第6讲 空间向量证明线面、面面平行和垂直讲义-2025届高三数学一轮复习

第6讲 空间向量证明线面、面面平行和垂直 一、线面位置关系的证明 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量； 与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. 平面的法向量 (2) 若向量所在直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作⊥a,向量叫做平面α的法向量. (3)平面的法向量的求法(待定系数法) ①建立适当的坐标系； ②设平面α的法向量为=(x,y,z); ③求出平面内两个不共线向量的坐标=(a₁,a₂,a₃),=(b₁,b₂,b₃); ④根据法向量定义建立方程组 ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量. 2.判定空间中的平行关系 (1)线线平行 设直线,的方向向量分别是,,则要证明//,只需证明//,即(k∈R). (2)线面平行 设直线的方向向量是,平面α的法向量是，则要证明//α, 只需证明⊥，即·=0. (3) 面面平行 若平面α的法向量为，平面β的法向量为,要证a//β,只需证,即证 3.判定空间的垂直关系 (1)线线垂直： 设直线,的方向向量分别是a,6,则要证明,只需证明⊥,即·=0. (2)线面垂直 ①(法一)设直线的方向向量是a,平面α的法向量是元，则要证明⊥ɑ,只需证明,即 ②(法二)设直线的方向向量是a,平面α内的两个相交向量分别为,， 若,则⊥a. (3)面面垂直 若平面α的法向量为,平面β的法向量为，要证α⊥β,只需证⊥,即证·=0. 题型一 ：向量法证明线线平行 【例1】在空间直角坐标系中，已知 A（1,2,3） ，B（-2,-1,6） ，C（3,2,1） ，D（4,3,0） ，则直线 AB 与 CD 的位置关系是 ( ) A.异面 B. 平行 C. 垂直 D. 相交但不垂直 【变式训练】 1.已知空间中两条不同的直线 m，n，其方向向量分别为,,，则 “,,共线”是“直线 m，n平行”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.已知两不重合直线和的方向向量分别为 =（1,0,-1） ，=（-2,0,2） ，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不确定 3.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是 BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是 （ ） A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直 C.MN与BD平行 D. MN与A1B1平行 二 ：向量法证明直线和平面平行 【例2】如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC = AA1= 2，AD=CD =，且点M，N分别为B1C和D1D的中点，求证：MN//平面 ABCD 【变式训练】 1. 如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，F，G 分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面 ABCD， 试用向量方法证明 AP ∥平面 EFG． 2.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD为矩形，OA⊥底面ABCD，OA=2，AD=2AB=2，M为OA的中点，N为BC的中点，求证：直线 MN//平面 OCD． 3.如图，正四棱锥P-ABCD的高为6，AB=，且M是棱PC上更靠近C的三等分点． (1) 证明：BD⊥PC； (2) 若在棱PB上存在一点N，使得AN//平面BDM，求BN的长度． 题型三 ：向量法证明平面和平面平行 【例3】如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G 分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面 EFG//平面 PBC． 【变式训练】 1.如图，已知在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，M，N，P 分别是 AD1，BD，B1C 的中点．证明： (1)MN//平面 CC1D1D； (2) 平面 MNP//平面 CC1D1D． 2. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2． (1) 求证：平面 A1C1B//平面 ACD1． (2) 线段 B1C 上是否存在点 P，使得 A1P//平面 ACD1？若存在，求出点 P 的位置；若不存在，请说明理由． 题型四 ：向量法证明线线垂直 【例4】如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，M、N分别为所在棱的中点，则满足MN⊥的是 ( ) A B C D 【变式训练】 1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，下列关系正确的是 ( ) A. A1D1⊥B1C B. A1D⊥BD C. AC1⊥CD1 D. AC1⊥A1C 2.如图，在多面体P-ABCD中，∠ABC = 90°，△DAB，△DBC 都是等边三角形，AC=2，PB=，PB⊥平面 ABC，M为PC的中点．证明：BM⊥AD 3.斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为4，∠A1AB = 60°，点A1在下底面ABC的投影为AB的中点O．在棱BB1(含端点) 上是否存在一点D使A1D⊥AC1？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由； 题型五：向量法证明直线和平面垂直 【例5】 已知正三棱台ABC-A1B1C1中，AA1=1，BC=2B1C1=2，D、E分别AA1、B1C1的中点． (1) 求该正三棱台的表面积； (2) 求证：DE⊥平面 BCC1B1 【变式训练】 1.已知正方体ABCD - A1B1C1D1 的棱长为1，M、N、P分别是棱CC1、BC、CD的中点，求证：A1P⊥平面DMN． 2.如图，已知直三棱柱ABC-FGE，AC=BC=4，AC⊥BC，O为BC的中点，D为侧棱BG上一点，且BD =BG，三棱柱ABC-FGE的体积为32．过点 O 作 OQ ⊥DE，垂足为点 Q， 求证：BQ⊥平面ACQ； 3.已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1，E在棱DD1上运动，F在线段B1D1上运动，直线DF与平面ACE交于点G． (1) 当E，F为中点时，证明：DF⊥平面ACE； (2) 若DF⊥平面ACE，求的最大值及此时DE的长． 题型六：向量法证明平面和平面垂直 【例6】如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD 的中点．求证：平面PCD⊥平面PAD． 【变式训练】 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3． E为PD的中点，点 F在PC上，且。求证：平面AEF⊥平面PCD． 2.在 △ABC 中，B，AB=2BC=4，点 D、E 分别为边AC、AB的中点，将△AED沿DE折起，使得平面 AED⊥平面 BCDE． (1) 求证：DC⊥AE； (2) 在平面ACD内是否存在点M，使得平面AEM ⊥平面 ABD？若存在，指出点M的位置；若不存在，说明理由． 3. 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，若 AD=2，AF = AB = BC =FE=1． (1) 求五面体ABCDEF的体积； (2) 若M为EC的中点，求证：平面CDE⊥平面AMD． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$