专题6.3 反比例函数的图象与性质（夯实基础）（精选精练）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题6.3 反比例函数的图象与性质（夯实基础）（精选精练） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（2025·天津·一模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽安庆·一模）一次函数与反比例函数的图象有一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于A、B两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（  ） A． B． C． D． 5．（2025·上海金山·二模）下列对反比例函数的图像的描述，正确的是（   ） A．经过 B．经过第一、三象限 C．在每个象限内，函数值随的增大而增大 D．关于轴对称 6．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 7．（2025·浙江·模拟预测）如图，已知轴，垂足为，，分别交反比例函数的图象于点，．若，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．（2024·山东青岛·二模）反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示．则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数的图象经过，，下列命题： ①若 则； ②若，； ③过点作轴，垂足为点，作 轴，垂足为点，若，则四边形的面积为，其中真命题的个数是（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 10．（23-24九年级上·山东东营·阶段练习）如图，在反比例函数的图象上，有点，，，，，，，它们的横坐标依次为，，，， ，，，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，，则的结果为（  ）    2、 A． B． C． D． 3、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若两个不同的点和在同一个反比例函数的图象上，则 ． 12．（2025·江苏淮安·一模）反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 ． 13．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）已知反比例函数 ，下列结论∶①图象必经过；②图象在一、二象限内；③y随的增大而增大；④当 时，则 ，其中错误的结论有 ．（填序号） 14．（2025·山西临汾·一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线交轴于点，交反比例函数的图象于点，过点作轴的平行线交轴于点，交的延长线于点，若，则的值为 ． 15．（2025·安徽·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，其中点，点的横坐标为6，则满足的的取值范围为 ． 16．（23-24九年级下·重庆·开学考试）反比例函数的图象如图，在中，，边轴，边轴且与函数图象交于点，边与此函数图象交于、两点，且，，则的值为 ． 17．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图为反比例函数与一次函数的大致图象，我们可以通过此图象求出不等式的解集，现将反比例函数的图象向右平移个单位，得函数，则直接写出不等式的解集为 ． 18．（2022·安徽合肥·三模）如图．已知反比例与的图象如图所示，点A，B在的图象上，点C，D在的图象上，对角线BD⊥AC于点P，对角线轴．已知点B的横坐标为4： （1）当m＝4，n＝20，且P为BD中点，判断四边形ABCD的形状为 ． （2）当四边形ABCD为正方形时m，n之间的数量关系为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（20-21八年级下·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出当不等式成立时，的取值范围． 20．（本小题满分8分）（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，点P是反比例函数的图象上的一点，过点P作轴于点A，连接，的面积为6． （1）求反比例函数的解析式； （2）若，点B是反比例函数上的点，当时，直接写出点B的坐标． 21．（本小题满分10分）（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知点A为反比例函数图象上任意一点，连接并延长至点B，使，过点B作轴交函数图象于点C，连接． （1）如图1，若点A的坐标为，求点B的坐标； （2）如图2，过点A作，垂足为D，若设A点坐标为，求四边形的面积． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，并且． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，根据图象直接写出此条件下x的取值范围； （3）在x轴上取一点，当的面积为12时，求m的值． 23．（本小题满分10分）（2025·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点和点，与反比例函数的图象交于点，为线段的中点． （1）求的值； （2）直接写出的解集． （3）点为线段上的一个动点，过点作轴，交该反比例函数图象于点，连结，．若的面积为，求点的坐标． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级下·山西临汾·期末）综合与探究 如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于C，D两点，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）直接写出关于x的不等式的解集． （3）点P是x轴上一点，点Q是平面内任意一点，若点P的横坐标是m． ①将的面积用含m的式子表示出来． ②当四边形是平行四边形，且面积为10时，直接写出此时m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.3 反比例函数的图象与性质（夯实基础）（精选精练） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．根据图中的点的坐标结合反比例函数的解析式即可判断． 解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意， 故选：D． 2．（2025·天津·一模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数（k是常数，）的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质解答即可． 解：∵， ∴反比例函数的图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，且第一象限的函数值为正，第三象限的函数值为负， ∵， ∴． 故选：D． 3．（2025·安徽安庆·一模）一次函数与反比例函数的图象有一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数交点问题，解题的关键是理解两个交点关于原点对称即可较快求解． 解：一次函数与反比例函数的图象有一个交点坐标为， ，解得：， ， 另一个交点坐标与关于原点对称， 另一个交点坐标为， 故选：B． 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于A、B两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，解决这类题目的关键是掌握两点的对称中心为原点． 根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答． 解： 反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， 它的另一个交点的坐标是． 故选：C． 5．（2025·上海金山·二模）下列对反比例函数的图像的描述，正确的是（   ） A．经过 B．经过第一、三象限 C．在每个象限内，函数值随的增大而增大 D．关于轴对称 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的性质及图像的特点，理解和掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数解析式可知，函数图像经过第二，四象限，根据图形特点即可求解． 解：A选项，当时，选项不符合题意； B选项，反比例函数的，函数图像经过第二，四象限，B选项不符合题意； C选项，函数图像在第二，四象限内，随的增大的增大，C选项符合题意； D选项，函数图象关于直线对称，D选项不符合题意． 故选：C． 6．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的性质和一元二次方程根的判别，解题的关键是熟记一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据反比例函数的性质确定，再根据判别式确定方程的根． 解：∵在每一个象限内y随着x增大而增大， ∴， ∵ ， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 7．（2025·浙江·模拟预测）如图，已知轴，垂足为，，分别交反比例函数的图象于点，．若，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，设，则，根据k的几何意义，得到，，进而得到，故的面积为6，列出方程求解即可． 解：设，则， ∵轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，， ∴，， ∴， 则， 故选：B． 8．（2024·山东青岛·二模）反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示．则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的图象与性质，由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得，且，可得函数过点，从而可得答案． 解：由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得， 且当时，， ∴， ∵， 当时，， ∴函数过点； ∴A符合题意， 故选：A． 9．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数的图象经过，，下列命题： ①若 则； ②若，； ③过点作轴，垂足为点，作 轴，垂足为点，若，则四边形的面积为，其中真命题的个数是（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用反比例函数的增减性、对称性、反比例函数比例系数的几何意义分别回答即可． 解：①，比例系数， 图象分别位于第一、三象限，在所在的每一个象限随着的增大而减小， 当时，， 故①是假命题； ②当、两点关于原点对称时，，则， 故②是真命题； ③若，则． 过点作轴，垂足为点，作 轴，垂足为点，则四边形的面积为， 故③是真命题； 真命题有2个， 故选：C． 【点拨】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．解题的关键是掌握反比例函数的性质以及比例系数的几何意义． 10．（23-24九年级上·山东东营·阶段练习）如图，在反比例函数的图象上，有点，，，，，，，它们的横坐标依次为，，，， ，，，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，，则的结果为（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点，，，，，，的纵坐标，从而可计算出，，，，，，的高，进而求出，，，，，，，从而得出的值． 解：当时，的纵坐标为2， 当时，的纵坐标， 当时， 的纵坐标， 当时，的纵坐标， 当时，的纵坐标， ……， ∴； ； ； ； ……， ， ， ． 故选：D． 【点拨】本题主要考查的是反比例函数综合题，先根据坐标求出各个阴影的面积表达式，找出规律是解题的关键． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）若两个不同的点和在同一个反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即解答即可． 解：设反比例函数的表达式为， ∵不同的点和在同一个反比例函数的图象上， ∴， 解得（正值舍去）， ∴． 故答案为：． 12．（2025·江苏淮安·一模）反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，先根据反比例函数所在的象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， 解得． 故答案为：． 13．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）已知反比例函数 ，下列结论∶①图象必经过；②图象在一、二象限内；③y随的增大而增大；④当 时，则 ，其中错误的结论有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案． 解：①当时，，即图象必经过点，正确； ②，图象在第二、四象限内，错误； ③，每一象限内，y随x的增大而增大，错误； ④，每一象限内，y随x的增大而增大，当时，；当时，；当时，函数无意义，错误， 故答案为：②③④． 14．（2025·山西临汾·一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线交轴于点，交反比例函数的图象于点，过点作轴的平行线交轴于点，交的延长线于点，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握k的几何意义是解题的关键；根据k的几何意义求出，进而求出，再根据k的几何意义即可得解． 解：由题意知：四边形是矩形， 点在的图象上， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 15．（2025·安徽·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，其中点，点的横坐标为6，则满足的的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，数形结合是解题的关键．求出反比例函数的表达式为．得到点．由图象可得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即可得到答案． 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 反比例函数的表达式为． 点的横坐标为6， 点． 由图象可得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即． 故答案为：或 16．（23-24九年级下·重庆·开学考试）反比例函数的图象如图，在中，，边轴，边轴且与函数图象交于点，边与此函数图象交于、两点，且，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．设点的坐标为则，，，，，根据列方程解出值即可． 解：设点的坐标为，则， 又，轴， ∴， 又轴且点C在反比例函数图象上， ∴， ，， ， ， ， 解得． 故答案为：． 17．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图为反比例函数与一次函数的大致图象，我们可以通过此图象求出不等式的解集，现将反比例函数的图象向右平移个单位，得函数，则直接写出不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】求出平移后的反比例函数的图象与直线的两个交点坐标，再根据图象求解即可． 解：如图，图象平移后与直线的交点分别记为A、B， 令， 解得：， ∴，， 观察图象可知，不等式的解集为或， 故答案为：或． 【点拨】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象综合、反比例函数图象的平移，解题关键是正确求出平移后的图象与直线的交点． 18．（2022·安徽合肥·三模）如图．已知反比例与的图象如图所示，点A，B在的图象上，点C，D在的图象上，对角线BD⊥AC于点P，对角线轴．已知点B的横坐标为4： （1）当m＝4，n＝20，且P为BD中点，判断四边形ABCD的形状为 ． （2）当四边形ABCD为正方形时m，n之间的数量关系为 ． 【答案】 菱形 m+n=32 【分析】（1）先确定出点B，D坐标，再利用待定系数法即可得出结论，确定出点A，C，P坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论； （2）先确定出，进而求出点P的坐标，再求出A，C坐标，最后用AC=BD，即可得出结论． 解：（1）∵点B的横坐标为4， ∴当x=4时，， ∴点， 设，则， ∵P为BD中点， ∴PA=PC， ∵轴． ∴点P的横坐标为4， ∴，解得：， ∴， ∴点P（4，3）， ∴PB=PD=2， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵BD⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形； 故答案为：菱形 （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴BD=AC， 当x=4时，， ∴点， ∴， ∴， ∵AC=BD， ∴， ∴m+n=32． 故答案为：m+n=32 【点拨】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形ABCD是平行四边形是解本题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（20-21八年级下·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出当不等式成立时，的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据图象和A、B的坐标即可求出答案． 解：（1）在反比例函数的图象上 ． ，． 把、代入一次函数 得，从而得到，， ． （2）由（1）得 ∵ ∴一次函数图像在反比例函数图像上方 ∴． 【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式等知识点的应用，主要考查计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想是解题关键． 20．（本小题满分8分）（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，点P是反比例函数的图象上的一点，过点P作轴于点A，连接，的面积为6． （1）求反比例函数的解析式； （2）若，点B是反比例函数上的点，当时，直接写出点B的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）设点P的坐标为，根据的面积为6列式求解； （2）设点B的坐标为，则，由此可解． 解：（1）解：设点P的坐标为， 则，， 的面积为6， ， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）解：设点B的坐标为， ，， ， 解得， ， 点B的坐标为． 21．（本小题满分10分）（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知点A为反比例函数图象上任意一点，连接并延长至点B，使，过点B作轴交函数图象于点C，连接． （1）如图1，若点A的坐标为，求点B的坐标； （2）如图2，过点A作，垂足为D，若设A点坐标为，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）5 【分析】本题主要考查了反比函数与几何的综合问题． （1）先根据点A的坐标在反比例函数的图象上，求出点A的坐标为，再由，可得点B的坐标． （2）设，可得点B的坐标为，从而得到点D的坐标为，，分别求出和的面积，即可求解． 解：（1）解：将点坐标代入到反比例函数中得， ， ∴点A的坐标为． ∵，， ∴点A为的中点， ∴点B的坐标为． （2）若设A点坐标为， ∵ ∴点B的坐标为：， ∵， ∴轴， ∴点D的坐标为， ∵，且点C在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为：． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，并且． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，根据图象直接写出此条件下x的取值范围； （3）在x轴上取一点，当的面积为12时，求m的值． 【答案】（1）；（2）或；（3）1或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别求出点的坐标，再结合，得出点D的坐标为，再把点D的坐标代入，进行计算，即可作答． （2）因为直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，则，解得，运用数形结合思想，即可作答； （3）依题意，得出，结合的面积为12，列式计算，即可作答． 解：（1）解：在直线中，当时，， ∴点A的坐标为， 当时，， 解得：， ∴点B的坐标为， ∵，且A、B、C、D四点共线， ∴点A是线段的中点， ∴点D的坐标为， 将点D的坐标代入反比例函数解析式得：， ∴反比例函数解析式为y； （2）解：∵直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点， ∴ 得或， ∴， 观察图象可得：当时，x的取值范围为或． （3）解：依题意， ∵ ∴， ∴， 解得或． 23．（本小题满分10分）（2025·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点和点，与反比例函数的图象交于点，为线段的中点． （1）求的值； （2）直接写出的解集． （3）点为线段上的一个动点，过点作轴，交该反比例函数图象于点，连结，．若的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程，求出C的坐标是解题的关键． （1）先分别求出点的坐标为，点的坐标为，利用为线段的中点，得出，将代入即可求解； （2）由图可知的解集即为反比例函数的图象在直线上方及相交时对应的自变量的取值范围，即可求解； （3）设点的坐标为，则可得点的坐标为，利用三角形面积公式列方程求解即可． 解：（1）解：令，得， 解得：， ∴点的坐标为， 令，则， ∴点的坐标为， ∵为线段的中点， ∴，， 即，， 解得：，， ∴， 将代入， 得； （2）解：由题意得反比例函数的解析式为， 由图可知的解集即为反比例函数的图象在直线上方及相交时对应的自变量的取值范围， ∴的解集为； （3）解：由（2）知反比例函数的解析式为， ∵轴， 设点的坐标为， 则，代入直线， 得：， ∴点的坐标为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 经检验，或是方程的解，但不符合题意，舍去， ∴，， ∴点的坐标为． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级下·山西临汾·期末）综合与探究 如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于C，D两点，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）直接写出关于x的不等式的解集． （3）点P是x轴上一点，点Q是平面内任意一点，若点P的横坐标是m． ①将的面积用含m的式子表示出来． ②当四边形是平行四边形，且面积为10时，直接写出此时m的值． 【答案】（1），；（2）或；（3）①；②4或2 【分析】（1）先把点B的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，再求出点A坐标，最后利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据函数图象写出不等式的解集即可； （3）①先求出点C的坐标，然后再表示出的面积即可； ②根据四边形的面积为10，得出的面积为5，求出m的值即可． 解：（1）解：把代入得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）解：根据函数图象可知：当或时，反比例函数图象在一次函数的上面， ∴不等式的解集为或． （3）解：①把代入得：， 解得：， ∴点C的坐标为， ∴， ； ②∵四边形为平行四边形，面积为10， ∴， ∴， 解得：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$