11.1.2 不等式的性质 课件2024-2025学年人教版 数学七年级下册

11.1 不等式 11.1.2 不等式的性质 第十一章 不等式与不等式组 1、直接说出下列不等式的解集： 解方程需要依据等式的性质，解不等式需要依据不等式的性质. 知识回顾 （1）x+4＞10 （2）2x＜6 （3） x>6 x<3 直接得出它的解集比较困难， 因此要讨论怎样解不等式. 2、解一元一次方程的步骤有哪些？解方程的依据是什么？ 去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一. 解方程的依据是：等式的性质. 如果a=b， b=c，那么a=c. 类比等式的性质，你能猜想不等式有哪些性质吗？ 如果a=b，那么b=a. 不等式的两个基本事实. 相等关系可以传递. 等式的两边可以交换. 交换不等式两边，不等号的方向改变. （2）如果a＞b， b＞c，那么a＞c， （1）如果a＞b，那么b＜a， 探究新知 回想一下,等式有哪些性质？分别用文字语言和符号语言表示出来． 等式的性质 文字语言 符号语言 性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果a=b，那么a±c=b±c 性质2 等式两边同时乘一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果a=b，那么ac=bc 如果a=b（c≠0）， 那么 不等式有没有类似的性质？ 探究新知 探究新知 1、用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律： （1）5 > 3， ① 5 + 2 ______ 3 + 2， ② 5 + 0______ 3 + 0， ③ 5 + (-2)______ 3 + (-2)； （2）-1 < 3， ① -1 + 4 ______ 3 + 4， ② -1 + 0______ 3 + 0， ③ -1 +（-7）______ 3 + (-7). > > < < 发现：不等式两边加同一个数，不等号的方向________. 不变 > < -2 -2 -7 -7. 对于不等式两边减去同一个数的情形仍然成立. 归纳总结 不等式的性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 一般地，不等式具有如下性质： 即，如果 a ＞ b，那么 a ± c ＞ b ± c. c c 探究新知 （1）6 > 2， ① 6×5 ______ 2×5. ② 6÷5 ______ 2÷5. （2）-2 < 3， ① -2×4 ______ 3×4. ② -2÷4 ______ 3÷4. > < 发现：当不等式两边乘（或除以）同一个正数时，不等号的方向________. 不变 > < 2、用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律： 归纳总结 不等式的性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 即，如果 a ＞ b，c＞0，那么 ac ＞ bc（或 ）. 一般地，不等式具有如下性质： 探究新知 （1）6 > 2， ① 6×5 ______ 2×5. ② 6÷5 ______ 2÷5. ③6×(-5) ______ 2×(-5). ④ 6÷(-5) ______ 2÷(-5). （2）-2 < 3， ① -2×4 ______ 3×4. ② -2÷4 ______ 3÷4. ③ - 2×(-0.5) ______ 3×(-0.5). ④ -2÷(-0.5) ______ 3÷(-0.5). > < 发现：当不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向_____. 改变 > < < < > > 如果不等式两边乘0，结果又如何呢？ 2、用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律： 归纳总结 不等式的性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 即，如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc（或 ） . 一般地，不等式具有如下性质： 归纳总结 归纳总结 不等式的性质与等式的性质的不同点和相同点 类别 不同点 相同点 不等式 等式 两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变. 两边乘(或除以)同一个负数，等式仍然成立. (1)两边加(或减)同一个数(或式子)，不等式和等式仍成立； (2)两边乘(或除以)同一个正数，不等式和等式仍成立. 探究新知 不等式性质2 不等式性质3 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变. 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变. 如果 a > b，c > 0，那么 ac > bc（或 ） 如果 a > b，c < 0，那么 ac < bc（或 ） 不等式性质2和不等式性质3有什么区别？ 对于乘法（或除法）运算，不等式性质要乘（或除）的数，正负不同，结果也不同. 例题讲解 例2 已知 a＞b，比较下列两个式子的大小，并说明依据. （1）a + 3 与 a + 3 ； （2）-2a 与 -2b. 解：（1）因为 a＞b， 所以 a+3＞b+3. （不等式的性质1） （2）因为 a＞b， 所以 -2a＜-2b. （不等式的性质3） 当堂检测 2、已知p＞q，用“＞”或“＜”填空，并说明依据： 【选自教材P125 练习 第1题】 （2）p-2____q-2； （3）p+2m____q+2m； （4）-5p____-5q； （1） ____ ； （5） ____ ； （6）4p+1____4q+1. ＞ 不等式的性质1 ＞ 不等式的性质1 ＞ 不等式的性质1 ＜ 不等式的性质3 ＞ 不等式的性质2 ＞ 不等式的性质1、2 1、若实数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，则下列不等式成立的是( ) A. ab＜ac B. ac＞bc C. a＋c＞b＋c D. a＋b＜c＋b B 当堂检测 3、 已知 m＞3，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围： 【选自教材P125 练习 第2题】 （1）m+5； （3）-2m； （2） ； （4）3m-4. 解：(1)∵m＞3， ∴m+5＞3+5， 即m+5＞8. （2）∵m＞3， （3）∵m＞3， ∴-2m＜3×(-2) 即-2m＜-6. （4）∵m＞3， ∴3m＞3×3， 即3m＞9. ∴ ＞ ， 即 ＞ . ∴3m-4＞9-4， 即3m-4＞5. 4、如果关于 x 的不等式（m+1）x＞3的解集为 ， 求 m 的取值范围. 解：由题意，可得 m +1＜0. 由不等式的性质1，可得 m+1-1＜0-1， 所以 m＜-1. 当堂检测 拓展提升 1、有P,Q,R,S四个人去公园玩跷跷板,依据下面的示意图,判断这四个人中最重的是　 　.  R 2、若点P(1-m,m)在第一象限,则(m-1)x>1-m的解集为_________. 　x<-1　 【解析】因为点P(1-m,m)在第一象限，所以1-m>0，即m-1<0, 因为不等式(m-1)x>1-m，所以(m-1)x>-(m-1)，不等式两边同时除以(m-1)，得x<-1. 不等式的基本性质 不等式的性质1 不等式的性质2 不等式的性质3 如果 a＞b， 那么a ± c > b ± c. 如果 a＞b，c ＞ 0， 那么 ac > bc.（或 ） 如果 a＞b， c ＜ 0， 那么 ac < bc.（或 ） 课堂小结 $$