精品解析：四川省眉山市东坡区苏辙中学共同体九年级半期练习2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

共同体九年级半期练习 数学试题 考试120分钟，满分150分 第I卷（选择题 共48分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是正确的，请将答案写在答题卡相应题目上． 1. 函数中自变量x的取值范围是（　　） A. x≥3 B. x≠﹣3 C. x≤3 D. x≠3 2. 下列运算中正确的是（ ） A. ＝±2 B. ＝2 C. ＝3 D. ＝-8 3. 树叶上有许多气孔，在阳光下，这些气孔一边排出氧气和蒸腾水分，一边吸入二氧化碳.已知一个气孔每秒钟能吸进2500亿个二氧化碳分子，用科学记数法表示2500亿，结果是( ) A. 2.5×1010 B. 2.5×104 C. 2.5×1012 D. 2.5×1011 4. 用配方法解方程x2﹣6x+3＝0，下列变形正确的是（ ） A. （x﹣3）2＝6 B. （x﹣3）2＝3 C. （x﹣3）2＝0 D. （x﹣3）2＝1 5. 将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是，求原铁皮的边长．设原铁皮的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 7. “射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ） A. 确定事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 不确定事件 8. 关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2.5，AC=3，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在矩形纸片中，，，点E在上，将沿折叠，点恰落在边上的点F处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③四边形的面积等于；④．⑤，其中正确的结论有（ 　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，．对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根，其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共 6个小题，每小题 4 分，共 24 分．） 13. 已知方程是关于的一元一次方程，则=_______. 14. 分解因式： _______． 15. 若是关于的方程的两个实数根，且，则的值是______． 16. 在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为___________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点均在反比例函数的图象上，点均在一次函数的图象上，且轴于点C，连接，若点A的坐标为，则的面积为_______． 18. 如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共 8个小题，共 78 分．） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值． 21. 某学校在假期开展了“阳光阅读”活动，为了解学生的阅读情况，随机抽取部分学生进行阅读量的调查，阅读量分为四个类别：A.1~2本，B.3~4本，C.5~6本，D.6本以上，将调查结果进行统计，绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题： 学生假期阅读量条形统计图 学生假期阅读量扇形统计图 （1）本次调查的学生共有_____人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是______． （2）请补全条形统计图； （3）在阅读量为D类别的4名学生中有正好有2名男生和2名女生，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是1名男生和1名女生的概率． 22. 在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长米，坡度，小华在处测得旗杆顶端的仰角为，在处测得旗杆顶端的仰角为．求旗杆的高度．(点，，，在同一平面内，，在同一水平线上，结果保留根号) 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）则________，________； （2）若时，则的取值范围是______． （3）过点B作轴于C点，连接，过点C作于点D，求线段的长． 24. 眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多元． （1）求，两款文创产品每件的进价各是多少元？ （2）已知款文创产品每件售价为元，款文创产品每件售价为元，根据市场需求，商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）连接CE，求证：△ACE∽△ADC； （3）若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC． 26. （2017四川省眉山市）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知，且 是抛物线上另一点． （1）求a、b的值； （2）连接，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标； （3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作交抛物线的对称轴于H点．设，的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 共同体九年级半期练习 数学试题 考试120分钟，满分150分 第I卷（选择题 共48分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是正确的，请将答案写在答题卡相应题目上． 1. 函数中自变量x的取值范围是（　　） A. x≥3 B. x≠﹣3 C. x≤3 D. x≠3 【答案】D 【解析】 【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】∵x﹣3≠0， ∴x≠3， 故选D． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 2. 下列运算中正确的是（ ） A. ＝±2 B. ＝2 C. ＝3 D. ＝-8 【答案】C 【解析】 【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题. 【详解】A.＝2，故选项A错误； B.＝-2，故选项B错误； C.＝3，计算正确，故此选项正确； D.＝8，故选项D错误. 故选C. 【点睛】本题考查了立方根和算术平方根，解答此题的关键是明确它们各自的计算方法. 3. 树叶上有许多气孔，在阳光下，这些气孔一边排出氧气和蒸腾水分，一边吸入二氧化碳.已知一个气孔每秒钟能吸进2500亿个二氧化碳分子，用科学记数法表示2500亿，结果是( ) A. 2.5×1010 B. 2.5×104 C. 2.5×1012 D. 2.5×1011 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：将2500亿用科学记数法表示为2.5×1011． 故选D． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 用配方法解方程x2﹣6x+3＝0，下列变形正确的是（ ） A. （x﹣3）2＝6 B. （x﹣3）2＝3 C. （x﹣3）2＝0 D. （x﹣3）2＝1 【答案】A 【解析】 【分析】把常数项3移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案． 【详解】解：∵x2﹣6x+3＝0， ∴x2﹣6x＝﹣3， ∴x2﹣6x+9＝6，即（x﹣3）2＝6， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法---配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键 5. 将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是，求原铁皮的边长．设原铁皮的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 根据题意列方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意列方程得，， 故选：A ． 6. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况，当时，一元二次方程有两个实数根，据此求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得， 故选：B． 7. “射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ） A. 确定事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 不确定事件 【答案】D 【解析】 【详解】“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件， 故选D 【点睛】本题考查了随机事件的概念，解决此题的关键是熟练的掌握此概念． 8. 关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一定要注意分式方程的最简公分母不能为0．根据解分式方程的方法，用含的式子表示的值，再根据解为非负数和分母不为0即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ， ，即， ， 解为非负数， ， ， 且． 故选：C． 9. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2.5，AC=3，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用直角三角形斜边与中线的关系先求出斜边的长，再利用勾股定理求出BC，最后利用直角三角形的边角间关系求出∠A的正弦值． 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵CD是斜边AB上的中线， ∴AB＝2CD＝5． ∴BC＝ ＝ ＝4． ∴sinA＝ ＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”． 10. 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 当时，函数的最小值为． 故选：B． 11. 如图，在矩形纸片中，，，点E在上，将沿折叠，点恰落在边上的点F处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③四边形的面积等于；④．⑤，其中正确的结论有（ 　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠性质以及勾股定理可以求出所需要的边长，即可对①④进行判断，根据可对③进行判断；利用对应边成比例可证明相似三角形对②进行判断，解直角三角形对⑤进行判断． 【详解】解：将沿折叠，点恰落在边上的点F处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处， ，，，，， ，故①正确； 在中，， ， 设，则，，， 在中， ， ， 解得：， ， ，故④正确； 在中，，设，则， ， 解得：， ， ，， ，故③不正确； ，，，，，， ， ，故②正确； 在中，，故⑤正确， 综上所述，正确的有：①②④⑤，共4个， 故选：． 【点睛】本题考查了矩形性质，矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的判定，解直角三角形，利用折叠性质求出相对应的边长是解答本题的关键． 12. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，．对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根，其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可得a、b、c的取值范围，由此可判断①；根据结合c的取值范围可对②进行判断；由OA=OC可得A的坐标，代入解析式可判断③；由点A坐标结合对称轴可得点B坐标，据此可判断④. 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，所以②正确； ∵，， ∴， 把代入得， ∴，所以③正确； ∵，对称轴为直线， ∴， ∴是关于x的一元二次方程的一个根，所以④正确； 综上正确的有4个， 故选A 【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点及与二次函数图象与系数的关系，做好本题要知道以下几点：①当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左； 当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0，c)．④抛物线与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，注意利用数形结合的思想． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共 6个小题，每小题 4 分，共 24 分．） 13. 已知方程是关于的一元一次方程，则=_______. 【答案】-1 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式叫做一元一次方程”得到关于a的等式，求解即可. 【详解】由一元一次方程的定义得： 解得： 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟记理解定义是解题关键. 14. 分解因式： _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了多项式的因式分解．利用提公因式法解答，即可． 【详解】解：． 故答案为： 15. 若是关于的方程的两个实数根，且，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先说明根的判别式大于零，再根据根与系数可得、，再结合可得的值，进而得到，即，据此求解即可；掌握根与系数的关系成为解答本题的关键． 【详解】解：∵关于的方程的两个实数根， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，解得：． 故答案为． 16. 在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求锐角三角函数值，勾股定理，等腰三角形的性质，连接，证明，进而根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴ ∴ 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点均在反比例函数的图象上，点均在一次函数的图象上，且轴于点C，连接，若点A的坐标为，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，先利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再根据题意得到，则点B和点D的纵坐标都为1，据此求出B、D的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， ∵， ∴， ∵轴于点C， ∴点B和点D的纵坐标都为1， 在中，当时，， 在中，当，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，延长，交于，由圆周角定理可得，，进而可证明，得到，即得，利用勾股定理得，再证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长，交于， 是的直径， ，， 平分， ， 又∵， ∴， ， ， ，， ， ， 又∵， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共 8个小题，共 78 分．） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． (1)先利用二次根式的除法法则计算，再化简绝对值，合并同类项即可； (2)先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂，再进行实数运算，从而计算出原式的结果． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： 原式 20. 先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】；1 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴把代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 21. 某学校在假期开展了“阳光阅读”活动，为了解学生的阅读情况，随机抽取部分学生进行阅读量的调查，阅读量分为四个类别：A.1~2本，B.3~4本，C.5~6本，D.6本以上，将调查结果进行统计，绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题： 学生假期阅读量条形统计图 学生假期阅读量扇形统计图 （1）本次调查的学生共有_____人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是______． （2）请补全条形统计图； （3）在阅读量为D类别的4名学生中有正好有2名男生和2名女生，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）50，； （2） 补全条形统计图如图所示； （3） 【解析】 【分析】（1）用C类别的人数除以其所占的百分比可求得本次调查总人数，用乘以B类别人数所占比例可求解； （2）由调查总人数减去已知组类别的人数求出A类别的人数，进而补全条形统计图即可； （3）利用列表法求得所有等可能的结果总数，再找出符合条件的结果，进而利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本题调查的学生人数为（人）， B所对应的扇形的圆心角的度数是， 故答案为：50，； 【小问2详解】 解：A类别人数：（人）， 图如答案所示； 【小问3详解】 解：设两名男生为，，两名女生为，，根据题意，列表如下： （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） 由表格可知：共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中正好是1名男生和1名女生的情况有8种，所以恰好是1名男生和1名女生的概率为. 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、用列表法或树状图法求概率，理解题意，能从统计图中获取所需信息是解答的关键． 22. 在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长米，坡度，小华在处测得旗杆顶端的仰角为，在处测得旗杆顶端的仰角为．求旗杆的高度．(点，，，在同一平面内，，在同一水平线上，结果保留根号) 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用：仰角俯角、坡度坡角问题，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，依据题意得：，，设米，则米，在中，利用勾股定理求出、的长．再设米，则米，最后分别在和中利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 依据题意得：，， 坡长米，坡度， ， 设米，则米， 在中， (米)， ，解得：， 米，则米， 设米， 米， 在中，， (米)， 在中，， 米， ， ， 解得：， (米)， 旗杆的高度为米． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． （1）则________，________； （2）若时，则的取值范围是______． （3）过点B作轴于C点，连接，过点C作于点D，求线段的长． 【答案】（1），； （2）或； （3） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数图象的交点问题，待定系数法等知识， 数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出答案； （2）根据反比例函数和一次函数图象交点的横坐标和图象的位置关系即可得到答案； （3）求出点到的距离，，根据即可得到． 【小问1详解】 解：点，在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 由（1）知，， ， ， 当或时，， 故答案为：或； 【小问3详解】 轴，， ， ， 点到的距离， ，， ， ， ， ． 24. 眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用元购进的款文创产品和用元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多元． （1）求，两款文创产品每件的进价各是多少元？ （2）已知款文创产品每件售价为元，款文创产品每件售价为元，根据市场需求，商店计划再用不超过元的总费用购进这两款文创产品共件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）款文创产品每件的进价元，文创产品每件的进价是元； （2）购进款文创产品件，购进款文创产品件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】（）设款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元，根据题意，列出分式方程即可求解； （）设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为，利用一次一次不等式求出的取值范围，再根据题意求出与的一次函数，根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴ 答：款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元； 【小问2详解】 解：设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为， 根据题意得，， 解得， 又由题意得，， ，随的增大而增大， 当时，利润最大， ∴购进款文创产品件，购进款文创产品件，获得的利润最大，， 答：购进款文创产品件，购进款文创产品件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是元． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）连接CE，求证：△ACE∽△ADC； （3）若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC． 【答案】（1） 证明：如图，过作于 ∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线， O为圆心，OC为半径， 是⊙O的切线． （2） 证明：如图，连结CE， 为的直径， （3）tan∠OAC 【解析】 【分析】（1）如图，过作于证明 即可得到结论； （2）证明 再结合 从而可得结论； （3）由相似三角形的性质可得 设 则 而 从而建立方程求解x，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设 则 而 解得 tan∠OAC 【点睛】本题考查的是切线的判定，相似三角形的判定与性质，求解锐角的正切，证明，利用相似三角形的性质求解是解本题的关键． 26. （2017四川省眉山市）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知，且 是抛物线上另一点． （1）求a、b的值； （2）连接，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标； （3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作交抛物线的对称轴于H点．设，的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 【答案】（1） （2）点P坐标为或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组即可得到结论； （2）在中，当时．，得到，如图，设，则，，根据勾股定理得到，①当时，则；②当时；③当时，点P在的垂直平分线上，根据相似三角形的性质得到④当时，于是得到结论； （3）先求得直线的解析式．设与抛物线的对称轴交于点F，直线与x轴交于E点，则，．分①当时和②当时两种情况，利用平行线分线段成比例求得，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：把，且代入得：， 解得：； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， 如图，设，则，，， 分三种情况： ①当时，则，∴； ②当时，即， ∴，则 ； ③当时，点P在的垂直平分线上，则， ∴，∴， ∴， ∴ ； ④当时，，∴， 综上所述，P点的坐标或或或； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 由题意得：，解得：，， ∴． 由（1）得抛物线对应的函数表达式为， 设与抛物线的对称轴交于点F，直线与x轴交于E点，则，． ①当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴ ， ∴，即； ②当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴ ， ∴，即； ∴ ． 【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质等知识，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $