专题05 期末解答压轴题（七大题型）（沪教版2020必修第二册，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题05 期末解答压轴题 题型概览 题型01三角函数零点问题 题型02新定义——三角函数零点问题 题型03平面向量的几何应用 题型04新定义—平面向量 题型05平面向量与三角函数 题型06复数 题型07 其他问题 ( 题型01 ) 三角函数零点问题 1．（23-24高一下·上海·期末）已知. (1)求函数的单调增区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. (3)若函数在内有且只有一个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）运用二倍角公式，辅助角公式化简成正弦型函数，令函数，函数可以看作向下平移个单位，则的单调增区间与相同，用五点法作图解题即可； （2）将在图像留下来，直接看图求出来即可； （3）将在图像留下来，转化为交点问题即可. 【解析】（1） ， 令，最小正周期为.可以运用五点法画出的图像. 五点分别为： 由图像，结合函数周期性，可知道的单调递增区间为： 函数可以看作向下平移个单位，则的单调增区间与相同， 故的单调递增区间为： （2）先求出在区间上的最大值与最小值，由图知. ， 函数可以看作向下平移个单位，则 （3）若函数在内有且只有一个零点, 等价于在内有且只有一个根， 等价于在内有且只有一个根， 等价于在内有且只有一个根， 等价于与在内有且只有一个交点. 且，图像如下 则或者，解得或. 2．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设． (1)当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数． (2)①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数； ②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①见解析；②的最小值为3，此时. 【分析】（1）根据单调函数的定义，结合三角函数的性质和不等式的性质，判断的正负，即可证明； （2）①根据三角函数的性质，将函数的零点转化为图象的交点个数问题，即可判断； ②根据①的结果以及分析过程，判断当时的交点情况，以及得到取值. 【解析】（1）设， ， ， ， 因为，所以， 且，所以，所以， 则， 所以， 即，所以， 所以函数在区间上是严格增函数. （2）①，则， 当时，即，，， 所以不管为何值，和是函数的零点， 当，即或时，，如图画出函数的图象， 若或时，与无交点，没有零点， 若或时，与有1个交点，为和，需舍去，所以没有零点， 当或时，与有2个交点， 当时，与有3个交点， 综上可知，或时，有2个零点， 当或时，有4个零点， 当时，有个5零点. ②由①可知，时，最多有5个零点， 时，区间为，不管为何值，函数的零点包含，3个零点， 当时，与在区间有4个交点， 如图， 当时，在区间有4个交点，此时交点的横坐标为函数的零点， 所以的最小值为3，此时. 【点睛】关键点点睛：本题第2问考察函数零点问题，关键是讨论和两种情况. ( 题型02 ) 新定义——三角函数零点问题 3．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为坐标原点，对于函数，称向㝵为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． (1)设函数，试求的互生向量； (2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间； (3)记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式化简，接着结合互生向量定义即可得解. （2）求出并化简得到的解析式，再结合正弦函数的单调性以及变量范围求解即可得解. （3）分离参数得，将函数在上有四个零点 转化成 则函数与在上的图象有四个交点，利用三角函数性质数形结合作出函数图象，则由图象即可得解. 【解析】（1）因为，所以的互生向量. （2）由题意可得，所以， 令，解得， 因为，所以， 所以函数在上的严格增区间为. （3）由题，则， 若函数在上有四个零点，则在上有四个实数根， 则函数与在上的图象有四个交点， 因为， 所以， 则由三角函数性质作其函数图象如图所示， 由三角函数图象及性质可知k的取值范围为. 【点睛】思路点睛：分离参数和数形结合是解决函数零点问题基本方法，所以对于函数在上有四个零点求参数k，先分离参数得，从而将零点问题转化成函数与在上的图象有四个交点，再数形结合利用三角函数性质作出函数图象，由图象即可得解. 4．（20-21高一下·上海宝山·期末）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质． （1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：． 【答案】（1）函数具有性质，不具有性质，理由见解析；（2）不具备，理由见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据具有性质的定义依次讨论即可得答案； （2）假设函数具有性质，则有，即，进而得，再根据并结合函数的值域为得，故，此时，在验证不具有性质，进而得到答案； （3）结合（2），并根据题意得，进而得在的值域为，当时，与零点唯一性矛盾得或，再讨论当时不成立得，即． 【解析】（1）函数具有性质，不具有性质，说明如下： ， ， 对任意，都有， 所以具有性质， ，， 所以， 所以不具有性质； （2）若函数具有性质， 则有，即， 于是，结合知， 因此； 若，不妨设 由可知： （记作*），其中 只要充分大时，将大于1 考虑到的值域为为，等式（*）将无法成立， 综上所述必有，即； 再由，，从而，而 当时，， 而，显然两者不恒相等（比如时) 综上所述，不存在以及使得具有性质； (3）由函数具有性质以及（2）可知， 由函数是以为周期的周期函数，有， 即，也即 由，及题设可知 在的值域为 当时，当及时，均有， 这与零点唯一性矛盾，因此或， 当时，，在的值域为 此时 于是在上的值域为， 由正弦函数的性质，此时当时和的取值范围不同， 因而，即． 【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于正确理解具有性质P的函数的定义，利用定义，结合反证法，分类讨论思想等讨论求解. ( 题型03 ) 平面向量的几何应用 5．（23-24高一下·上海·期末）如图，已知是边长为2的正三角形，点是边的四等分点． (1)求的值； (2)若为线段上一点，且，求实数的值； (3)若为边上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】（1）利用平行四边形法则化简表达式，然后利用已知条件及向量数量积公式计算即可； （2）利用三点共线定理建立等式，得出方程组求出参数即可； （3）根据为边上一点，所以可设，再利用向量的加减法与数乘运算，求出，进而得出，从而可求的最小值. 【解析】（1）由于为边的中点，所以， 故. 由于，故. 因此. （2）由于，故. 由于为线段上一点，设， 所以， 由向量基本定理得，解得，因此. （3）因为为边上一点，所以可设， ， 因为，， 所以， 当时，取得最小值为. 所以点的四等分点靠近的分点，即处. 6．（23-24高一下·上海徐汇·期末）平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中.    (1)当时，试用表示； (2)当时，求的值； (3)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件得，，由向量的线性运算即可求解； （2）由基底表示出，再求出，最后求模即可； （3）由基底表示出，，从而表示出，再利用求函数的最值的知识求出最小值． 【解析】（1）由题意可得：， 当时，所以，. （2）因为，则， 由（1）可得：， 当时，则，， 所以 因为， 所以， 所以 （3）当时，，， 则，同理， 令， 当，2，3时，， 当时，上式有最小值为； 当 时，， 当，6，7时，，当时，上式有最小值为， 综上，的最小值为． 【点睛】关键点点睛：根据向量的线性运算得，即可结合数量积的运算求解. ( 题型04 ) 新定义—平面向量 7．（23-24高一下·上海·期末）已知为等腰直角三角形，且，．点是的内部（包括的三条边）不同的点．记集合，若集合是集合的一个非空子集，向量表示集合中所有元素的和． (1)若点是斜边的等分点，试求（用含的式子表示） (2)证明对于任意的集合，存在的两个非空子集满足以下条件：①，；②且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接使用等分点的向量性质即可； （2）设，然后分和两种情况证明结论. 【解析】（1） 记的中点为，则由已知有. 所以. （2）对，设，则，. 同时，由于，. 故，. 若，取，，则，. 若，不妨设. 由于，， 故我们可以找到正整数，使得，. （换言之，是满足的正整数的最大值） 由于，故. 取，，则 ，且 . 综上，结论成立. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对数量积的运算律的运用. 8．（21-22高二上·上海徐汇·阶段练习）已知集合，为坐标原点，若，，、，定义点、之间的距离为. （1）若，，，求的值； （2）记，若（为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、； （3）若，试判断“存在，使”是“”的什么条件？并证明. 【答案】（1）、、；（2）的最大值为，可取，；（3）充分不必要条件，证明见解析. 【分析】（1）根据的定义可得出关于的不等式，解出的取值范围，结合可得结果； （2）设、，利用绝对值三角不等式可求得的最大值，结合已知条件可取符合条件的一组向量、的坐标； （3）判断出“存在，使”是“”的充分不必要条件，利用题中定义、绝对值的运算性质以及特殊值法、充分条件和必要条件的定义证明即可. 【解析】（1）因为，，则，即， 解得，因为，所以，的值为、、； （2）设、， ，， 所以， ， 可取，； （3）“存在，使”是“”的充分不必要条件，证明如下： 取，. 充分性：若存在，使，即， 则，， 所以， ，充分性成立； 必要性：因为，可取，，， 则， ，则满足， 但，， ，则、不共线，必要性不成立. 综上所述，“存在，使”是“”的充分不必要条件. 【点睛】关键点点睛：本题考查距离的新定义，在求的最大值，充分利用绝对三角不等式结合定值条件可求得，同时在证明时，要充分利用绝对值的运算性质化简求解. ( 题型05 ) 平面向量与三角函数 9．（20-21高一下·上海浦东新·期末）已知，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，． （1）若，的坐标为，求； （2）若，，求的最大值； （3）若存在，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值． 【答案】（1）；（2）12；（3）． 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，（1）可得代入，即可求的坐标；（2）可得代入，即可求其的最值；（3）求、的坐标，进而可得、，结合题设有，应用三角恒等变换及三角函数的性质，可得、，由分类讨论的方式求的所有可能值． 【解析】（1）由题意，， ∴， ， ∴由，则、，故； （2）由题意，， ∴， ， ∴由，则、，即， ∴当时，的最大值为12； （3）， ， ∴，， ∵△为等边三角形， ∴， ∴， ， 整理得：且， ∴或， 综上， 当，时，或； 当，时，或； 所以的所有可能值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，首先求出、的坐标，再由，结合三角恒等变换、三角函数性质求出的可能值，进而求对应值. 10．（23-24高一下·上海·期中）定义向量的“对应函数”为；函数的“对应向量”为（其中为坐标原点），记平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为 (1)设，求证： (2)已知且，是函数的“对应向量”，，求 (3)已知，向量的“对应函数”在处取得最大值，当变化时，求的取值范围 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到对应的向量为，即可得证； （2）化简函数，得到，进而求得的值； （3）根据题意，由函数 在处取得最大值，得到，求得，结合三角函数的有界性求得，结合单调性，即可求解. 【解析】（1）证明：因为， 根据题意，可得函数对应的向量为， 又因为平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为，所以； （2）由函数 ， 因为，所以， 又因为，所以， 可得. （3）由函数 ，其中， 因为在处取得最大值，所以， 即，此时， 令，可得， 即，其中， 可得，所以，所以， 当时，单调递减，； 当时，单调递减，. 综合可得的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键时理解对应向量以及对应函数的定义，明确其内涵，能根据该定义结合向量的坐标运算进行求解. 11．（23-24高一下·上海·名校期末）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. (1)记向量的相伴函数为，求当且时，的值; (2)设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量; (3)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标;若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)和 (3)存在， 【分析】（1）利用相伴特征向量的定义、函数定义域及三角恒等变换公式即可求解； （2）利用相伴特征向量的定义，求出相伴特征向量，根据共线单位向量的定义即可求解； （3）利用向量的数量积和垂直的充要条件的应用，即可求解. 【解析】（1）由已知可得：， 所以， 因为， 所以，所以， 所以， 所以 ， ， （2）， ， ， ， 所以，， ， 所以与共线的单位向量为和. （3）， 因为为的相伴特征向量， 所以，解得， 所以， 所以， ， 假设在的图象上是否存在一点，使得， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以， 令， 令， 所以， ， 当时，；当时，，， 所以， 因为， 所以当且仅当且时，成立， 此时，且，即点， 所以的图象上是存在一点，使得. ( 题型06 ) 复数 12．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知集合（其中是虚数单位），定义：，. (1)计算的值； (2)记，若，且满足，求的最大值，并写出一组符合题意的、； (3)若，且满足，，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，． 【答案】(1) (2)的最大值为4，符合题意的一组解： (3)证明见解析 【分析】（1）结合所给定义计算即可得； （2）设出的实部与虚部，结合绝对值三角不等式放缩即可得解； （3）设，结合函数单调性与零点的存在性定理，分、与进行讨论即可证明函数必存在唯一的零点，并可得的范围，从而可结合模长定义计算得到结果. 【解析】（1）； （2）设， 由，得， 所以 ， 当，时等号成立，所以的最大值为4， 符合题意的一组解：； （3）由条件可知， 所以，设， 当时，和是单调递增函数， 则在上单调递增， 又，， 所以在上有唯一的零点，即在上有唯一的零点， 当时，是单调递增函数， 得，先增后减，且， 因此，即在上没有零点， 当时，是单调递增函数， 则，而， 因此，即在上没有零点， 综上，当时, 必存在唯一的零点， 当时，， 且得， 所以, 其中， 此时是单调递增函数，所以， 从而， 所以当时，. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于设出函数，从而可借助函数单调性与零点的存在性定理进行分类讨论. 13．（22-23高一下·上海徐汇·期末）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． (1)设，，为虚数单位，求复向量、的模； (2)设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可； （2）①利用模长公式和复数的三角不等式，以及的坐标表示，即可证明结论成立； ②根据①中等号成立的条件，结合题意即可求出和的值． 【解析】（1）因为，所以， 可得的模为； 因为，所以， 所以的模为； （2）因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知， ②考虑①中等号成立的条件知，对于复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 若复向量与平行，则， 根据中等号成立的条件，应有， 则， 结合，得，解得； 所以，所以． 14．（20-21高一下·上海浦东新·期末）对于一组复数，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该复数组的“复数”. （1）设，若是复数组，，的“复数”，求实数的取值范围； （2）已知，，是否存在复数使得，，均是复数组，，的“复数”？若存在，求出所有的，若不存在，说明理由； （3）若，复数组，，，…，是否存在“复数”？给出你的结论并说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，；（3）不存在，答案见解析. 【分析】（1），，，由是复数组，，的“复数”，从而，由此能求出结果． （2）由，，存在复数使得，，均是复数组，，的“复数”，列不等式组求出结果． （3）严格减．推导出当为奇数时，复数组，，，，存在“复数”，当为偶数时，复数组，，，，不存在“复数”． 【解析】解：（1），，，∵是复数组，，的“复数”， ∴，代入得，化简得，∴． （2）若，，均是复数组，，的“复数”，则，设，，2，3，则， 相加得，所以，所以． （3）因为严格递减 当为奇数时，， ，∴， 所以当为奇数时，复数组，，，…，存在“复数”，是复数组，，，…，的“复数”． 为偶数时，， ， ∴，所以当为偶数时，复数组，，，…，不存在“复数”． 15．（22-23高一下·上海杨浦·期末）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． (1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； (2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； (3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题中的新定义求解即可； （2）由题意可得，进而由条件得出关于的方程组，求解即可； （3）满足条件的一个有序实数对为，即，，结合复数模的求法及复数的运算证明即可. 【解析】（1）由知，则，故； 设，则， 由知，则，即. （2）直线l上的任意一点“对应”到点， ，且， ，即， 由题意，点仍在直线上，则，又， 则， 展开整理得， 则，解得， 所以，所求的有序实数对为. （3）满足条件的一个有序实数对为，即，，证明如下： 设，则，， ∵，∴， ，即，满足条件①； 设，且，即，得， 由得， 则 ， 则，满足条件②， 综上，满足条件的一个有序实数对为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． ( 题型07 ) 其他问题 16．（22-23高一下·上海宝山·期末）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）. (1)计算的值； (2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明； (3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）求出，代入化简即可求出答案； （2）类比推理可得出展开式中含有两项，展开即可得出结论；证明时，分别从左右两边化简，均可得出； （3）代入整理可得有解.令，，，根据的单调性以及基本不等式得出，.然后即可得出关于的不等式，求解即可得出答案. 【解析】（1）由已知可得，，， 所以，， 所以，. （2）. 证明如下： 左边， 右边. 所以，左边=右边， 所以，. （3）原题可转化为方程有解，即有解. 令，，， 因为在上单调递增，，， 所以，. 又，当且仅当，即时等号成立， 所以，即有最大值， 又当， 则要使有解，应有， 即，所以. 【点睛】思路点睛：小问3，由已知得出有解，构造函数，，，，然后分别求出的值域，即可得出关系式. 17．（22-23高一下·上海闵行·期末）定义在上的函数，已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为3；当，函数取得最小值为. (1)求出此函数的解析式； (2)是否存在实数，满足不等式，若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)若将函数的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）先利用三角函数最值与周期的性质求得，再由求得，从而得解； （2）先根据根号的性质求得的取值范围，再结合的单调性得到关于的不等式，由此得解； （3）先利用三角函数平移的性质求得与，再利用复合函数的单调性确定满足条件时与的取值，从而求得的范围，由此得解. 【解析】（1），， 又在内只取到一个最大值和一个最小值， ，， ，， 则，又，， . （2）假设存在实数，满足题设不等式， 则满足，解得， ，， 同理， 当时，，故在上单调递增， 若有， 只需要，即成立即可， 存在，使成立. （3）由题意得， 函数与函数均为单调增函数，且， 当且仅当与同时取得才有的最大值为, 由，得， 则由，得， ，则， 又，的最小值为. 【点睛】关键点睛：本题第3小问的解决关键是利用复合函数的单调性，结合三角函数的性质确定满足条件时与的取值，从而得解. 10 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 期末解答压轴题 题型概览 题型01三角函数零点问题 题型02新定义——三角函数零点问题 题型03平面向量的几何应用 题型04新定义—平面向量 题型05平面向量与三角函数 题型06复数 题型07 其他问题 ( 题型01 ) 三角函数零点问题 1．（23-24高一下·上海·期末）已知. (1)求函数的单调增区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. (3)若函数在内有且只有一个零点，求实数m的取值范围. 2．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设． (1)当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数． (2)①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数； ②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围． ( 题型02 ) 新定义——三角函数零点问题 3．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为坐标原点，对于函数，称向㝵为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． (1)设函数，试求的互生向量； (2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间； (3)记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围． 4．（20-21高一下·上海宝山·期末）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质． （1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：． ( 题型03 ) 平面向量的几何应用 5．（23-24高一下·上海·期末）如图，已知是边长为2的正三角形，点是边的四等分点． (1)求的值； (2)若为线段上一点，且，求实数的值； (3)若为边上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置． 6．（23-24高一下·上海徐汇·期末）平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中.    (1)当时，试用表示； (2)当时，求的值； (3)当时，求的最小值. ( 题型04 ) 新定义—平面向量 7．（23-24高一下·上海·期末）已知为等腰直角三角形，且，．点是的内部（包括的三条边）不同的点．记集合，若集合是集合的一个非空子集，向量表示集合中所有元素的和． (1)若点是斜边的等分点，试求（用含的式子表示） (2)证明对于任意的集合，存在的两个非空子集满足以下条件：①，；②且. 8．（21-22高二上·上海徐汇·阶段练习）已知集合，为坐标原点，若，，、，定义点、之间的距离为. （1）若，，，求的值； （2）记，若（为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、； （3）若，试判断“存在，使”是“”的什么条件？并证明. ( 题型0 5 ) 平面向量与三角函数 9．（20-21高一下·上海浦东新·期末）已知，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，． （1）若，的坐标为，求； （2）若，，求的最大值； （3）若存在，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值． 10．（23-24高一下·上海·期中）定义向量的“对应函数”为；函数的“对应向量”为（其中为坐标原点），记平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为 (1)设，求证： (2)已知且，是函数的“对应向量”，，求 (3)已知，向量的“对应函数”在处取得最大值，当变化时，求的取值范围 11．（23-24高一下·上海·名校期末）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. (1)记向量的相伴函数为，求当且时，的值; (2)设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量; (3)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标;若不存在，说明理由. ( 题型0 6 ) 复数 12．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知集合（其中是虚数单位），定义：，. (1)计算的值； (2)记，若，且满足，求的最大值，并写出一组符合题意的、； (3)若，且满足，，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，． 13．（22-23高一下·上海徐汇·期末）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． (1)设，，为虚数单位，求复向量、的模； (2)设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 14．（20-21高一下·上海浦东新·期末）对于一组复数，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该复数组的“复数”. （1）设，若是复数组，，的“复数”，求实数的取值范围； （2）已知，，是否存在复数使得，，均是复数组，，的“复数”？若存在，求出所有的，若不存在，说明理由； （3）若，复数组，，，…，是否存在“复数”？给出你的结论并说明理由． 15．（22-23高一下·上海杨浦·期末）设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． (1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； (2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； (3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． ( 题型0 7 ) 其他问题 16．（22-23高一下·上海宝山·期末）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）. (1)计算的值； (2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明； (3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围. 17．（22-23高一下·上海闵行·期末）定义在上的函数，已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为3；当，函数取得最小值为. (1)求出此函数的解析式； (2)是否存在实数，满足不等式，若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)若将函数的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$