数的单调性，即可求解. 【解析】由，可得， 令，解得：，， 令，解得：或，所以在，上单调递增； 令，解得：，所以在上单调递减； 故函数的极大值点为； 故答案为： ( 题型04 ) 求函数严格单调区间 10．（22-23高二下·上海松江·期末）函数的严格增区间为 . 【答案】 【分析】求得，令，即可求得函数的严格增区间. 【解析】由函数，可得， 令，即，解得， 所以函数的严格增区间为. 故答案为：. 11．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，，则该函数的严格增区间是 . 【答案】 【分析】求导，利用导数求原函数的单调区间. 【解析】因为，，则对恒成立， 所以该函数的严格增区间是. 故答案为：. ( 题型05 ) 求参问题综合 12．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，若是函数的驻点，则实数 【答案】5 【分析】求出函数的导数，再利用驻点的意义列式计算即可. 【解析】函数，求导得， 由是函数的驻点，得， 所以. 故答案为：5 13．（23-24高二下·上海·期末）“”是“函数是增函数”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】利用导数，求出是增函数的的取值范围，再用充分性和必要性知识来进行判别即可． 【解析】是增函数，求导，即恒成立， 参变分离即恒成立，则．则“”是“函数是增函数”的充分不必要条件． 故选：A. 14．（23-24高三上·上海普陀·期末）函数，如果为奇函数，则的取值范围为 【答案】 【分析】求出，结合函数奇偶性的定义判断可得出结果. 【解析】由可得，即函数的定义域为， 则， 又因为函数为奇函数，对任意的， ， 对任意的实数都满足条件，故实数的取值范围是. 故答案为：. 15．（23-24高二下·上海青浦·期末）若函数在区间上是严格单调函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出函数的导函数，分在区间单调递增和单调递减两种情况讨论，参变分离，结合正切函数的性质计算可得. 【解析】因为，所以， 因为函数在区间上是严格单调函数， 若单调递增，则在上恒成立， 因为当时，所以在上恒成立， 又在上单调递增，当时，所以； 若单调递减，则在上恒成立， 因为当时，所以在上恒成立， 又在上单调递增，当时，所以； 综上可得. 故答案为： 16．（22-23高二下·上海松江·期末）函数在上不单调，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】因为函数在区间上不是单调函数，所以导数既有正值也有负值，也即有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间内，再通过分类讨论，求的取值范围即可 【解析】因为，所以， 又因为函数在区间上不单调，所以在内有实数根，且无重根， 即有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间内， ①若，则，， 方程的两个实根0和4均不在区间内，所以； ②若，则，， 方程在区间内有实根，所以可以为； ③若方程有一个实根在区间内，另一个实根在区间外， 则，即，； ④若方程在区间内有两个不相等的实根， 则：，∴， ∴； 综合①②③④得的取值范围是． 故答案为： 17．（24-25高二上·上海·期末）已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意，原函数的导函数方程必有两相异实根，计算即得实数b的取值范围. 【解析】由求导得：， 因该函数有三个单调区间，则方程必有两相异实根， 则有，解得. 故答案为：. 18．（23-24高二下·上海·期末）若不等式对任意成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，，依题意可得在上恒成立，求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，结合函数的单调性，求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围. 【解析】令，， 依题意在上恒成立， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 所以，则，所以； 当时，令，解得， 若，即时，在上恒成立， 所以在上单调递增，则，满足题意； 若，即时，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，所以， 综上可得，即的取值范围是. 故答案为： ( 题型06 ) 利用导数解不等式问题 19．（22-23高二下·上海·期末）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用导数判断函数在上的单调性，结合偶函数性质即可将原题不等式等价转换为，从而转换为一元二次不等式即可得解. 【解析】因为，的定义域为全体实数， 所以，即为偶函数， 当时，，令， ，即在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 因为，所以，所以， 解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 20．（21-22高二下·上海杨浦·期末）设，若，则x的取值范围是 . 【答案】 【分析】奇偶性定义判断奇偶性，利用导数研究的单调性，再应用奇偶、单调性求x的范围. 【解析】由且，易知：为奇函数， 所以， 又，故在上递增， 所以，可得. 故答案为： 21．（23-24高二下·上海·期末）设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等的解集是 ． 【答案】 【分析】构造函数，判断出函数的奇偶性，由导数得出的单调性，根据，求出的取值规律，可得答案. 【解析】、分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以、， 令，则， 因此函数在上是奇函数， 当时，， 在上单调递增，在上单调递增，且， ， 因为，， 所以时，，时，， 时，，时，， 不等式的解集是. 故答案为：. ( 题型07 ) 其他问题 22．（22-23高二下·上海静安·期末）已知曲线上一点，则在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据导数求出曲线在该点的斜率，然后直接求解即可. 【解析】的导数为， 该曲线在处的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为： 23．（23-24高二上·上海闵行·期末）已知，是的导函数.则当时，函数的值域是 . 【答案】 【分析】根据求导公式及两角和正弦公式化简后，根据自变量范围求正弦函数值域即可. 【解析】因为，所以， ， 当时，， 所以，， 故答案为： 24．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为 可使爆破体积最大．    【答案】 【分析】先将圆锥的体积转化为关于深处的关系式，再利用导数与函数性质的关系求得的最大值点，从而得解. 【解析】结合图形，可知圆锥的体积为， 又因为，即， 所以，，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最大值， 所以炸药包要埋在深处. 故答案为：. 25．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知，，，，则 ； . 【答案】 【分析】根据给定条件，依次求导，探求出求导后的规律，再按周期性求值即可. 【解析】因为，， ， ， ， 所以， 所以， 所以， ； 所以， ， ， 所以. 【点睛】关键点睛：关键在于求导找到规律，利用规律计算即可 26．（21-22高二下·上海杨浦·期末）已知，将函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线C.若对于每一个.曲线C都是一个函数的图像，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用运动是相对的，函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作直线绕坐标原点顺时针方向旋转，再根据函数的定义，即可求解. 【解析】解：利用运动是相对的， 函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转（左图）， 可以看作直线绕坐标原点顺时针方向旋转（右图）， 根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量x，都有唯一确定的与之对应， 即直线绕坐标原点顺时针方向旋转过程中，只能与的图像有且只有一个交点，故只需求函数在原点处的切线方程，，此时切线方程为， 故直线最多绕坐标原点顺时针方向旋转， 则函数,的图像只能绕坐标原点逆时针方向旋转， 故的最大值为， 故答案为： 27．（22-23高二下·上海普陀·期末）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列所有真命题的序号为 ．    ①函数在区间上严格减；   ②函数在区间上严格增； ③函数在处取得极小值；   ④函数在处取得极小值． 【答案】②④ 【分析】根据给定的图象，求出或的的取值范围，再逐项判断作答. 【解析】观察图象知，当时，或，当时，或， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，①错误，②正确； 函数在处取得极大值，③错误； 函数在处取得极小值，④正确， 所以所有真命题的序号是②④. 故答案为：②④ 28．（21-22高二下·上海闵行·期末）已知函数，，若存在三个互不相等的实数m、n、p，使得，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出的极大值和极小值后可得． 【解析】， 由得， 或时，，时，， 在和上都是递减，在上递增， 所以极小值＝，极大值＝， 由题意，解得． 故答案为：． ( 题型08 ) 零点问题 29．（23-24高二下·上海·期末）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点，关于原点对称，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，利用导数法求出函数的值域，即可求得答案. 【解析】函数的图象与函数的图象关于原点对称， 则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点， 即方程有解，即有解， 令，则， 当时，，函数在上递减； 当，，函数在上递增， 故， 由，， 故当时， 故的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：函数的图象与函数的图象关于原点对称，则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点. 30．（21-22高二下·上海普陀·期末）已知函数有两个零点，对于下列结论：①；②；则（    ） A．①②均对 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对 【答案】C 【分析】函数有两个零点，则有两个根，即，设，利用导数法研究即可 【解析】因为函数有两个零点， 所以有两个根，即， 设，， 当时，解得，函数单调递增； 当时，解得，函数单调递减， ， 当趋向于正无穷时，趋向于0，当趋向于0时，趋向于负无穷， 所以当时，与有两个交点，故①正确； 由此可知， 因为， 若，即. 即证， 当趋向于正无穷时，不成立，故②不正确. 故选：C ( 题型09 ) 选择压轴题 31．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知数列满足，有如下两个命题： 命题：“是严格减数列”的充要条件是“存在使得对任意，都有”； 命题：“是严格增数列”的充要条件是“存在使得对任意，都有”． 则下列说法中正确的是（    ） A．是真命题，是假命题 B．是假命题，是真命题 C．和都是真命题 D．和都是假命题 【答案】B 【分析】根据构造函数，结合函数的导函数及单调性应用迭代的方法判断命题即可. 【解析】因为数列满足，所以， 设函数，， 所以当单调递增；当单调递减； , 单调递增；单调递减；， 所以是函数的切线；由迭代思想可知是假命题，是真命题； 所以时，，是严格增数列，存在使得对任意，都有； 所时，，是严格减数列的充要条件不是存在使得对任意，都有； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构函数，的大小关系得出数列单调性进而判断命题. 32．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知函数在上的导函数为，若对任意恒成立，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ） 命题①：方程至多只有一个实数根； 命题②：若是以2为周期的周期函数，则对任意，都有． A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】C 【分析】对于命题①：构造函数，利用导数判断其单调性，结合单调性分析其零点即可；对于命题②：利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再对与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论. 【解析】因为，即， 对于命题①：令，故， 可知函数在上单调递增，则至多有一个零点， 所以方程至多只有一个实数根，故命题①为真命题； 对于命题②：因为函数是周期为2，取一个周期， 由题意可知在内连续不断，则在内必有最大值和最小值， 设在内的最大值为，最小值为， 设，，且， 对任意， 显然时，恒成立，下面考虑的情况， 由导数定义可知，即， 若，则成立； 若，设，即， 则，且，可得， 所以成立； 综上所述：对任意实数，都成立，故命题②为真命题； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：对于命题②：设的最大值为，最小值为，在一个周期上，，当时，结论显然成立，当时，利用不等式的性质可证明. ( 题型10 ) 解答题 33．（23-24高二下·上海·期末）设，已知函数． (1)若函数曲线在点处的切线斜率为－1，求实数a的值及函数的单调区间； (2)若函数在区间上严格增，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；减区间是，增区间是 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，由，求出a的值即可； （2）求出函数的导数，结合函数的单调性讨论a的范围即得. 【解析】（1）由得， 由曲线在处切线斜率为-1， 可得，. ,当单调递增；单调递减. 减区间是，增区间是. （2）由得： ①   时，，∴在递增，满足函数在区间上严格增， ②   时， 时，，在递增，若函数在区间上严格增， 综上可得 34．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数在上严格增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义，即可求出函数在点处的切线方程； （2）求导，由题意，转化为恒成立问题，利用分离参数法，求出函数最值，即可求出的取值范围. 【解析】（1），， 所以，， 即切线的斜率，切点， 所以切线方程为：，即， 故切线方程为； （2）因为函数在上严格增， 所以在恒成立， 所以在恒成立， 即在恒成立， 所以小于等于的最小值，因为， 所以， 故的取值范围为. 35．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线的斜率； (2)当时，讨论的单调性． 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）求导并将代入，即可求出曲线在点处切线的斜率； （2）求导并将带入，利用导数即可得出单调性. 【解析】（1）由题意， 在中，， 中， 当时， ，， 中，， ∴曲线在点处切线的斜率为 （2）由题意及（1）得， 在中，， 当时， ， ∴即，此时， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴函数在上单调递增，在上单调递减. 36．（23-24高二下·上海·期末）设函数 ，其中 ． 且 在 与 处 的切线分别为 ． (1)若 与 平行，求 的值． (2)记（1）中 的值为 ． 当 时，记 与 轴围成的三角形面积为 ． 当 取到最小值 时，求 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义可得，即可求出a的值； （2）由（1），根据导数的几何意义可得，求出两直线的交点坐标，利用三角形面积公式可得，结合导数求出最小值即可. 【解析】（1），则， 所以， 又，所以，即， 由，解得； （2）由（1）知，，又，则两切点为， 所以，由，解得， 即的交点坐标为， 所以，则， 对于方程，， 所以方程有两个不同的实根，且，又，故， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值. 37．（24-25高二上·上海闵行·期末）现有一张长为，宽为的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为的正方形，高为，体积为. (1)写出关于的函数关系式，并写出的范围； (2)要使得无盖长方体铁盒的容积最大，对应的为多少？并求出的最大值. 【答案】(1) (2)当时容积取最大值，且最大值为. 【分析】（1）根据长方形的面积等于无盖长方体的表面积可得出关于的函数关系式，结合实际意义可得出的取值范围； （2）求出关于的函数关系式，利用导数可求出的最大值及其对应的的值，即可得出结论. 【解析】（1）因为材料利用率为，所以，即； 因为长方形铁皮长为，宽为，故， 综上，. （2）铁皮盒体积，其中， ，令，得，列表如下： 极大值 所以，函数在上为增函数，在上为减函数， 则当时，取最大值，且最大值为. 38．（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数. (1)曲线在点处的切线过点，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若不等式恒成立，求整数的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入求值即可； （2）利用导数分类讨论、两种情况下的单调性即可； （3）将原问题转化为不等式在R上恒成立问题，利用导数证明该不等式即可. 【解析】（1）函数的定义域为，则. 因为曲线在点处的切线为过点， 所以，解得. （2）因为， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，由，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）依题知，恒成立， 即恒成立， 化简为. 设， 则， 当时，恒成立，故在上单调递增， 因为，所以不符合题意； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则恒成立， 整理得. 设， 则恒成立，所以在上单调递增， 又，且， 故整数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题第3问的关键是将原问题转化为不等式在R上恒成立问题. 39．（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)求证：. (2)若对任意恒成立，求的最小值. (3)求证：的图象恒在直线上方. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数判断在上的单调性，求出函数的最小值即可. （2）令，利用导数确定单调性求出的最小值，等价变形不等式成立，构造函数并利用导数求出的最大值，即可求出的最小值. （3）构造函数，，利用导数判断函数的单调性并求出最小值，即可得出结论. 【解析】（1）函数，求导得， 则在上单调递增，所以. （2）令，，求导得，即函数在上递增， 则，而对任意恒成立，因此； 要对任意恒成立，只需在恒成立， 令，，求导得，由，得， 当时，，函数在上递增，成立，于是， 当时，，函数在上递减，，不符合题意， 当时，则当时，，函数在上递减，此时，不符合题意， 因此，从而， 所以的最小值为. （3）令，， 求导得，令，，求导得， 则函数在上单调递增，显然， 于是存在，使得，即，当时，， 当时，，则函数在上递减，在上递增， 因此， 而函数在上递减， 即，则， 从而，，即， 所以的图象恒在直线上方. 【点睛】思路点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 一、填空题 1．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知函数存在4个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将化为，换元，令，将方程化为，根据函数的图象，化为方程在内有两个互不相同的根，利用二次函数知识列式可求出结果. 【解析】函数的定义域为， 因为函数存在4个零点，所以存在4个正实根， 即存在4个正实根， 即存在4个正实根， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，且时，， 所以函数的图象如图：    则，，化简得， 结合的图象，知道方程在内有两个互不相同的根， 记， 利用根的分布得，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 2．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，若在区间上存在个不同的数，使得成立，则的取值集合是 . 【答案】 【分析】由导数判断单调性后作出图象，数形结合求解. 【解析】设，则方程有个根， 即有个根， ， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 设，令得， 当时，，， 当时，，， 在上单调递增，在上单调递减， 作出与的大致函数图象如图所示： 由图象可知方程的解个数可能为， ，故的值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用导数判断函数单调性后作出图象，数形结合求解. 二、单选题 3．（23-24高一下·上海·期末）设.函数在处取得极大值3，则以下说法中正确的数量为（    ）个. ①； ②对任意的，曲线在点处的切线一定与曲线有两个公共点； ③若关于的方程有三个不同的根，且这三个根构成等差数列，则. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】运用极值的概念和性质，求出，代入判断①；函数解析式知道后，根据导数研究处函数单调性，极值，对称性，进而画出图像，观察图像，数形结合判断②；根据图像和函数对称性，判断③即可． 【解析】求导，即，由于函数在处取得极大值3，则 ，解得，则，则①正确； 由上面知道，， 且，解得. 当，，单调递减； 当或者，，单调递增． 则当时，由极大值；时，由极小值； 且对称中心为.画出函数图像． 由图像，可知对任意的，曲线在点处的切线一定与曲线有两个公共点，故②正确； 若关于的方程有三个不同的根，且这三个根构成等差数列，则 ，根据函数对称性，知道，,则，.故③正确． 故选：D. 4．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设函数在区间I上有导函数，且在区间I上恒成立，对任意的，有．对于各项均不相同的数列，，，下列结论正确的是（    ） A．数列与均是严格增数列 B．数列与均是严格减数列 C．数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列 D．数列与均既不是严格增数列也不是严格减数列 【答案】C 【分析】由条件易知函数在I上严格递减，构造，因数列的各项均不相同，由的大小比较，利用函数单调性可得的大小关系，即得结论. 【解析】依题意，因在区间I上恒成立，则函数在I上严格递减， 由，，因数列的各项均不相同，且， 若，则，即，即此时数列严格递增，数列严格递减； 若，则，即，即此时数列严格递减，数列严格递增. 综上所述，数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题主要考查利用函数单调性判断数列的单调性的应用，属于难题. 解题思路在于根据选项信息，考虑数列中连续偶数项的差，通过对应的连续奇数项的大小比较，借助于函数单调性得出偶数项的大小关系. 三、解答题 5．（23-24高二下·上海奉贤·期末）对于相同定义域D内的函数和，若存在常数k，b使得和都成立，则称直线为函数与的一条分界线. (1)判断与在定义域上是否存在一条分界线，请简要说明理由； (2)若直线是与函数的一条分界线，求实数的b取值范围； (3)试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请证明，并求直线；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)存在，理由见解析 (2) (3)存在，答案见解析 【分析】（1）由对恒成立，可得结论； （2）由题意可得对恒成立，令，，求导求得的最大值与的最小值，可求的取值范围. （3）直线和函数相切于，则，进而构造函数再证明即可. 【解析】（1）因为对恒成立， 所以存在一条分界线. （2）对恒成立，则对恒成立. 令，则 解得，则在上严格增，在上严格减， 得，所以 令，则，则在上严格单调递增， 得，所以， 进而 （3）画两个函数的大致图像，利用计算器猜想： 两个函数与的一个交点是， 再猜想：直线和函数相切于，则 下面从两个角度去证明该直线是分界线： 一方面：， 所以 另一方面：令 则，解得，则在上严格增，在上严格减， 所以，即所以 所以对恒成立. 【点睛】方法点睛：把新定义转化为不等式恒成立，再通过构造函数求得函数的最值可求范围，求分界线，先通过作图，猜想分界线，再证明即可． 6．（24-25高三上·上海浦东新·期末）过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”． (1)设，判断点是否为的“类点”，并说明理由； (2)设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值； (3)设，证明：轴上不存在的“类点”． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)2； (3)证明见解析. 【分析】（1）判断点的位置，求出过此点的切线方程，结合“类点”的定义判断即可. （2）求出过点的切线方程，并代入的坐标并结合“类点”的定义求出值，验证即可得解. （3）假定存在，并设出点的坐标，由过点的切线方程建立等式，分离参数构造函数，利用导数探讨方程根的情况导出矛盾得证. 【解析】（1）函数，，点在上，求导得， 设切点为，切线方程为，即， 由切线过，得，,解得或， 因此切线方程为，所以点为的“类点”. （2）函数，求导得，设切点为， 切线方程为，即， 切线过，则， 依题意，方程有三个不同解，且成等差数列，设为，公差为， ， 因此，则，，则， 当时，，不过， 所以的值为2. （3）假设轴上存在函数的“类点”，记为，设坐标为， 求导得，设切点为，切线方程为， 即，由切线过，得，此方程至少有两个不同解， 设，则，由，得或， 当时，，函数是上的严格减函数， 当时，为上的严格增函数， 函数的极小值，极大值，又， 当或时，方程有两个不同解，当时，方程有三个不同解， 当时，在上，其余情况下在外，则， 设两垂直切线的斜率为，对应方程的两根为， 则，由， 得，则有， 由，得异号，不妨设， 由均值不等式知，， 则，与矛盾，即不存在， 所以轴上不存在的“类点”. 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解. 2 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$