4.3 探索三角形全等的条件课时3 用“边角边”判定三角形全等　课件　2024—2025学年北师大版数学七年级下册

第四章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件 课时3 用“边角边”判定三角形全等 1.理解并掌握三角形全等判定“边角边”条件的内容.（重点） 2.熟练利用“边角边”条件证明两个三角形全等.（难点） 3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力. 学习目标 新课讲解 知识点1 全等形的判定2 判定2：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或者“SAS”）. 符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中， AB=A′B′， ∠B=∠B′， BC=B′C′， ∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）. 新课讲解 例 1 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC并延长到点E，使得CE=CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么？ 典例分析 如图所示，通过连线构成了△CAB和△CDE，能够证明△CAB≌△CDE，就能说明DE的长就是A，B的距离. 新课讲解 解：由题可知，∠ACB=∠DCE（对顶角相等）. 在△CAB和△CDE中， CA=CD， ∠ACB=∠DCE， CB=CE， ∴△CAB≌△CDE（SAS）. ∴AB=DE，即DE的长就是A，B的距离. 新课讲解 如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地.此时C，D到B的距离相等吗？为什么？ 解：C，D到B的距离相等. ∵AB是南北方向，CD是东西方向， ∴∠BAD=∠BAC=90°. 在△BAD和△BAC中， AD=AC， ∠BAD=∠BAC， BA=BA， ∴△BAD≌△BAC（SAS），∴BD=BC. A D B C 练一练 新课讲解 思考 先画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使得AB=A′B′，∠B=∠B′，AC=A′C′（即两边及其中一边的对角分别相等），此时的△ABC和△A′B′C′全等吗？ 结论：两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 新课讲解 结 论 （1）一定牢记“边边角”不能判定两个三角形全等，只有两边及其夹角分别相等才能判定两个三角形全等. （2）在已知的两个三角形中，有两条边对应相等，一般要根据题意去找第三条边对应相等（“SSS”），或者去找这两组边的夹角对应相等（“SAS”）. 新课讲解 练一练 如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD.求证：△ABC≌△ADC. 证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC. 在△ABC和△ADC中， AB=AD， ∠BAC=∠DAC， AC=AC， ∴△ABC≌△ADC（SAS）. 课堂小结 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 SAS 应用 利用“SAS”解决实际问题 分类探讨 两边及其夹角分别相等 两边及其中一边的对角分别相等 三角形全等的判定 当堂小练 如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：∠A=∠D. 证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+FE，即BF=CE. 在△ABF和△DCE中， AB=DC， ∠B=∠C， BF=CE， ∴△ABF≌△DCE（SAS）. ∴∠A=∠D. B D F E A C 当堂小练 如图，AB=AC，利用“SAS”判定△ADC≌△AEB，需要添加什么条件，请证明你的结论. 由题可知：∠A=∠A，AB=AC， 利用“SAS”判定， 需要∠A的另一对应边相等，也即是AD=AE. 在△ADC和△AEB中， AC=AB， ∠A=∠A， AD=AE， ∴ △ADC≌△AEB（SAS）. 解： 当堂小练 如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB//DE，AB=DE，AF=DC. 求证：BC//EF. 证明： ∵ AB//DE， ∴∠A=∠D. ∵AF=DC， ∴ AF+FC=DC+CF. 即AC=DF. 在△ABC和△DEF中， AB=DE， ∠A=∠D， AC=DF， ∴ △ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，BC//EF. B A D E C F D 拓展与延伸 解： DE=BF，DE//BF. 在△ADC和△CBA中， CD=AB， DA=BC， AC=CA， ∴ △ADC≌△CBA（SSS）. ∴∠DAC=∠BCA. 如图，已知AB=CD，BC=DA，E、F是AC上的两点，且AE=CF，写出DE和BF之间的关系，并证明你的结论. 判定：两边及其　 　分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“　 　”）.  几何语言：在△ABC与△A'B'C'中， 所以△ABC≌　 　（　 　）.  知识点 1 三角形全等的条件（SAS） 夹角 SAS △A'B'C' SAS 1.（1）如图，下列各选项中与△ABC一定全等的三角形是（ ） （2）（人教8上P41改编）如图，AB平分∠DAC，要用SAS确定△ABC≌△ABD，还需要添加的 一个条件是　 　.  B AC=AD 例：如图，AD=AE，AB=AC，则欲说明 ∠B=∠C，可先说明　 　 ≌ 　 　， 其根据是　 　.    技巧：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角. 知识点 2 SAS的应用 △ABE △ACD SAS 2.如图，线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE，试说明：△ABE≌△DCE. 解：在△ABE和△DCE中，， 所以△ABE≌△DCE（SAS）. （1）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“SAS”来作图.  （2）作图方法有两种： ①先作角，再截取两边； ②先作一边（作一边等于已知线段），然后作角，最后再截取另一边. 知识点 3 根据“SAS”作三角形 4.【例1】如图，点B，F，C，E在同一直线上，∠1=∠2，BF=EC，要使△ABC≌△DEF，还需添加的一个条件是　 　（只需写出一个即可）.  AC=DF（答案不唯一） 5.【例2】（2024云南）如图，在△ABC和△AED中，AB=AE，∠BAE=∠CAD，AC=AD.试说明：△ABC ≌ △AED. 解：因为∠BAE=∠CAD， 所以∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC， 即∠BAC=∠EAD， 在△ABC和△AED中, ， 所以△ABC≌△AED（SAS）. 6.【例3】（2024佛山期末）如图，已知△ABC. （1）请根据“SAS”作△BCD，使△DCB ≌ △ABC，其中点D在BC右 侧，且DC=AB（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写出作法）； （2）若∠ACB=60°，∠CAB=45°，则∠ACD=　 　.  解：（1）如图，△BCD即为所求. 135° 答案图 7.（2024汕头期末）如图，BC=EF，AC∥DF，请你添加一个适当的条件是　 　（只需填一个答案即可），使得△ABC≌△DEF.  AC=DF（答案不唯一） 8.（2024乐山）如图，AB平分∠CAD，AC=AD.试说明：∠C=∠D. 解：因为AB平分∠CAD， 所以∠CAB=∠DAB， 在△CAB和△DAB中， ， 所以△CAB≌△DAB（SAS）， 所以∠C=∠D. 9.（人教8上P55）如图，CA=CD，∠1=∠2，BC=EC. （1）试说明：AB=DE； （2）若∠A=21°，∠E=39°，则∠ACB=　 　.  解：（1）因为∠1=∠2， 所以∠1+∠ACE=∠2+∠ACE，即∠ACB=∠DCE， 在△ABC和△DEC中， ， 所以△ABC≌△DEC（SAS）.所以AB=DE. 120° ★10. 0.40如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，请说明：PM=PN. 解：因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△CBD中，， 所以△ABD ≌ △CBD（SAS）， 所以∠ADB=∠CDB，所以∠MDP=∠NDP. 因为PM⊥AD，PN⊥CD， 所以∠PMD=∠PND=90°， 又因为PD=PD，所以△PDM ≌ △PDN（AAS）， 所以PM=PN. 布置作业 请完成课本P22-P23对应习题 $$