专题11 直线与圆方程讲义——2026届高三数学一轮复习

专题10 直线与圆方程 一、学习目标（100%） 1、​掌握直线倾斜角与斜率的定义，会用两点坐标计算斜率； 2、理解直线方程的5种形式：​点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，并能根据条件灵活选用； 3、掌握两直线平行或垂直的斜率判定条件； ​4、熟练运用两点间距离公式、点到直线距离公式、平行线间距离公式​； 5、能通过解方程组求两直线的交点坐标； 6、掌握圆的标准方程 (x−a) 2 +(y−b) 2 =r 2 和一般方程 x 2 +y 2+Dx+Ey+F=0，并能根据条件确定圆心和半径理解点与圆的位置关系：通过点到圆心的距离与半径比较判断​直线与圆的位置关系；​ 7、掌握三种位置关系（相交、相切、相离）的判定方法：​几何法（比较圆心到直线的距离 d 与半径 r）、​代数法（联立方程后通过判别式 Δ 判断）； 8、能解决弦长、切线方程、切点弦等综合问题，例如利用垂径定理或代数法求弦长； ​9、根据圆心距与半径和/差的关系判断两圆位置（外离、外切、相交、内切、内含） 二、课前热身（20%） 1. 在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于(　　) A.2　　　 B.1　　　 C.　　　 D. 2. 设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=(　　) A.2　　　 B.8　　　 C.4　　　 D.10 4. 设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是(　　) A.[,2]　　　　　B.[,2] C.[,4]　　　　　D.[2,4] 5. 一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为　　 　　.  三、知识梳理 考点一： 直线方程 1.直线的倾斜角与斜率 1、一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率().斜率通常用小写字母表示，记为. 2、直线的倾斜角的取值范围是为 3、已知直线上两点，直线的斜率 2.直线的方程 1、直线的点斜式方程：已知直线经过点，且斜率为，则方程为直线的点斜式方程. 2、直线的斜截式方程：直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距（）.直线叫做直线的斜截式方程. 3、直线的两点式方程：已知直线上两点，则通过这两点的直线方程为：. 4、直线的截距式方程：已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，则直线的方程为：. 5、直线方程的一般式：关于的二元一次方程叫做直线的一般式方程，简称一般式． 3.两直线的位置关系 1、两直线平行的斜率关系：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即. 2、两直线垂直的斜率关系：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即 【即时演练】（30%） 对点训练：1. 已知点，且,则直线的倾斜角为____________. 变式1 (1)过点且倾斜角等于直线的倾斜角的2倍的直线方程是________. (2)过点且倾斜角等于直线的倾斜角的一半的直线方程是________. 对点训练：2. 求满足下列条件的直线方程： (1)经过点且与直线平行； (2)经过点且与直线垂直； (3)经过点且在两坐标轴上截距相等； (4)经过点且与点、距离相等； 变式2：若直线与直线，则： （1）相交时， _________； （2）时，=__________；这时它们之间的距离是________； （3）时，=_________ . 考点二： 直线方程的应用 4、距离关系 1、平面上两点间的距离公式：已知平面上两点，则 .特殊地：与原点的距离为. 2、点到直线的距离为： 3、已知两条平行线直线，则的距离为. 5、直线系方程的定义 具有某一个共同性质的直线的集合叫做直线系，它的方程叫做直线系方程。 1、过定点的直线系方程是：（是参数，直线系中未包括直线），也就是平常所提到的直线的点斜式方程； 2、平行于已经直线的直线系方程是：（是参数）； 3、垂直于已经直线的直线系方程是：（是参数）； 4、过两条已知直线：和：的交点的直线系方程是：（是参数，当时，方程变为，恰好表示直线；当时，方程表示过直线和的交点，但不含直线和的任一条直线）。 【即时演练】（45%） 对点训练：3. （1）求证：不论为何值，直线恒过定点； （2）过定点作一条直线，使夹在两坐标轴之间的线段被点平分，求的方程； （3）过定点作一条直线，使它在两条坐标轴正半轴上的截距的和最小，求截距和的最小值以及此时直线的方程. （4）若直线过点，且与分别交于两点，求面积的最小值以及此时直线的方程. 变式3：求过直线与的交点，且和、等距离的直线方程。 对点训练：4.已知点,直线将分割为面积相等的两部分，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 变式4： 若直线与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，（1）求实数的值. （2）求此四边形面积的范围。 考点三： 圆方程及其与直线的关系 1、圆的方程： 标准式：圆心在点，半径为的圆的标准方程为； 一般式：圆的一般式方程为（） 2、点与圆的位置关系： 点与圆的关系的判断方法： （1），点在圆外； （2），点在圆上； （3），点在圆内. 3、直线与圆的位置关系 几何法：设直线的方程为，圆的方程为 （），圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： ⑴当时，直线与圆相离； ⑵当时，直线与圆相切； ⑶当时，直线与圆相交； 代数法：如果直线的方程为，圆的方程为，将直线方程代入圆的方程，消去得到的一元二次方程式，那么： ⑴当时，方程没有实数解，直线与圆没有公共点，直线与圆相离； ⑵当时，方程有一组实数解，直线与圆有且只有一个公共点，直线与圆相切； ⑶当时，方程有两组实数解，直线与圆有两个不同的公共点，直线与圆相交； 【即时演练】（60%） 对点训练： 4. 已知圆C的圆心为(2,-3),且过点(0,0),则圆C的方程为(　　) A.(x+2)2+(y-3)2=5 B.(x-2)2+(y+3)2=5 C.(x+2)2+(y-3)2=13 D.(x-2)2+(y+3)2=13 变式4、圆C是以直线l:(2m+1)x+(m+1)y+2m=0所过的定点为圆心,4为半径,则圆C的方程为(　　) A.(x+2)2+(y-2)2=16　　　　　　B.(x-2)2+(y-2)2=16 C.(x-2)2+(y+2)2=16　　　　　　D.(x+2)2+(y+2)2=16 对点训练： 5.过直线x-y-m=0上一点P作圆M:(x-2)2+(y-3)2=1的两条切线,切点分别为A,B,若使得四边形PAMB的面积为的点P有两个,则实数m的取值范围为(　　) A.(-5,3)　　　　　　B.(-3,5) C.(-∞,-5)∪(3,+∞)　　　　　　D.(-∞,-3)∪(5,+∞) 变式5、(多选)已知直线l:kx-y-2k+1=0(k<0)与x轴、y轴分别交于点A,B,O为坐标原点,点P(2,1),则下列命题中正确的是(　　) A.使三角形AOB的面积为4的直线l恰有两条 B.|OA|+|OB|的最小值为3+2 C.以AB为直径的圆一定过原点O D.当k=-1时,|PA|·|PB|取得最小值4 四、课堂综合检验（80%） 1. 已知A(-,0),C(0,3),则△ABC外接圆的方程为(　　) A.(x-1)2+y2=2 B.(x-1)2+y2=4 C.x2+(y-1)2=2 D.x2+(y-1)2=4 2. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC,点B(-1,1),点C(3,5),过其“欧拉线”上一点Р作圆O:x2+y2=4的两条切线,切点分别为M,N,则|MN|的最小值为(　　) A. 3. 已知M是圆C:x2+y2=1上一个动点,且直线l1:mx-ny-3m+n=0与直线l2:nx+my-3m-n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交于点P,则|PM|的取值范围是(　　) A.[+1]　　　　　　B.[+1] C.[+1]　　　　　　D.[+1] 4. 在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴上,点B在y轴上,|AB|=2,点C满足AC⊥BC,则点C到点P(,1)的距离的最大值为(　　) A.3　　　　　B.　　　　　C.5　　　　　D.4 答案：1. D 2. B 3. B 4. D 五、课后作业（100%） 跟踪训练1：若l1:3x-my-1=0与l2:3(m+2)x-3y+1=0是两条不同的直线,则“m=1”是“l1∥l2”的(　　) A.充分不必要条件　　　　　　B.必要不充分条件 C.充分必要条件　　　　　　 D.既不充分也不必要条件 答案：C　【解析】当m=1时,l1:3x-y-1=0,l2:9x-3y+1=0,≠,所以l1∥l2,充分性成立;若l1∥l2,则≠,解得m=1,必要性成立.故选C. 跟踪训练2： 已知点A(1,2)在圆C:x2+y2+mx-2y+2=0外,则实数m的取值范围为(　　) A.(-3,-2)∪(2,+∞)　　　　　　B.(-3,-2)∪(3,+∞) C.(-2,+∞)　　　　　　 D.(-3,+∞) 答案　A　【解析】圆C的方程可化为-1, ∴-1>0,∴m<-2或m>2. 又∵点A(1,2)在圆C外, ∴-1,解得m>-3, ∴-3<m<-2或m>2. 故选A. 跟踪训练3： 若a,b为实数,圆O1:(x+a)2+y2=4和圆O2:x2+(y-b)2=1有三条公切线,则|a|+|b|的最大值为(　　) A.3　　　　　　B.3　　　　　　C.2　　　　　　D.6 答案　A　【解析】易得圆O1的圆心为(-a,0),半径r1=2,圆O2的圆心为(0,b),半径r2=1. ∵两圆恰有三条公切线,∴两圆外切, ∴|O1O2|=r1+r2=3,即=3, ∴a2+b2=|a|2+|b|2=9, ∴(|a|+|b|)2≤2(|a|2+|b|2)=18, ∴|a|+|b|≤3时取等号. 故选A. 跟踪训练4： (多选)瑞士数学家欧拉在所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(-4,0),B(0,4),其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标可以是(　　) A.(2,0)　　　　　　B.(0,2)　　　　　　C.(-2,0)　　　　　　D.(0,-2) 答案　AD　【解析】设C(a,b),△ABC的外心为M.易知AB的垂直平分线为y=-x,△ABC的外心M为欧拉线x-y+2=0与直线y=-x的交点,易知M(-1,1),∴|MC|=|MA|=,∴△ABC的外接圆方程为(x+1)2+(y-1)2=10,∵点C在△ABC的外接圆上,∴(a+1)2+(b-1)2=10①,由A(-4,0),B(0,4),C(a,b),可知△ABC的重心为,代入欧拉线方程x-y+2=0,得a-b-2=0②,联立①②解得a=2,b=0或a=0,b=-2.∴顶点C的坐标可以是(2,0)或(0,-2). 故选AD. 跟踪训练5： 若点P为直线x-y+4=0上的一个动点,从点P引圆C:x2+y2=2的两条切线PM,PN (M,N为切点), 则直线MN恒过定点E的坐标为　　　　.  答案　 【解析】　设P(x0,x0+4),M(x1,y1),N(x2,y2),则过点M的切线方程为xx1+yy1=2,证明如下: 若过点M的切线斜率存在,则切线的斜率k=-, 故切线方程为y-y1=-(x-x1),即x1x+y1y=+, 又点M在圆x2+y2=2上,∴+=2,则过点M的切线方程为x1x+y1y=2; 若过点M的斜率不存在,则M的坐标为(-,也满足x1x+y1y=2. 综上所述,过点M的切线方程为x1x+y1y=2. 同理可得,过点N的切线方程为x2x+y2y=2. ∵两切线均过点P, ∴x0x1+(x0+4)y1=2,x0x2+(x0+4)y2=2, 故直线MN的方程为x0x+(x0+4)y=2,即x0(x+y)+4y=2,联立 则直线MN恒过定点E. 学科网（北京）股份有限公司 $$