第二章 §2.3　函数的奇偶性（新高考通用）-2026年高考数学一轮备考·学霸专练

第二章函数 §2.3　函数的奇偶性 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 函数的奇偶性及其应用 2024·天津卷、2024·上海卷、 2023·全国甲卷2023·全国乙卷、 2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷、 2021·全国甲卷、2021·全国新Ⅱ卷、 2021·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷 了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，能综合运用函数的奇偶性解决相关问题. 【知识梳理】 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 【随堂训练】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)为奇函数,则f(0)＝0.(　 　) (2)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数.(　 　) (3)对于函数y＝f(x),若f(－2)＝－f(2),则函数y＝f(x)是奇函数.(　 　) (4)若f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(x)·g(x)是奇函数.(　 　) 2.下列函数中是偶函数的是(　　) A.y＝2x B.y＝cos x C.y＝ln x D.y＝sin x 3.(多选)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列结论正确的是(　　) A.f(x)＋f(－x)＝0 B.f(0)＝0 C.f(x)·f(－x)≤0 D.＝－1 4.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)＝2x＋b,则f(－1)＝　　　　　　.  【名师点拨】 1.理解函数奇偶性的常用结论 (1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)＝0. ②如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 2.灵活应用奇函数的两个特殊性质 (1)若f(x)为奇函数,则f(x)＋f(－x)＝0.特别地,若f(x)存在最值,则f(x)min＋f(x)max＝0. (2)若F(x)＝f(x)＋c,f(x)为奇函数,则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地,若F(x)存在最值,则F(x)min＋F(x)max＝2c. 3.谨防两个易误点 (1)求奇函数的解析式时,忽略x＝0会造成解析式缺失,特别地,奇函数要么在x＝0处没有定义,要么在x＝0处的函数值为0,即f(0)＝0. (2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时,不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件. 【必练核心题型】 题型一　函数奇偶性的判断 命题点1　常见函数奇偶性的判断 例1.(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A.f(x)＝tan x B.f(x)＝x2＋x C.f(x)＝ D.f(x)＝ln|1＋x| 命题点2　抽象函数奇偶性的判断 例2.(多选)已知f(x)是定义在R上的函数,下列结论正确的有(　　) A.若恒有f(x2)＝－f(－x2),则f(x)是奇函数 B.若恒有2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y),且f(0)≠0,则y＝f(x)为奇函数 C.若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y),则f(x)为偶函数 D.若恒有f(xy)＝yf(x)＋xf(y),则f(x)是奇函数 命题点3　构造函数的奇偶性 例3.已知函数f(x)＝x＋ln(－x)－5(x∈[－2 026,2 026])的最大值为M,最小值为m,则M＋m＝　　　　　　.  【变式训练】 变式1.(多选)(2025·郑州模拟)已知函数f(x)满足f(1)＝1,f(x＋y)＝则下列结论正确的是(　　) A.f(0)＝0 B.f(－x)＝－f(x) C.f(x)的定义域为R D.f(x＋2)＝－ 变式2.已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2,则函数f(x)＋2为　　　　函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)  题型二　函数的奇偶性的应用 命题点1　利用奇偶性求值(解析式) 例1.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x∈(－∞,0]时,f(x)＝x2－ex＋1,则当x∈(0,＋∞)时,f(x)等于(　　) A.x2－ex＋1 B.x2－e－x＋1 C.x2＋e－x＋1 D.－x2＋e－x－1 例2.若函数y＝(2x－m·2－x)x5是R上的偶函数,则实数m＝　　　　　　.  命题点2　利用奇偶性解不等式 例1.设函数f(x)＝ln(x2＋1)－则满足f(x)>f(2x＋1)的x的取值范围为　　　　　　　　　　.  【变式训练】 变式1.(2023·新高考全国Ⅱ)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数,则a等于(　　) A.－1 B.0 C. D.1 变式2.已知函数f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)＝2x－则f(x)<0的解集为(　　) A.(－3,0)∪(0,3) B.(－3,3) C.(－∞,－3)∪(0,3) D.(－∞,－3)∪(3,＋∞) 变式3.(2025·泰州模拟)已知函数f(x)＝是定义在R上的奇函数,则实数a等于(　　) A.－1 B.0 C. D.1 变式4.已知函数f(x)＝x＋asin x＋2,且f(m)＝5,则f(－m)等于(　　) A.－5 B.－3 C.－1 D.3 变式5.(2025·安徽皖南八校模拟)已知函数f(x)的定义域为R,y＝f(x)＋ex是偶函数,y＝f(x)－3ex是奇函数,则f(ln 3)的值为(　　) A. B.3 C. D. 变式6.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y),当x<0时,f(x)>0,则函数f(x)满足(　　) A.f(0)＝0 B.y＝f(x)为偶函数 C.f(x)在R上单调递增 D.f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集为{x|－2<x<1} 变式7.已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)＝x2－2x. (1)求f(x)的解析式； (2)求不等式xf(x)≥0的解集. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章函数 §2.3　函数的奇偶性 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 函数的奇偶性及其应用 2024·天津卷、2024·上海卷、 2023·全国甲卷2023·全国乙卷、 2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷、 2021·全国甲卷、2021·全国新Ⅱ卷、 2021·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷 了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，能综合运用函数的奇偶性解决相关问题. 【知识梳理】 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 【随堂训练】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)为奇函数,则f(0)＝0.(　 　) (2)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数.(　 　) (3)对于函数y＝f(x),若f(－2)＝－f(2),则函数y＝f(x)是奇函数.(　 　) (4)若f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(x)·g(x)是奇函数.(　 　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.下列函数中是偶函数的是(　　) A.y＝2x B.y＝cos x C.y＝ln x D.y＝sin x 【答案】B 【解析】对于A,y＝2x为定义域内的增函数,故为非奇非偶函数； 对于B,y＝cos x的定义域为全体实数,且f(－x)＝cos(－x)＝cos x＝f(x),故为偶函数； 对于C,y＝ln x的定义域为(0,＋∞),不关于原点对称,故为非奇非偶函数； 对于D,y＝sin x的定义域为全体实数,但是f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝－f(x),故为奇函数. 3.(多选)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列结论正确的是(　　) A.f(x)＋f(－x)＝0 B.f(0)＝0 C.f(x)·f(－x)≤0 D.＝－1 【答案】ABC 【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)＋f(－x)＝0,且f(0)＝0,A,B正确； 因为f(－x)＝－f(x),所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0,当x＝0时,等号成立,C正确； 当x＝0时,f(－x)＝0,此时无意义,D错误. 4.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)＝2x＋b,则f(－1)＝　　　　　　.  【答案】－2 【解析】f(x)是奇函数,则f(0)＝b＝0,即当x≥0时,f(x)＝2x,所以f(1)＝2,从而f(－1)＝－f(1)＝－2. 【名师点拨】 1.理解函数奇偶性的常用结论 (1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)＝0. ②如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 2.灵活应用奇函数的两个特殊性质 (1)若f(x)为奇函数,则f(x)＋f(－x)＝0.特别地,若f(x)存在最值,则f(x)min＋f(x)max＝0. (2)若F(x)＝f(x)＋c,f(x)为奇函数,则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地,若F(x)存在最值,则F(x)min＋F(x)max＝2c. 3.谨防两个易误点 (1)求奇函数的解析式时,忽略x＝0会造成解析式缺失,特别地,奇函数要么在x＝0处没有定义,要么在x＝0处的函数值为0,即f(0)＝0. (2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时,不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件. 【必练核心题型】 题型一　函数奇偶性的判断 命题点1　常见函数奇偶性的判断 例1.(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A.f(x)＝tan x B.f(x)＝x2＋x C.f(x)＝ D.f(x)＝ln|1＋x| 【答案】AC 【解析】对于A,函数的定义域为关于原点对称,且f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x),故函数为奇函数,符合题意； 对于B,函数的定义域为R,关于原点对称,且f(－x)＝x2－x≠±f(x),故函数为非奇非偶函数,不符合题意； 对于C,函数的定义域为R,关于原点对称,且f(－x)＝＝－f(x),故函数为奇函数,符合题意； 对于D,函数的定义域为{x|x≠－1},不关于原点对称,故函数为非奇非偶函数,不符合题意. 命题点2　抽象函数奇偶性的判断 例2.(多选)已知f(x)是定义在R上的函数,下列结论正确的有(　　) A.若恒有f(x2)＝－f(－x2),则f(x)是奇函数 B.若恒有2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y),且f(0)≠0,则y＝f(x)为奇函数 C.若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y),则f(x)为偶函数 D.若恒有f(xy)＝yf(x)＋xf(y),则f(x)是奇函数 【答案】AD 【解析】对于A,若∀t∈R, 当t>0时,令t＝x2,因为f(x2)＝－f(－x2), 所以f(t)＝－f(－t),即f(－t)＝－f(t)； 当t＝0时,令t＝x2＝0, 因为f(x2)＝－f(－x2), 所以f(0)＝－f(－0),即f(0)＝0； 当t<0时,令t＝－x2, 因为f(x2)＝－f(－x2), 所以f(－t)＝－f(t), 综上,∀t∈R,f(－t)＝－f(t), 所以f(x)是奇函数,故A正确； 对于B,在2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)中,令x＝y＝0,得2[f(0)]2＝2f(0), 因为f(0)≠0,所以f(0)＝1,显然不符合f(－x)＝－f(x),故B错误； 对于C,令x＝y＝0,则f(0)＋f(0)＝f(0), 所以f(0)＝0, 令y＝－x,则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0, 所以f(－x)＝－f(x), 即f(x)为奇函数,故C错误； 对于D,对任意x,y∈R,总有f(xy)＝yf(x)＋xf(y), 令x＝y＝0得f(0)＝0； 令x＝y＝1得f(1)＝f(1)＋f(1),所以f(1)＝0； 令x＝y＝－1得f(1)＝－f(－1)－f(－1),所以f(－1)＝0； 令y＝－1得f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x),所以f(x)是奇函数,故D正确. 命题点3　构造函数的奇偶性 例3.已知函数f(x)＝x＋ln(－x)－5(x∈[－2 026,2 026])的最大值为M,最小值为m,则M＋m＝　　　　　　.  【答案】－10 【解析】设g(x)＝f(x)＋5＝x＋ln(－x), 则g(x)的定义域为[－2 026,2 026], 则g(x)＋g(－x)＝x＋ln(－x)－x＋ln(＋x)＝ln[(－x)(＋x)]＝ln 1＝0, ∴g(－x)＝－g(x),即g(x)是奇函数, 因此g(x)min＋g(x)max＝0. 又g(x)min＝f(x)min＋5＝m＋5, g(x)max＝f(x)max＋5＝M＋5, ∴g(x)min＋g(x)max＝m＋5＋M＋5＝0, 即M＋m＝－10. 【解题技巧】判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称,否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立. 【变式训练】 变式1.(多选)(2025·郑州模拟)已知函数f(x)满足f(1)＝1,f(x＋y)＝则下列结论正确的是(　　) A.f(0)＝0 B.f(－x)＝－f(x) C.f(x)的定义域为R D.f(x＋2)＝－ 【答案】ABD 【解析】令x＝1,y＝0,则f(1)＝ 即1＝∴f(0)＝0,A正确； 令x＝y＝1,则f(2)＝无意义, 即f(x)的定义域不为R,C错误； 由f(x＋y)＝可知f(x)f(y)≠1, 令y＝－x,则f(0)＝＝0, 即f(x)＋f(－x)＝0, 故f(－x)＝－f(x),B正确； f(x＋1)＝f(x＋2)＝＝－D正确. 变式2.已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2,则函数f(x)＋2为　　　　函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)  【答案】奇 【解析】由题意得函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称, 令x＝y＝0,则f(0)＝f(0)＋f(0)＋2,故f(0)＝－2. 令y＝－x,则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2, 故f(x)＋2＝－f(－x)－2＝－[f(－x)＋2]. 故f(x)＋2为奇函数. 题型二　函数的奇偶性的应用 命题点1　利用奇偶性求值(解析式) 例1.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x∈(－∞,0]时,f(x)＝x2－ex＋1,则当x∈(0,＋∞)时,f(x)等于(　　) A.x2－ex＋1 B.x2－e－x＋1 C.x2＋e－x＋1 D.－x2＋e－x－1 【答案】B 【解析】当x∈(0,＋∞)时,－x∈(－∞,0), 则f(－x)＝(－x)2－e－x＋1＝x2－e－x＋1, 又f(x)为偶函数,故f(－x)＝f(x), 故f(x)＝x2－e－x＋1. 例2.若函数y＝(2x－m·2－x)x5是R上的偶函数,则实数m＝　　　　　　.  【答案】1 【解析】设f(x)＝(2x－m·2－x)x5, 则该函数为R上的偶函数, 则对任意的x∈R,f(－x)＝f(x), 即(2－x－m·2x)·(－x)5＝(2x－m·2－x)·x5, 整理可得2－x＋2x－m(2x＋2－x)＝(1－m)(2x＋2－x)＝0, 所以1－m＝0,解得m＝1. 命题点2　利用奇偶性解不等式 例1.设函数f(x)＝ln(x2＋1)－则满足f(x)>f(2x＋1)的x的取值范围为　　　　　　　　　　.  【答案】∪ 【解析】f(x)＝ln(x2＋1)－ 则f(x)的定义域为{x|x≠0}, 又f(x)＝f(－x),故f(x)为偶函数, 当x>0时,f(x)＝ln(x2＋1)－ 又y1＝ln(x2＋1),y2＝－在(0,＋∞)上都单调递增,故f(x)在(0,＋∞)上单调递增,在(－∞,0)上单调递减. 因为f(x)>f(2x＋1),所以 故x的取值范围为∪. 【解题技巧】 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值. (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象,结合几何直观求解相关问题. 【变式训练】 变式1.(2023·新高考全国Ⅱ)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数,则a等于(　　) A.－1 B.0 C. D.1 【答案】B 【解析】方法一　因为f(x)为偶函数, 则 f(1)＝f(－1), 即(1＋a)ln＝(－1＋a)ln 3,解得a＝0. 当a＝0时,f(x)＝xln. 由(2x－1)(2x＋1)>0,解得x>或x<－ 则其定义域为关于原点对称. f(－x)＝(－x)ln＝(－x)ln＝(－x)ln＝xln＝f(x), 此时f(x)为偶函数,符合题意. 故a＝0. 方法二　设g(x)＝ln 易知g(x)的定义域为∪ 且g(－x)＝ln＝ln＝－ln＝－g(x),所以g(x)为奇函数. 若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数, 则y＝x＋a也应为奇函数,所以a＝0. 变式2.已知函数f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)＝2x－则f(x)<0的解集为(　　) A.(－3,0)∪(0,3) B.(－3,3) C.(－∞,－3)∪(0,3) D.(－∞,－3)∪(3,＋∞) 【答案】C 【解析】函数f(x)为R上的奇函数, 当x<0时,f(x)＝2x－ 则当x>0时,－x<0,有f(x)＝－f(－x)＝－－2－x,显然f(0)＝0, 不等式f(x)<0转化为或 解得x<－3或0<x<3, 所以不等式f(x)<0的解集为(－∞,－3)∪(0,3). 变式3.(2025·泰州模拟)已知函数f(x)＝是定义在R上的奇函数,则实数a等于(　　) A.－1 B.0 C. D.1 【答案】C 【解析】∵f(x)为奇函数,∴f(－x)＝－f(x), ∴＝－ 即∴ 即x－ax＝ax,解得a＝. 变式4.已知函数f(x)＝x＋asin x＋2,且f(m)＝5,则f(－m)等于(　　) A.－5 B.－3 C.－1 D.3 【答案】C 【解析】令g(x)＝x＋asin x,则g(x)为奇函数, 故g(m)＋g(－m)＝0, 又g(m)＝f(m)－2＝3, 所以g(－m)＝f(－m)－2＝－3, 所以f(－m)＝－1. 变式5.(2025·安徽皖南八校模拟)已知函数f(x)的定义域为R,y＝f(x)＋ex是偶函数,y＝f(x)－3ex是奇函数,则f(ln 3)的值为(　　) A. B.3 C. D. 【答案】D 【解析】因为函数y＝f(x)＋ex为偶函数, 则f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex, 即f(x)－f(－x)＝e－x－ex, ① 又因为函数y＝f(x)－3ex为奇函数, 则f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex, 即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x, ② 联立①②可得f(x)＝ex＋2e－x,所以f(ln 3)＝eln 3＋2e－ln 3＝. 变式6.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y),当x<0时,f(x)>0,则函数f(x)满足(　　) A.f(0)＝0 B.y＝f(x)为偶函数 C.f(x)在R上单调递增 D.f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集为{x|－2<x<1} 【答案】AD 【解析】由题意,定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y), 对于A,令x＝y＝0,则f(0)＝f(0)＋f(0), 即f(0)＝0,故A正确； 对于B,令y＝－x,则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0,即f(－x)＝－f(x), 所以y＝f(x)为奇函数,故B错误； 对于C,任取x1,x2∈R,且x1<x2, 则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2), 因为x1<x2,所以x1－x2<0,所以f(x1－x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在R上单调递减,故C错误； 对于D,由f(x－1)＋f(x2－1)>0,可得f(x－1)>－f(x2－1)＝f(1－x2), 又函数f(x)在R上单调递减,所以x－1<1－x2, 解得－2<x<1,所以f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集为{x|－2<x<1},故D正确. 变式7.已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)＝x2－2x. (1)求f(x)的解析式；(6分) (2)求不等式xf(x)≥0的解集.(7分) 解析 (1)因为函数f(x)为R上的奇函数, 当x<0时,－x>0, 则f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x, 又因为f(0)＝0满足f(x)＝x2－2x, 故f(x)＝ (2)当x≥0时,xf(x)＝x(x2－2x)≥0, 可得x2－2x≥0,解得x≤0或x≥2, 此时x＝0或x≥2； 当x<0时,xf(x)＝x(－x2－2x)＝－x(x2＋2x)≥0, 可得x2＋2x≥0,解得x≤－2或x≥0, 此时x≤－2. 综上所述,原不等式的解集为(－∞,－2]∪{0}∪[2,＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$