海南省西南大学临高实验中学2024-2025学年高三下学期2月月考数学试题

高三数学 一、单选题 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 3．在中，若，则（    ） A． B． C． 或 D． 或 4．已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（   ） A． B． C． D． 5．若，则（    ） A．56 B．28 C． D． 6．南宋数学家杨辉在《详解九章算法・商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，...，设第层有个球，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则（   ） A．2024 B． C．2025 D．2026 8．已知双曲线左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点．若四边形是正方形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件，“第二次抽到黄球”为事件，则（    ） A． B． C．与为互斥事件 D．与相互独立 10．已知函数，若将的图象向右平移个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．的图象与的图象在内有4个交点 11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（    ） A．平面平面 B．任意，三棱锥的体积是定值 C．周长最小值为 D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 三、填空题 12．已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 13．某厂产品有的产品不需要调试就可以出厂上市，另的产品经过调试以后有能出厂，则该厂产品能出厂的概率 ；任取一出厂产品，求未经调试的概率 ． 14．若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 四、解答题 15．在中，角所对的边分别为.若，且边上的中线长为. (1)求的大小； (2)求面积的最大值. 16．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 17．如图1，在直角梯形中．．将沿折起，使，连接，得如图2的几何体． (1)求证：平面平面； (2)若是线段上靠近的三等分点，求二面角的余弦值． 18．经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. (1)根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 19．在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列. (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，. ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B D D B C AB BD 题号 11 答案 AD 1．C 【分析】解不等式得到，然后求补集. 【详解】，所以或. 故选：C. 2．B 【分析】根据复数的除法法则，化简可得，根据共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】由题意得， 所以其共轭复数为. 故选：B 3．A 【分析】根据A、B、C的范围及题中条件，可求得，的值，代入两角和的余弦公式，化简整理，即可得答案. 【详解】因为在中，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以 . 故选：A 4．B 【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【详解】∵，∴增加两个样本点后的平均数为； ∵，∴， ∴增加两个样本点后y的平均数为， ∴，解得， ∴新的经验回归方程为，则当时，， ∴样本点的残差为 故选：B. 5．D 【分析】根据题意，根据二项展开式的通项可知，进而求出的值. 【详解】因为，所以， 所以，即. 故选：D. 6．D 【分析】易得，再利用累加法求得，再利用裂项相消法求解. 【详解】解：由题意可得，，，，， 于是有， 所以，，，，…，， 将以上个式子相加得， 所以， 所以， . 故选：D 7．B 【分析】通过求导得到的对称中心，然后利用对称性求函数值即可. 【详解】由，可得． 令，得， 又，所以图象的对称中心为， ，，， ． 故选：B. 8．C 【分析】表达出，将其代入双曲线上，整理得到，计算出. 【详解】由对称性，知轴，，， 四边形是正方形，则，， 则，， 则在双曲线上， ，即， 即，化简整理得， 即，所以， 即，又，故， 解得或（舍去）. 故选：C． 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 9．AB 【分析】应用列举法写出所有可能事件，应用古典概型的概率求法求，再根据条件概率公式、互斥事件的定义、独立事件的判定判断各项的正误即可. 【详解】由题设，抽取结果有红黄、红蓝、黄红、黄蓝、蓝红、蓝黄，共6种情况， 其中第一次抽到红球有红黄、红蓝，共2种，则，A对， 第二次抽到黄球有红黄、蓝黄，共2种，则，显然事件不互斥，C错， 且第一场抽到红球，第二次抽到黄球的概率，则，D错， 所以，B对. 故选：AB 10．BD 【分析】根据函数图象的变换可得，即可代入验证求解ABC，作出两个函数的图象即可求解D. 【详解】的图象向右平移个单位后，可得， 进而可得，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故不是的对称轴，故C错误， 对于D，分别作出与在内的图象，可知有4个交点，故D正确， 故选：BD 11．AD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量知识依次判断选项即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系 对于A，，，，， 则，，， 设平面法向量，则，令，则， 设平面法向量，则，令，则， 所以，即，则平面平面，故A正确； 对于B，，，，则， 所以与不垂直，则与平面不平行，所以当在运动时，到平面的距离不是定值， 底面的面积为定值，则三棱锥的体积不是定值，所以B不正确； 对于C，由图可知 ，，所以周长最小值必定大于，故C错误； 对于D，可知正方体的球心，球的半径 ，，当时，， 所以，设平面法向量为， 所以，令，则 所以球心到平面的距离，， 所以平面截该正方体的外接球所得截面圆的半径， 则平面截该正方体的外接球所得截面的面积为，故D正确. 故选：AD 12． 【分析】利用向量夹角为钝角可得其数量积小于零，且不共线，解不等式即可. 【详解】向量与的夹角为钝角，则， 解得或； 又向量与不共线，所以，解得且； 故所求的取值范围是. 故答案为： 13． 【分析】答题空一：根据题意设出事件，利用全概率公式即可求解；答题空二：利用空一结果，根据贝叶斯公式即可求解. 【详解】设事件表示产品能出厂上市，事件表示产品不需要调试，表示产品需要调试， 则有，，，， 由全概率公式可得： ； 由贝叶斯公式可得： . 故答案为：； 14．/ 【分析】首先将不等式转化为，再构造函数，利用导数求函数的单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，利用函数的单调性即可求得结果. 【详解】因为，所以， 即，令，所以， 又，所以在上单调递增，所以， 即，令，所以， 令，解得，令，解得，所以在上单调递增， 在上单调递减，所以，所以，即的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要将不等式转化为，再构造函数，利用导数判断单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，通过两次构造函数即可求得结果. 15．(1) (2) 【分析】（1）先根据余弦的二倍角公式和诱导公式化简可得，再利用正弦定理边化角即可求解； （2）设，，，先利用平面向量的加法法则和数量积的运算律可得，再根据基本不等式和三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由可得， 因为在中，所以， 由正弦定理可得， 因为，，所以， 所以，即， 又，所以，. （2）设，，，根据题意，， 又，所以，化简得， 则， 所以，当且仅当时等号成立. 面积的最大值为. 16．(1)的单调递减区间是，单调递增区间是 (2) 【分析】（1）利用导数求函数的单调性； （2）分离参数得，构造，利用导数求最大值即得. 【详解】（1）当时，函数的定义域是，， 令，得，解得，故的单调递减区间是， 令，得，解得，故的单调递增区间是， 综上，的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）由任意，知恒成立. 因，故，在上恒成立. 设，则， 令，得，（舍去）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，取得极大值，也是最大值，且， 所以若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意，根据线面垂直的判定定理可证明平面，从而得面面垂直； （2）以为坐标原点，射线，分别为轴，轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，轴在平面内，分别求出平面和平面的一个法向量，利用空间两平面的夹角公式求解. 【详解】（1）在直角梯形中，，，则， 在三棱锥中，，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2） 取中点，则四边形为正方形，为等腰直角三角形， 则可得，平面， 由（1）可知平面，即平面平面， 则以为坐标原点，射线，分别为轴，轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，轴在平面内， 设，则， 所以，，，， 则 由题意，设平面的法向量为， 则，令，则， 得， 设平面的一个法向量， 则 ，令，则， 得， 所以， 所以二面角的余弦值为. 18．(1)适宜作为与之间的回归方程模型， (2)答案见解析，. 【分析】（1）根据散点图确定模型，代入数据计算即可； （2）确定随机变量取值，结合全概率公式计算概率，进而可求解； 【详解】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型. 令，则， ， ， 所以， 所以关于的回归方程为. （2）由题意设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的可能取值为，，， 设“所取两个鱼卵来自第批”， 所以， 设“所取两个鱼卵有个‘死卵’”， 由全概率公式得 ， ， ， 所以取出“死卵”个数的分布列为 0 1 2 所以， 所以取出“死卵”个数的数学期望为. 19．(1)是，理由见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据二阶等差数列的概念计算，从而判断； （2）①根据二阶等差数列的概念结合累加法求解通项公式；②根据裂项相消法求的前项和为，再根据数列的单调性证明结论. 【详解】（1）因为，所以， 令，则， 所以，即为等差数列， 所以为二阶等差数列. （2）①因为为二阶等差数列，且，，，所以，，所以的公差为， 所以，即， 所以， ， ， …… ， 将以上个式子左、右分别相加，得， 所以， 又，满足上式， 所以. ②证明：由（1）得， 所以. 因为，所以为递增数列， 所以； 又， 所以 . 因为，所以， 又因为数列为递减数列，所以为递增数列，即 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$